矩阵分析第三章3.1-2

1、Hermite第第三三章章 内内积积空空间间、正正规规矩矩阵阵、矩矩阵阵 解解析析几几何何中中，是是用用向向量量的的长长度度和和夹夹角角来来定定义义内内积积，而而在在矩矩阵阵理理论论中中是是先先定定义义内内积积概概念念，再再引引入入向向量量的的长长度度、夹夹角角等等概概念念。 在在线线性性空空间间中中，向向量量之之间间的的基基本本运运算算只只有有加加法法和和数数乘乘运运算算，向向量量的的度度量量性性质质没没有有反反映映，局局限限了了线线性性空空间间的的应应用用。现现在在我我们们借借助助内内积积把把度度量量概概念念引引入入到到线线性性空空间间中中。&3.1 欧欧氏氏空空间间、酉酉空空间间

2、一一、概概念念,( ,3.),(.,1 1)VRnV 设设 是是实实数数域域 上上的的 维维线线性性空空间间如如果果对对 中中任任意意两两个个向向量量 、有有唯唯一一确确定定的的实实数数与与之之对对应应 这这实实数数记记为为并并且且满满足足下下列列四四个个条条件件 则则这这实实数数称称为为 与与 定定义义的的内内积积: :(1) ( ,)( , )(2) (,)( ,)(3) (, )( , )( , )(4) ( , )0,0( , )0,;.kkVkRVn 当当且且仅仅当当时时其其中中是是 中中任任意意向向量量称称定定义义有有这这样样内内积积的的线线性性空空间间 为为 维维欧欧氏氏空空间间

3、1 1221 1 (. .,). ( ,) Tnna ba ba b n nTTTT12n12n12n12nn nn n设设R R 是是n n维维实实向向量量空空间间，若若=(a ,a ,.,a ) , =(b ,b ,.,b )=(a ,a ,.,a ) , =(b ,b ,.,b )令令容容易易验验证证，所所规规定定的的是是R R 的的内内积积，从从而而R R 成成为为欧欧例例3 3氏氏空空间间。注注:1.今后欧氏空间今后欧氏空间Rn中的内积都指如上例中的内积都指如上例3.1.1定定 义的内积运算义的内积运算.2.对同一个线性空间对同一个线性空间,可以定义不同的内积可以定义不同的内积,因因

4、而得到不同的欧氏空间而得到不同的欧氏空间.2121223 1 2 (,)( ,) .(. ,TTRa ab bR 1112212211122122 设设在在中中对对向向量量和和规规定定内内积积为为, )=2a b +a b +a b +a b, )=2a b +a b +a b +a b证证明明按按照照如如上上的的内内积积运运算算构构成成是是欧欧例例氏氏空空间间。3 1 3. . b ba a用用表表示示Ca,bCa,b闭闭区区间间a,ba,b上上的的所所有有实实值值连连续续函函数数构构成成的的实实线线性性空空间间， f(x),g(x)Ca,b,f(x),g(x)Ca,b,规规定定 (f(x)

5、,g(x)=f(x)g(x)dx (f(x),g(x)=f(x)g(x)dx容容易易验验证证，这这样样规规定定的的(f(x),g(x)(f(x),g(x)是是Ca,bCa,b上上的的一一个个内内积积，从从而而Ca,bCa,b成成为为一一个个欧欧 例例氏氏空空间间。3 1 4. . n nT Tnnnn设设A A为为n n阶阶正正定定矩矩阵阵，对对于于R R 中中的的任任意意两两个个列列向向量量X,YX,Y，规规定定 (X,Y)=X AY (X,Y)=X AY容容易易验验证证(X,Y)(X,Y)是是R R 上上例例的的一一个个内内积积，于于是是R R 成成为为一一个个欧欧氏氏空空间间。23 1

6、5() , ( ,)(). .,n nTn nn nnRnA BA Btr A BA BRR 设设维维空空间间中中对对向向量量阶阶矩矩阵阵 规规定定内内积积为为则则是是 例例欧欧氏氏空空间间。:,3.1.2VCnV设设 是是复复数数域域 上上的的 维维定定义义线线性性空空间间如如果果对对 中中,任任意意两两个个向向量量 、有有唯唯一一确确定定的的,( ,),( ,): 复复数数与与之之对对应应 这这复复数数记记为为且且满满足足下下列列四四个个条条件件 则则这这复复数数称称为为 与与 的的内内积积(1)( ,)( ,),(2)(,)( ,),(3)(, )( , )( , ),(4)( ,)0,

