第 十二章 弯曲问题进一步研究

1、第十二章第十二章 弯曲问题进一步研究弯曲问题进一步研究1 0 引言引言1 非对称弯曲正应力非对称弯曲正应力 2 薄壁梁的弯曲切应力薄壁梁的弯曲切应力3 薄壁梁的截面剪心薄壁梁的截面剪心4 复合梁复合梁与夹层梁与夹层梁5 曲梁曲梁第十二章第十二章 弯曲问题进一步研究弯曲问题进一步研究（第（第2 2版版1111章）章）第十二章第十二章 弯曲问题进一步研究弯曲问题进一步研究2 一般非对称弯曲正应力 一般薄壁梁的弯曲切应力 薄壁梁的截面剪心 复合梁与曲梁弯曲应力 本章主要研究：第十二章第十二章 弯曲问题进一步研究弯曲问题进一步研究3一、工程中的非对称弯曲一、工程中的非对称弯曲思考：对称弯曲的分析方法思

2、考：对称弯曲的分析方法如何推广到非对称弯曲？如何推广到非对称弯曲？我国运我国运1212多用途运输机多用途运输机对称弯曲对称弯曲第十二章第十二章 弯曲问题进一步研究弯曲问题进一步研究4二、一种简单的非对称弯曲二、一种简单的非对称弯曲梁有互垂对称面（梁有互垂对称面（1）分析思路：分析思路：分解为两个对称弯曲分解为两个对称弯曲cosyMM sinzMM zyMarctgM 弯矩矢方位角弯矩矢方位角yCzlM zyII 结论：结论：若若 ，则则 yzyzM zM yII 应力应力tanzyyzM IzyM I yzIarctgtgI 中性轴方位角中性轴方位角中性轴中性轴0 第十二章第十二章 弯曲问题进

3、一步研究弯曲问题进一步研究5三、平面弯曲与斜弯曲三、平面弯曲与斜弯曲定义：定义：yCzlM 当当 时，称为平面弯曲时，称为平面弯曲 当当 时，称为斜弯曲时，称为斜弯曲 有互垂对称面梁的斜弯曲有互垂对称面梁的斜弯曲可分解为两个平面弯曲可分解为两个平面弯曲一般非对称截面梁的斜弯曲一般非对称截面梁的斜弯曲可分解为两个平面弯曲吗？可分解为两个平面弯曲吗？第十二章第十二章 弯曲问题进一步研究弯曲问题进一步研究61 1 sin2cos22yzy zyzIIII 11 cos2 22 sin2 yyzyzzyzIIIIIII 1 1、 转轴公式转轴公式四、惯性矩与惯性积转轴公式回顾四、惯性矩与惯性积转轴公式

4、回顾yzzy2Itan2II 1 10y zI, 令令结论：在以结论：在以o o点为原点的所有坐标点为原点的所有坐标系中，一定存在一直角坐标系，系中，一定存在一直角坐标系，截面对其坐标轴的惯性积为零截面对其坐标轴的惯性积为零。第十二章第十二章 弯曲问题进一步研究弯曲问题进一步研究7主形心轴主形心轴主形心轴主形心轴主轴主轴:满足惯性积为零的坐标轴满足惯性积为零的坐标轴 主惯性矩主惯性矩:对主轴的惯性矩对主轴的惯性矩 主形心轴与主形心惯性矩主形心轴与主形心惯性矩猜想：猜想： 1. 1. 如果弯矩矢沿主形心轴，则可能是平面弯曲。如果弯矩矢沿主形心轴，则可能是平面弯曲。 2. 2. 任意斜弯曲都可能分

5、解为两个互垂的平面弯曲。任意斜弯曲都可能分解为两个互垂的平面弯曲。yzzy2Itan2II 1 10y zI, 当当 时，时， 2 2、主形心轴与主形心惯性矩、主形心轴与主形心惯性矩第十二章第十二章 弯曲问题进一步研究弯曲问题进一步研究8一、弯矩矢沿主形心轴的正应力分析一、弯矩矢沿主形心轴的正应力分析 平面假设平面假设 单向受力假设单向受力假设 假设假设推论：推论：弯曲时梁内存在中性层弯曲时梁内存在中性层中性轴：中性轴：中性层与横截面交线中性层与横截面交线中性轴位置待定中性轴位置待定设设 y、z 为截面主形心轴为截面主形心轴第十二章第十二章 弯曲问题进一步研究弯曲问题进一步研究9 E (a)

