第九章 点的合成运动

1、第九章第九章 点的合成运动点的合成运动 绝对运动绝对运动 相对运动相对运动 牵连运动的概念牵连运动的概念 点的速度合成定理点的速度合成定理 牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为平动时点的加速度合成定理 牵连运动为转动时点的加速度合成定理牵连运动为转动时点的加速度合成定理9.1绝对运动绝对运动 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动概概 念念 前面研究了动点对于一个参考坐标系的运动。前面研究了动点对于一个参考坐标系的运动。而在不同的参考坐标系中对同一个点的运动的描述而在不同的参考坐标系中对同一个点的运动的描述得到的结果是不一样的，例如：得到的结果是不一样的，例如：vu 为了研究方便，把所研究

2、的为了研究方便，把所研究的点称为点称为动点动点，把其中一个坐标系，把其中一个坐标系称为称为静坐标系静坐标系（一般固连于地球（一般固连于地球上）；而把另一个相对于静坐标上）；而把另一个相对于静坐标系运动的坐标系称为系运动的坐标系称为动坐标系动坐标系。 为了区分动点对于不同坐标系的运动，规定：为了区分动点对于不同坐标系的运动，规定：动点相对于静坐标系的运动动点相对于静坐标系的运动称为称为绝对运动绝对运动。动点相对于动坐标系的运动动点相对于动坐标系的运动称为称为相对运动相对运动。动坐标系相对于静坐标系的运动动坐标系相对于静坐标系的运动称为称为牵连运动牵连运动。 动点的绝对运动和相对运动都是指点的运动

3、，动点的绝对运动和相对运动都是指点的运动，而牵连运动是指参考体的运动，实际上是刚体的运而牵连运动是指参考体的运动，实际上是刚体的运动。动。引例:曲柄连杆机构,曲柄绕O定轴转动,带动连杆水平滑动,则套筒的运动?O直线轨道上行驶的汽车,升空与降落的直升机.当观察者分别在地面和运动的物体上时A,M的运动?AM人v人一个动点,两个坐标系,三种运动(1、2、3问题)坐标系研究对象运动形式动点动体静坐标系动坐标系研究的点单独运动的物体或运动刚体上的不动点牵连点:牵连点:某瞬时动系上与动点相重合的点.可在体内也可在体外.绝对运动v , aaa牵连运动v , aee相对运动v , arr例:不计质量与大小的小

4、环M,可在直杆OA上滑动,其滑动规律x=3t ,OA杆绕O轴转动规律=6t,求:当t=1秒时,小环M的相对速度,牵连速度.2OMxxy动点:小环M动系:OA杆绝对运动:曲线相对运动:沿OA直线牵连运动:圆周ve=R=18 vr=6绝对速度为多少?vevr9.1绝对运动绝对运动 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动概概 念念 动点在绝对运动中的轨迹、速度和加速度称为动点在绝对运动中的轨迹、速度和加速度称为绝对轨迹绝对轨迹、绝对速度绝对速度和和绝对加速度绝对加速度。 动点在相对运动中的轨迹、速度和加速度称为动点在相对运动中的轨迹、速度和加速度称为相对轨迹相对轨迹、相对速度相对速度和和相对加速度相对加

5、速度。 在某一瞬时，动坐标系上和动点相重合的点（瞬在某一瞬时，动坐标系上和动点相重合的点（瞬时牵连点）相对静坐标系的速度和加速度称为该瞬时牵连点）相对静坐标系的速度和加速度称为该瞬时的时的牵连速度牵连速度和和牵连加速度牵连加速度。 用用 和和 分别表示绝对速度和绝对加速度。分别表示绝对速度和绝对加速度。用用 和和 分别表示相对速度和相对加速度。分别表示相对速度和相对加速度。用用 和和 分别表示牵连速度和牵连加速度。分别表示牵连速度和牵连加速度。avaarvraevea9.1绝对运动绝对运动 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动oo1M2M 例1 如图杆长l，绕O轴以角速度 转动，圆盘半径为r，绕

6、 轴以角速度 转动。求圆盘边缘 和 点的牵连速度和加速度。o1M2M 解：静系取在地面上，动系取在杆上，则)(1rlve1ev21)(rlae1ea222rlve2ev2222rlae2ea9.2点点 的的 速速 度度 合合 成成 定定 理理 下面研究点的绝对速度、牵连速度和相对速下面研究点的绝对速度、牵连速度和相对速度的关系。度的关系。ABABM1MM2M 如图，由图中矢量关系可得：如图，由图中矢量关系可得：MMMMMM11 将上式两端同除将上式两端同除 ，并，并令令 ，取极限，得，取极限，得 t0ttMMtMMtMMttt10100limlimlim由速度的定义：由速度的定义：atvtMM