7、 0( ,)0.kk 当当且且仅仅当当时时,;. .VkCVn 其其中中 、 、 为为 中中任任意意向向量量 任任意意复复数数称称定定义义有有这这样样内内积积的的线线性性空空间间 为为 维维复复欧欧氏氏空空间间或或酉酉空空间间欧欧氏氏空空间间与与酉酉空空间间统统称称为为内内积积空空间间 2 2在在复复数数域域C C上上定定义义内内积积时时，不不能能象象实实数数域域上上内内积积定定义义方方式式，否否则则会会出出现现矛矛盾盾。如如 ( , )0, (i ,i )=i( , )=-( , ), ( , )0, (i ,i )=i( , )=-( , ),这这样样( , )( , )实实际际上上( ,

8、( , 注注 k )=k(k )=k( 0,0,矛矛！, ,盾盾) ) 11221 6 ( ,) . . . ,) (THnna ba ba b n nTTTT12n12n12n12nn nn n设设C C 是是n n维维复复向向量量空空间间，若若=(a ,a ,.,a ) , =(b ,b ,.,b )=(a ,a ,.,a ) , =(b ,b ,.,b ) 令令容容易易验验证证，所所规规定定的的是是C C 的的内内积积，从从而而C C 成成例例3 3为为酉酉空空间间。二、酉（欧氏）空间的性质二、酉（欧氏）空间的性质1. 欧氏空间的性质欧氏空间的性质11111234( )( ,)( ,);

9、( )( ,)( ,)( , );( )(,)(,);( )( ,)( ,).nniiiiiinniiiiiikkkkkk 2. 酉空间的性质酉空间的性质11111234( )( ,)( ,);( )( ,)( ,)( , );( )(,)(,);( )( ,)( ,).nniiiiiinniiiiiikkkkkk 12111111, , ( ,),(,)(,) ,1,2, . nnniijjijnnnniijjijijijijijijnVVxyxyx ygi jn 设设为为 维维酉酉空空间间 的的一一组组基基且且则则令令 ijGg 12,.n 为为基基的的度度量量矩矩阵阵 n称称 阶阶方方阵

10、阵： 111212122212111212122212,nnijnnnnnnnnnnggggggGgggg T1212 ( ,)nnx xxA x xx 1122nnxxx (1),;(2);TGGG 设设 为为度度量量矩矩阵阵 则则在在欧欧氏氏空空间间中中: : 度度量量矩矩阵阵是是正正定定矩矩阵阵 度度量量矩矩度度量量矩矩阵阵阵阵是是性性质质：可可逆逆的的. . HH : A ,ATHermiteAA 矩矩阵阵 规规定定记记号号称称为为 的的复复共共轭轭转转置置。11(1)( ) ;(2)();(3)();(4)();(5)();(6)()() .:HTHHHHHHHHHHHHAAABAB

11、kAkAABB AAAAAA 若若 可可逆逆，复复共共轭轭转转置置有有运运算算性性质质则则3.1.4:,n nAC 设设 定定义义HermiteHermite 显显然然，实实对对称称矩矩阵阵是是实实矩矩阵阵; ;酉酉空空间间的的度度量量矩矩阵阵是是矩矩阵阵. .欧欧氏氏空空间间的的度度量量矩矩阵阵是是实实对对称称阵阵。,;HAAAHermite 若若则则称称 为为矩矩阵阵,HAAAHermite 若若则则称称 为为反反矩矩阵阵. .12Re()Re(),Im()Im();( )Re()Re(),Im()Im().HijjiijjiHijjiijjiAAaaaaAAaaaa 容容易易证证（明明：

12、 ） 对对于于线线性性空空间间不不同同的的基基，它它们们的的度度量量矩矩阵阵是是不不同同的的，它它们们之之间间的的关关系系由由下下述述定定理理给给出出。 12121212, , 3.1.1: .nnnnTHTABPBP A P 设设和和为为酉酉空空间间的的两两个个基基、 分分别别为为这这两两个个基基的的度度量量矩矩阵阵，基基的的过过度度矩矩阵阵为为P P，即即那那么么 定定理理两两个个度度量量矩矩阵阵满满足足,.THTBP APP A PT T因因此此即即B B12121212,V,=(,.,)(,.,:),=(,.,)(,. ,).nnnnxxyy 设设 证证 ,xPxyPy由由坐坐标标变变