6、E 中性层曲率半径中性层曲率半径1. 几何方面几何方面2. 物理方面物理方面未知量：未知量：中性层曲率半径、中性轴位置（线、中性层曲率半径、中性轴位置（线、角角位移）位移）y 回顾对称情形回顾对称情形 按相同方式按相同方式第十二章第十二章 弯曲问题进一步研究弯曲问题进一步研究103. 静力学方面静力学方面(a) E (b) 0d AA d (c)0AzA (d) d AzMAy AA0d (a)(b)中性轴通过截面形心中性轴通过截面形心/2 (e)(c)(e) )sincos( yzE 中性轴与主形心轴中性轴与主形心轴 z重合重合2cossin0AAz dAzydAy、z是主形心轴是主形心轴c

7、os0 z-中性轴中性轴第十二章第十二章 弯曲问题进一步研究弯曲问题进一步研究11(b) 0d AA (c) 0d AAz (d) d AzMAy (a)EEy 中性轴与主形心轴中性轴与主形心轴 z重合重合zzEIM 1zzIyM- (a)(d)中性轴垂直于弯矩作用面的变形形式中性轴垂直于弯矩作用面的变形形式平面弯曲平面弯曲第十二章第十二章 弯曲问题进一步研究弯曲问题进一步研究12二、非对称弯曲的一般公式二、非对称弯曲的一般公式zzyyIyMIzM zzyyIyMIzM yzzyMMIIyz tan位于离中性轴位于离中性轴最远点最远点 a, b 处处 应力一般公式应力一般公式 中性轴方位中性轴

8、方位 最大应力位置最大应力位置0 第十二章第十二章 弯曲问题进一步研究弯曲问题进一步研究13 tantanzyyzzyIIMMII cosMMy sinMMz 时时，zyII中性轴不垂直于弯矩作用面的变形形式中性轴不垂直于弯矩作用面的变形形式斜弯曲斜弯曲 中性轴斜率中性轴斜率第十二章第十二章 弯曲问题进一步研究弯曲问题进一步研究14几个概念及其间关系 对对 称称 弯弯 曲曲非对称弯曲非对称弯曲弯曲弯曲 平面弯曲平面弯曲（弯矩弯矩 矢量矢量 / 主形心轴时主形心轴时）斜斜 弯弯 曲曲（弯矩矢量不弯矩矢量不 / 主形心轴时主形心轴时）平面弯曲平面弯曲斜弯曲斜弯曲两个互垂平面弯曲的组合两个互垂平面弯

9、曲的组合 中性轴不垂直于弯矩作用面的变形形式中性轴不垂直于弯矩作用面的变形形式斜弯曲斜弯曲 中性轴垂直中性轴垂直于弯矩作用面的变形形式于弯矩作用面的变形形式平面弯曲平面弯曲 概念间的关系概念间的关系第十二章第十二章 弯曲问题进一步研究弯曲问题进一步研究15非对称弯曲分析计算步骤 确定截面形心、主形心轴与主形心惯性矩确定截面形心、主形心轴与主形心惯性矩 内力分析，求出内力分析，求出 My 与与 Mz 确定中性轴方位，以确定最大正应力点位置确定中性轴方位，以确定最大正应力点位置 计算最大弯曲正应力计算最大弯曲正应力第十二章第十二章 弯曲问题进一步研究弯曲问题进一步研究16第十二章第十二章 弯曲问题