7、lim0etvtMM10limrttvtMMtMM2010limlim9.2点点 的的 速速 度度 合合 成成 定定 理理于是可得：于是可得：reavvvABABM1MM2Mavevrv即：即：动点在某一瞬时的绝对速度等于它在该动点在某一瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。这就。这就是是点的速度合成定理点的速度合成定理。9.2点点 的的 速速 度度 合合 成成 定定 理理 例2 如图车A沿半径为150m的圆弧道路以匀速 行驶，车B沿直线道路以匀速 行驶 ，两车相距30m，求：（1）A车相对B车的速度；（2）B车相对A车的速度。 OABAvB

8、vRhkmvA45hkmvB60 解：（1）以车A为动点，静系取在地面上，动系取在车B上。动点的速度合成矢量图如图。由图可得：hkmvvvvvBAeAr/75222216 . 07545sin11rAvv9 .361OABAvBvRev1rv1xy9.2点点 的的 速速 度度 合合 成成 定定 理理 （2）以车B为动点，静系取在地面上，动系取在车A上。动点的速度合成矢量图如图。OABAvBvRxyev2rv2sradRvA/083. 0150360010453skmsmve/54/15083. 0180hkmvvveBr/72.80222669. 072.8054sin22revv4229.2

9、点点 的的 速速 度度 合合 成成 定定 理理 例3 水平直杆AB在半径为r的固定圆环上以匀速 竖直下落，如图。试求套在该直杆和圆环交点处的小环M的速度。uOrMABuu 解：以小环M为动点，静系取在地面上，动系取在AB杆上，动点的速度合成矢量图如图。avevrv由图可得：sinsinuvvea9.2点点 的的 速速 度度 合合 成成 定定 理理 例4 如图半径为R的半圆形凸轮以匀速 沿水平轨道运动，带动顶杆AB沿铅垂滑槽滑动，求在图示位置时，杆AB的速度。0v0vABO 解：以杆端A为动点，静系取在地面上，动系取在凸轮上，动点的速度合成矢量图如图。evavrv由图可得：ctgvctgvvea

10、09.2点点 的的 速速 度度 合合 成成 定定 理理oCRAB 例5 图示平底顶杆凸轮机构，顶杆AB可沿导轨上下平动，偏心凸轮以等角速度 绕O轴转动，O轴位于顶杆的轴线上，工作时顶杆的平底始终接触凸轮表面，设凸轮半径为R，偏心距OC=e ，OC 与水平线的夹角为 ，试求当 时，顶杆AB的速度。45 解：以凸轮圆心C为动点，静系取在地面上，动系取在顶杆上，动点的速度合成矢量图如图。evavrv由图可得：eevvae2245coscos9.2点点 的的 速速 度度 合合 成成 定定 理理 例6 两直杆分别以 、 的速度沿垂直于杆的方向平动，其交角为 ，求套在两直杆上的小环M的速度。1v 解：以小

11、环M为动点，静系取在地面上，动系取在AB杆上，动点的速度合成矢量图如图。2vM1v1v2v2vABCDM1v1v2v2vABCDav1ev1rv于是有：11reavvv（1） 以小环M为动点，静系取在地面上，动系取在CD杆上，动点的速度合成矢量图如图。M1v1v2v2vABCDav2ev2rv于是有：12eeavvv（2）9.2点点 的的 速速 度度 合合 成成 定定 理理M1v1v2v2vABCDav1ev1rv2ev2rv 比较（1）、（2）式，可得：2211rerevvvv 建立如图的投影轴，将上式投影到投影轴上，得：211sincoserevvv即：)cos(sin1)cos(sin1

12、21211vvvvveer于是可得：cos2sin1)cos(sin12122212212212121vvvvvvvvvvvreaM9.3牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为平动时点的加速度合成定理oxyzoxyzijkMraeaaa 如图，设如图，设 为平动参考为平动参考系，动点系，动点M相对于动系的相对坐相对于动系的相对坐标为标为 、 、 ，则动点，则动点M的相的相对速度和加速度为对速度和加速度为zyxOxyzkzjyixvrkzjyixar 将前式对时间求一阶导数，并和上式比较，有：将前式对时间求一阶导数，并和上式比较，有：rrakzjyixv 由点的速度合成定理有：由点的速度合