13、换换公公式式，知知( ,)()(),TTTTx AyPxA PyxP AP y 于于是是，一一方方面面有有( ,),Tx By 另另一一方方面面有有，. 3.1.5: ,; , . ,n nn nnHn nn nnTABCPCBP APABABRPRBP APAB 设设 、如如果果存存在在, ,使使则则称称 和和 是是复复相相合合的的设设 、如如果果存存在在, ,使使则则称称 和和 是是 义义实实相相合合的的定定 3.1.6: ()1:(),(): . , VV 三三、酉酉空空间间 欧欧氏氏空空间间 的的度度量量、向向量量的的长长度度设设 是是酉酉 欧欧氏氏 空空间间的的长长度度即即模模 定定

14、义义为为为为定定义义 12222121222212, , , , , TnnnTnnnRa aaaaaCa aaaaa 例例如如在在中中在在中中 (),(1)0,0,0; ()(2); ()(3),; ()(4). 3.1.2: ()VV kCkk 设设 是是酉酉 欧欧氏氏 空空间间、那那么么当当且且定定理理仅仅当当时时非非负负性性齐齐次次性性柯柯西西一一许许瓦瓦滋滋不不等等式式三三角角不不等等式式:(1) (2).证证、 易易证证(3)0,;CauchySchwarz 当当 不不等等式式成成立立 22,),( ,),;,( ,)k 不不妨妨取取 k= k=由由于于( ,( ,那那么么， 20

15、0-,( ,)kkkkkk k 当当， kR(kR(或或kC),kC),有有 ,;,k ,0., 于于是是，由由以以上上3 3式式有有 ,.,k k 222, ,0, , 即即即即|( ,)| | |. 所以， 22222222(4) , , 2Re( ,) 2 ( ,)() ,. 即即 2222221 1221212,-: ( ,)11.| |nnnnnRa ba ba baaabbb 在在中中 柯柯西西 许许瓦瓦兹兹不不等等式式即即 ，即即 10,. 当当 求求叫叫做做将将向向量量 单单位位化化2、向向量量的的夹夹角角,:( ,) cos,. 在在欧欧氏氏空空夹夹角角间间中中与与 的的定定

16、义义为为( ,).d 两两向向量量的的 距距离离1;长长度度为为 的的向向量量称称单单位位向向量量为为 ,. 如如果果正正交交向向量量组组中中每每个个向向量量都都是是单单位位向向量量 则则称称这这向向量量组组是是标标准准正正交交向向量量组组3.2 Schmidt标标准准正正交交基基方方法法一一、标标准准正正交交基基 ( ,)0,; 如如果果向向量量 与与 的的内内积积则则称称 与与 正正交交记记为为1212 ,;ss 如如果果非非零零向向量量组组两两两两正正交交 则则称称向向量量组组是是正正交交向向量量组组 3 1,.0,iijijijij （ ）向向量量组组是是标标准准正正交交组组当当且且仅

17、仅当当当当 当当:由由以以上上定定义义可可知知0;0. （1 1） 向向量量与与每每个个向向量量正正交交 与与每每个个向向量量正正交交的的向向量量一一定定是是 向向量量 ,0 ;iijij （2 2）向向量量组组是是正正交交向向量量组组当当且且仅仅当当 1211221112:, 0:( , )(,)0 (,)0 (ij ) (,)0 (,)0, 0 , 1,2, .ssssssjiijiijjjjjjjjkkkkkkkkjs 证证 设设是是正正交交向向量量组组 且且那那么么当当，又又故故 3.2.1: 正正交交向向量量组组是是线线性性无无定定关关向向量量组组理理 2. 2.这这个个定定理理说说

18、明明，在在n n维维欧欧氏氏空空间间（或或酉酉空空间间）中中，两两两两正正交交的的非非零零向向量量不不能能超超过过n n个个。例例如如在在平平面面上上不不存存在在三三个个两两两两垂垂直直的的非非零零向向量量。注注：1.逆逆定定理理不不成成立立。12,1, (,);0, (),.nijijijijijGE 可可见见，是是标标准准正正交交基基当当且且仅仅当当 标标准准正正交交基基的的度度量量矩矩阵阵即即单单位位矩矩阵阵 3.2. ,2: ;.nn在在维维内内积积空空间间中中由由 个个两两两两正正交交向向量量组组成成的的基基称称为为正正交交基基 由由标标准准正正交交向向量量组组构构成成的的基基称称为为标标准准 定定义义正正交交基基 标准正交基不是唯一的。就是从一组线性无关的向量出发构造一组标 S准正交向chmidt方法量的一种方法。 每个n维空间的基由n个线性无关的向量组成，如果这个线性空间是酉空间（或欧氏空间），我们总能构成一个标准正交基、，这是酉空间（或欧氏空间）的一个基本定理。(1):证证明明 分分两两步步完完成成 正正交交化化 Schmidt二二、方方法法123.2.2,:,