10、进一步研究弯曲问题进一步研究17第十二章第十二章 弯曲问题进一步研究弯曲问题进一步研究18y、z 轴主形心轴轴主形心轴假设 切应力平行与中心线切线切应力平行与中心线切线 沿壁厚均匀分布沿壁厚均匀分布截面具有纵向对称面，且外力作用于此对称面内截面具有纵向对称面，且外力作用于此对称面内第十二章第十二章 弯曲问题进一步研究弯曲问题进一步研究19切应力公式切取单元体切取单元体 abcd 研究其平衡研究其平衡第十二章第十二章 弯曲问题进一步研究弯曲问题进一步研究20 Fxss,Fxd)d()( 0 xFssdd)(1)( zzzIMSAIMyAF)(dd zzISxMss)(dd)(1)( )()()(

11、SsISFszz Iz- 整个截面对整个截面对 z 轴的惯性矩轴的惯性矩Sz-截面截面 对对 z 轴的静矩轴的静矩S( )( )( ) ( )zzF Sq sssI 剪流剪流第十二章第十二章 弯曲问题进一步研究弯曲问题进一步研究21例例 3-1 确定工字形截面梁的剪流分布确定工字形截面梁的剪流分布解：解：1. 翼缘剪流计算翼缘剪流计算 zzISFq)(Sf zzIhFhIF22SS 2. 腹板剪流计算腹板剪流计算 221Sw422)(yhhbIFyqz zzIySFq)(Sw 2)(hbySz yhyh22121 第十二章第十二章 弯曲问题进一步研究弯曲问题进一步研究223. 剪流方向判断剪流

12、方向判断0d 0S MF0d1 F0d2 F f 指向腹板指向腹板 w 与与 FS 同向同向第十二章第十二章 弯曲问题进一步研究弯曲问题进一步研究234. 剪流分布图剪流分布图zIhbhFq8)(41Smaxw, 下翼缘的剪流下翼缘的剪流均指均指向腹板；向腹板；上翼缘的剪流上翼缘的剪流 均背离腹板均背离腹板 腹板上的剪流与剪腹板上的剪流与剪力力 F FS S 同向同向 “视视”截面如管道，截面如管道， “视视”剪流如管流，连剪流如管流，连续流动；由续流动；由q qw w推及其他推及其他第十二章第十二章 弯曲问题进一步研究弯曲问题进一步研究24载荷均通过梁截面形心，二图力学性质有重要区别吗？载荷

13、均通过梁截面形心，二图力学性质有重要区别吗？zzeFRyOAEFyROEAz载荷载荷F的合理作用位置？的合理作用位置？E、A或或O？第十二章第十二章 弯曲问题进一步研究弯曲问题进一步研究25现象与问题现象与问题要使梁仅弯不扭，横向载荷要使梁仅弯不扭，横向载荷 ( F, q ) 必须满足何种条件？必须满足何种条件？第十二章第十二章 弯曲问题进一步研究弯曲问题进一步研究26剪心位置的确定 梁梁 z 轴发生平面弯曲轴发生平面弯曲zzyyISFsq)()(S Fsy位置位置： ez=? lyzyssqeFd)(S zlzzIsSe d)( 要使梁要使梁 z 轴发生平面弯曲，外力轴发生平面弯曲，外力(F

14、,q) 作用线作用线 y 轴，并距其轴，并距其 ez 处处根据合力矩定理：根据合力矩定理：( )yqs dszyOzeSyFy,zy,z轴轴- -主形心轴主形心轴第十二章第十二章 弯曲问题进一步研究弯曲问题进一步研究27 梁梁 y 轴发生平面弯曲轴发生平面弯曲yyzzISFsq)()(S Fsz位置位置：ey=?根据合力矩定理根据合力矩定理:ylyyIsSe d)( 要使梁要使梁 y 轴发生平面弯曲，外力轴发生平面弯曲，外力( F, q )作用线作用线 z 轴，并距其轴，并距其 ey 处处y( )zqs dsyezSzFO第十二章第十二章 弯曲问题进一步研究弯曲问题进一步研究28 剪心定义剪心