13、成定理有：reavvv两边对时间求导，得：两边对时间求导，得：reavvv9.3由于由于avaeOOeaavv于是可得：于是可得：reaaaa即：即：当牵连运动为平动时，动点在某瞬时的绝对加当牵连运动为平动时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢速度等于该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和量和。这就是。这就是牵连运动为平动时点的加速度合成定牵连运动为平动时点的加速度合成定理。理。 上式为牵连运动为平动时点的加速度合成定理上式为牵连运动为平动时点的加速度合成定理的基本形式。其最一般的形式为：的基本形式。其最一般的形式为：nrrneenaaaaaaaa 具体应用时，

14、只有分析清楚三种运动，才能确具体应用时，只有分析清楚三种运动，才能确定加速度合成定理的形式。定加速度合成定理的形式。牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为平动时点的加速度合成定理9.3牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为平动时点的加速度合成定理 例7 图示曲柄滑杆机构，曲柄长OA=r，当曲柄与铅垂线成 时，曲柄的角速度为 ，角加速度为 ，求此时BC的速度和加速度。00OABC00 解：以滑块A为动点，静系取在地面上，动系取在BC杆上，动点的速度合成矢量图如图。avrvev 建立如图的投影坐标轴 ，由 ，将各矢量投影到投影轴上，得 Areavvveavvcos即：coscos0rv

15、vae该速度即为BC的速度。9.3牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为平动时点的加速度合成定理OABC00 动点的加速度合成矢量图如图。其中：ranaaeaaa0raa20rana 建立如图的投影坐标轴 ，由 ，将各矢量投影到 轴上，得 Arenaaaaaaenaaaaasincos于是可得)sincos(200rae该加速度即为BC的加速度。9.3牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为平动时点的加速度合成定理 例8 图示半径为r的半圆形凸轮在水平面上滑动，使直杆OA可绕轴O转动。OA=r，在图示瞬时杆OA与铅垂线夹角 ，杆端A与凸轮相接触，点O与 在同一铅直线上，凸轮的的速度为

16、 ，加速度为 。求在图示瞬时A点的速度和加速度。并求OA杆的角速度和角加速度。v301Oa 解：以杆端A为动点，静系取在地面上，动系取在凸轮上，动点的速度合成矢量图如图。O1OArvaevavrv 建立如图的投影坐标轴 ，由 ，将各矢量投影到投影轴上，得 Areavvvcoscosreavvvsinsinravv9.3牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为平动时点的加速度合成定理解得：vvvvvvera33330cos2cos2OA杆的角速度为vrOAvaOA33动点的加速度合成矢量图如图。O1OArvaaanaaeanrara其中rvraOAna322rvrvarnr322 建立如图的

17、投影轴，由nrrenaaaaaaa将各矢量投影到投影轴上，得nrenaaaaaa60cos60cos30cos所以)(33)2(312rvaaaaananrea9.3牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为平动时点的加速度合成定理故OA杆的角加速度)(332rvarOAaaOA9.3牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为平动时点的加速度合成定理 例9 铰接四边形机构中， ， ，杆 以匀角速度 绕 轴转动。AB杆上有一滑套C，滑套C与CD杆铰接，机构各部件在同一铅直面内。求当 时，CD杆的速度和加速度。cmBOAO1021ABOO21AO1srad /21O601O2OABCD 解：以

18、滑套C为动点，静系取在地面上，动系取AB上，动点的速度合成矢量图如图。avevrv由于scmAOvvAe202101所以scmvvea1060cos20cos9.3牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为平动时点的加速度合成定理 动点的加速度合成矢量图如图所示。1O2OABCDeaaara由于2raaAe所以2226 .3430cos21030cos30cosscmraaea9.4牵连运动为转动时点的加速度合成定理牵连运动为转动时点的加速度合成定理思考题思考题 半径为r的圆盘绕中心O以匀角速度 逆时针转动。圆盘边缘有一动点M，以相对速度 沿边缘作匀速圆周运动，如图。求动点M的加速度。OeM

19、rvervr 以M为动点，静系取在地面上，动系取在圆盘上evavrvvvrea2显然224rrvaaa方向如图。aa而22rrvarr2rae方向如图。eara可见reaaaa9.4牵连运动为转动时点的加速度合成定理牵连运动为转动时点的加速度合成定理 当牵连运动为转动时，加速度合成的结果和牵当牵连运动为转动时，加速度合成的结果和牵连运动为平动时加速度合成的结果不同。由于动坐连运动为平动时加速度合成的结果不同。由于动坐标系为转动，牵连运动和相对运动的相互影响而产标系为转动，牵连运动和相对运动的相互影响而产生了一个附加的加速度，称为生了一个附加的加速度，称为科里奥利加速度科里奥利加速度，简，简称称

20、科氏加速度科氏加速度，用，用 表示。于是动点的加速度为表示。于是动点的加速度为kakreaaaaa即：即： 当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于其牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和其牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。这就是这就是牵连运动为转动时的加速度合成定理牵连运动为转动时的加速度合成定理。其中其中rekva2其大小为其大小为sin2rekva 方向由右手法则确定。方向由右手法则确定。9.4牵连运动为转动时点的加速度合成定理牵连运动为转动时点的加速度合成定理 例10 直角折杆OBC绕O轴转动，带动套在其上的小环M沿固定直杆OA滑动

21、，如图。已知：OB=10cm，折杆的角速度 。求当 时，小环M的速度和加速度。srad5 . 060OABCM60 解：以小环M为动点，静系取在地面上，动系取在折杆上。动点的速度合成矢量图如图。evavrv 建立如图的投影坐标轴，由 将各矢量投影到投影轴上，得reavvv30cosravv 30sin0revv 因为scmOBOMve105 . 05 . 01060cos9.4牵连运动为转动时点的加速度合成定理牵连运动为转动时点的加速度合成定理解之得scmvr20scmva310 动点的加速度合成矢量图如图。OABCM60earaaaka其中scmOMaanee52scmvark20205 .

22、 0290sin2 建立如图的投影坐标轴，由 将各矢量投影到投影轴上，得kreaaaaakeaaaa30sin60cos所以2355 . 020560cosscmaaakea故小环M的速度加速度为scmvvaM310235scmaaaM9.4牵连运动为转动时点的加速度合成定理牵连运动为转动时点的加速度合成定理ABCOr 例11 偏心凸轮以匀角速度 绕O轴转动，使顶杆AB沿铅直槽运动，轴O在滑槽的轴线上，偏心距OC=e，凸轮半径 ，试求 的图示位置时，顶杆AB的速度和加速度。er390OCA由几何关系可得30 解一：以杆端A为动点，静系取在地面上，动系取在轮上。动点的速度合成矢量图如图。avrv

23、ev 建立如图的投影坐标轴，由 将各矢量投影到投影轴上，得reavvv30sinravv 30cos0revv 因为eOAve2于是可解得eva332evr3349.4牵连运动为转动时点的加速度合成定理牵连运动为转动时点的加速度合成定理 动点的加速度合成矢量图如图。ABCOraakaranraea其中222eOAae229316ervarnr23382evark 建立如图的投影坐标轴，由 将各矢量投影到投影轴上，得knrreaaaaaaknreaaaaa30cos30cos故顶杆AB的加速度为9230cos)(2eaaaaknrea可见， 的实际方向铅直向下。aa9.4牵连运动为转动时点的加速

24、度合成定理牵连运动为转动时点的加速度合成定理 解二：以杆端A为动点，静系取在地面上，动系取过凸轮中心的平动坐标系（如图）。动点的速度合成矢量图如图。ABCOrxyavevrv动点的加速度合成矢量图如图。ABCOrnraraeaaa牵连点的速度与加速度是C点的速度与加速度，相对运动轨迹是以C为圆心的圆。9.4牵连运动为转动时点的加速度合成定理牵连运动为转动时点的加速度合成定理 解三：以凸轮中心C为动点，静系取在地面上，动系取在顶杆上（如图）。动点的速度合成矢量图和加速度合成矢量图如图。ABCOABCOevavrvxyaanraeara相对运动轨迹是以A为圆心的 圆。9.4牵连运动为转动时点的加速度合成定理牵连运动为转动时点的加速度合成定理 例12 图示机构，半径为R的曲柄OA以匀角速度 绕O轴转动，通过铰链A带动连杆AB运动。由于连杆AB穿过套筒CD，从而使套筒CD绕E轴转动。在图示瞬时，OA OE， 。求此时套筒CD的角加速度。30AEOOABCDE30 解：以铰A为动点，静系取在