15、定义 剪心位置仅与截面的形状及尺寸有关，与外剪心位置仅与截面的形状及尺寸有关，与外力无关，属于截面力无关，属于截面几何性质几何性质小结小结zlzzIsSe d)( ylyyIsSe d)( 剪心位置剪心位置 当横向外力作用线通过剪心时，梁将当横向外力作用线通过剪心时，梁将只弯不只弯不扭扭，故剪心又称，故剪心又称弯心弯心剪力剪力 Fsy, Fsz 作用作用线的交点线的交点E (ey, ez)第十二章第十二章 弯曲问题进一步研究弯曲问题进一步研究29 问题回顾问题回顾: :扭转切应力是如何产生的扭转切应力是如何产生的? ?何以伴随扭转？何以伴随扭转？存在附加扭矩存在附加扭矩第十二章第十二章 弯曲问

16、题进一步研究弯曲问题进一步研究30对称截面的剪心剪心位于对称轴上剪心位于对称轴上剪心与形心重合剪心与形心重合单对称截面单对称截面双对称截面双对称截面第十二章第十二章 弯曲问题进一步研究弯曲问题进一步研究31例例1: 确定下列截面剪心的位置确定下列截面剪心的位置 aa、b、剪流沿轴线，剪心位于两轴线交点、剪流沿轴线，剪心位于两轴线交点AAc、根据中心对称性根据中心对称性A b c第十二章第十二章 弯曲问题进一步研究弯曲问题进一步研究32AA例例2： 确定下列截面剪心的位置或大致位置确定下列截面剪心的位置或大致位置A第十二章第十二章 弯曲问题进一步研究弯曲问题进一步研究33解：解：（2）zIR t

17、 3( )(cos )zzzeSRdsR tdRIIz 422111200例例3：（1）讨论降低图示截面切应力措施。）讨论降低图示截面切应力措施。 （2）确定截面剪心位置。）确定截面剪心位置。ORyzzeFzStRdRR t 20( )sin(1cos)dsd第十二章第十二章 弯曲问题进一步研究弯曲问题进一步研究34例例4： 图示截面壁厚图示截面壁厚t，确定剪心位置。，确定剪心位置。1hze2hb解：解：()()()33122221224zztIhhhtS ()222222232331224hhzzhtbdeIbhhh 第十二章第十二章 弯曲问题进一步研究弯曲问题进一步研究35 自行选择开口薄

18、壁梁的截面几何参数与载荷位置自行选择开口薄壁梁的截面几何参数与载荷位置参数。参数。 （1）比较弯曲切应力与扭转切应力的大小及随诸）比较弯曲切应力与扭转切应力的大小及随诸参数变化的规律。参数变化的规律。 （2）讨论弯曲与扭转变形。）讨论弯曲与扭转变形。 （3）研究改善开口薄壁梁受力的措施。）研究改善开口薄壁梁受力的措施。第十二章第十二章 弯曲问题进一步研究弯曲问题进一步研究36作业作业2版版13-6, 7; 11-23版版15-11, 12; 12-2第十二章第十二章 弯曲问题进一步研究弯曲问题进一步研究37复合梁复合梁：由两种或两种以上材料所构成的整体梁：由两种或两种以上材料所构成的整体梁第十

19、二章第十二章 弯曲问题进一步研究弯曲问题进一步研究38一、复合梁弯曲基本方程一、复合梁弯曲基本方程y 平面假设与单向受力假设成立平面假设与单向受力假设成立z 轴位于中性轴轴位于中性轴平面假设平面假设中性层中性层(轴轴)试与均质梁比较正应变分布试与均质梁比较正应变分布正应力分布与均质梁相同吗？正应力分布与均质梁相同吗？1.几何方面几何方面 中性轴过形心吗？中性轴过形心吗？第十二章第十二章 弯曲问题进一步研究弯曲问题进一步研究39y 2.物理方面物理方面 E yE 111E yE 222正应变线形分布正应变线形分布 正应力分区线形分布正应力分区线形分布待求：待求：中性轴位置，中性层的曲率半径中性轴

20、位置，中性层的曲率半径 第十二章第十二章 弯曲问题进一步研究弯曲问题进一步研究403.静力学方面静力学方面 E yE 111E yE 2220dd212211 AAAA (a)MAyAyAA 212211dd (b)由由(a)0dd212211 AAAyEAyESnS120或或式中：式中：n=E2 / E1弹性模量比弹性模量比确定中性轴位置确定中性轴位置 中性轴一般不通过形心中性轴一般不通过形心第十二章第十二章 弯曲问题进一步研究弯曲问题进一步研究413.静力学方面静力学方面 E yE 111E yE 2220dd212211 AAAA (a)MAyAyAA 212211dd (b)I1 ,I

21、2截面截面A1, A2对中性轴对中性轴 z 的惯性矩的惯性矩确定中性层曲率半径确定中性层曲率半径由由(b)()zMME InIE I 11211n=E2 / E1第十二章第十二章 弯曲问题进一步研究弯曲问题进一步研究42 E y 11E y 22()zMME InIE I 11211n=E2 / E14. 弯曲正应力公式弯曲正应力公式ME yE IE I 111122ME yE IE I 221122zIMyn 2 zIMy 1 简便工程方法探索：能找到等效的均质梁吗？简便工程方法探索：能找到等效的均质梁吗？ zIInI12问题：问题： 中性轴位置确定复杂中性轴位置确定复杂第十二章第十二章 弯

22、曲问题进一步研究弯曲问题进一步研究43zMynI 2zMyI 1zIInI12二、截面转换法二、截面转换法 将截面将截面 2 的横向尺寸乘的横向尺寸乘以以 n，得，得 “等效截面等效截面” 静矩等效静矩等效,eqzSSnS 12中性轴通过等效截面形心中性轴通过等效截面形心 C 惯性矩等效惯性矩等效,eqzzIInII12结论：通过等效截面确定结论：通过等效截面确定中性轴位置中性轴位置与与弯曲刚度弯曲刚度第十二章第十二章 弯曲问题进一步研究弯曲问题进一步研究44三、夹层梁的简化理论三、夹层梁的简化理论夹层梁是一种复合梁，特点：夹层梁是一种复合梁，特点：面板薄、强度与弹性模量高面板薄、强度与弹性模

23、量高芯材强度与弹性模量低芯材强度与弹性模量低第十二章第十二章 弯曲问题进一步研究弯曲问题进一步研究45h2h2h02h02bzOy夹层梁近似应力分析夹层梁近似应力分析弯矩完全由面板承受弯矩完全由面板承受 MFSmaxfzMhI 02()fzb hhI 33012面板截面对面板截面对z轴的惯性矩轴的惯性矩 剪力完全由芯材承受，且沿截面均布剪力完全由芯材承受，且沿截面均布 sFbh 试自行检验此近似公式的精度试自行检验此近似公式的精度第十二章第十二章 弯曲问题进一步研究弯曲问题进一步研究46例例 11-7 图示截面复合梁，图示截面复合梁，M=30kN.m，Ew=10GPa，Es=200GPa，求木

24、与钢求木与钢横截面上的弯曲正应力横截面上的弯曲正应力解解： 1. 模量比计算模量比计算20120010sw EEn选钢为基本材料选钢为基本材料第十二章第十二章 弯曲问题进一步研究弯曲问题进一步研究472. 等效截面几何性质等效截面几何性质m 1830.y 45m 10392 .IzzIMy1maxs, zIynM maxw, 3. 横截面上的应力横截面上的应力MPa 796maxs,. zIyhM)-( MPa 511. 第十二章第十二章 弯曲问题进一步研究弯曲问题进一步研究48 第十二章第十二章 弯曲问题进一步研究弯曲问题进一步研究49未变形时轴线即为曲线的杆件未变形时轴线即为曲线的杆件曲杆曲杆 以弯曲为主要变形的曲杆以弯曲为主要变形的曲杆曲梁曲梁第十二章第十二章 弯曲问题进一步研究弯曲问题进一步研究501. 几何方面几何方面d d r yabbr中性层曲率半径中性层曲率半径 弧线弧线ab曲率半径曲率半径ry 平面假设、单向受力假设成立平面假设、单向受力假设成立()bbydrydab dydrEEEdyrd 2. 物理方面物理方面曲梁的弯曲正应力曲梁的弯曲正应力第十二章第十二章 弯曲问题进一步研究弯曲问题进一步研究513. 静力学方面静力学方