压缩感知理论简介

1、 北京化工大学1Introduction to Compressive Sensing压缩感知概述2目目录录2022-6-26一、背景现状4采样发的采样数据压缩数据传输解压缩恢复图像通过显示器显示图像传统图像处理过程：传统图像处理过程：1.1理理论产论产生背景生背景数据传输5采采样样方法方法数据压缩传统时频分析方法以传统时频分析方法以Nyquist采样定理为采样定理为支撑支撑无损压缩：无损压缩：有损压缩：有损压缩：无损与有损压缩相结无损与有损压缩相结合合离不开离不开Nyquist定理指定理指导下的采样框架体系，导下的采样框架体系，这种高速采样再压缩的这种高速采样再压缩的过程造成大量采样资源过程

2、造成大量采样资源的浪费。的浪费。采样率采样率高，硬件实现高，硬件实现成本大。成本大。1.1理理论产论产生背景生背景61.1理理论产论产生背景生背景*传统NyquistNyquist采样定理： Nyquist 采样定理要求必须以信号带宽 2倍的速率进行采样。*思考？：大部分冗余信息在采集后被丢弃采样时造成很大的资源浪费能否直接采集不被丢弃的信息？71.1理理论产论产生背景生背景被感知对象重建信号压缩感知 名词解释：压缩感知直接感知压缩后的信息压缩感知(压缩传感，Compressive Sensing)理论是近年来信号处理领域诞生的一种新的信号处理理论，由D. Donoho(美国科学院院士)、E.

3、 Candes(Ridgelet, Curvelet创始人)及华裔科学家T. Tao(2006年菲尔兹奖获得者)等人提出，自诞生之日起便极大地吸引了相关研究人员的关注。基本方法：信号在某一个正交空间具有稀疏性（即可压缩性），就能以较低的频率（远低于奈奎斯特采样频率）采样该信号，并可能以高概率重建该信号。1.1 理论产生背景理论产生背景82006Robust Uncertainty Principles：Exact Signal Reconstruction fromHighly Incomplete Frequency InformationTerence Tao、Emmanuel Cands

4、2006Compressed SensingDavid Donoho2007Compressive SensingRichard Baraniuk上述文章奠定了压缩感知的理论基础。国内也将其翻译成压缩传感或压缩采样。91.1研研究究现状现状传统方法传统方法压缩感知压缩感知1.2 研究现状研究现状 理论一经提出，就在信息论、信号处理、图像处理等领域受到高度关注。 在美国、英国、德国、法国、瑞士、以色列等许多国家的知名大学(如麻省理工学院、斯坦福大学、普林斯顿大学、莱斯大学、杜克大学、慕尼黑工业大学、爱丁堡大学等等)成立了专门的课题组对CS进行研究。 莱斯大学还建立了专门的CompressiveS

5、ensing网站，及时报道和更新该方向的最新研究成果。101.2 研究现状研究现状u西安电子科技大学石光明教授，发表综述文章u燕山大学练秋生教授课题组，针对压缩感知的稀疏重建算法进行研究u中科院电子所的方广有研究员等，探索了压缩感知理论在探地雷达三维成像中的应用。u除此之外，还有很多国内学者在压缩感知方面做了重要的工作，如清华大学、天津大学、国防科技大学、厦门大学、湖南大学、西南交通大学、南京邮电大学、华南理工大学、北京理工大学、北京交通大学、北京化工大学等等单位。112022-6-26二、压缩感知描述132.1基本理基本理论论依据依据长度为N的信号X在某个正交基上是K-稀疏的， 如果能找到一

6、个与不相关（不相干）的观测基 ， 用观测基观测原信号得到M个观测值， KMN ，得到观测值Y， 那么可以利用最优化方法从观测值中高概率重构X。142.2找到某个正交基 ，信号在该基上稀疏找到一个与不相关，且满足一定条件的观测基 对Y采用最优化重构， 均是其约束。以观测真实信号，得到观测值Y2.3 稀疏表示稀疏表示 如果一个信号中只有少数元素是非零的，则该信号是稀疏的。通常时域内的信号是非稀疏的，但是在某个变换域可能是稀疏的。152.3 稀疏表示稀疏表示 如果长度为N的信号X，在变换域K个系数不为零（或者明显不大于其他系数），且KN ，那么可以认为信号X在域中是稀疏的并可记为K-稀疏。162.3

7、 稀疏表示稀疏表示172.3 稀疏表示稀疏表示182.3 稀疏表示稀疏表示 研究现状：1.多种变换域分析方法为稀疏表示提供了可能。2.许多信号，诸如自然图像，本身就存在着变换域稀疏性。3.信号在冗余字典下的稀疏表示192.4 测量矩阵测量矩阵202.4 测量矩阵测量矩阵21观测基的意义：保证能够从观测值准确重构信号，其需要满足一定的限制：1、观测基矩阵与稀疏基矩阵的乘积满足RIP性质（有限等距性质）这个性质保证了观测矩阵不会把两个不同的K稀疏信号映射到同一个集合中。2、约束等距性条件的等价条件是测量矩阵和稀疏表示基不相关一般用随机高斯矩阵作为观测矩阵。2.5 重构算法重构算法22重构是基于如下

8、严格的数学最优化（Optimization）问题： 信号重构过程一般转换为一个最小L0 范数的优化问题 求解方法主要有最小L1 范数法、匹配追踪系列算法、最小全变分方法、迭代阈值算法等。2022-6-26三、应用展望243.1应应用用领领域域硬件实现应用范围信息论 信号/图像处理光学/雷达成像医疗超声成像地质勘探模式识别无线通信*压缩感知应用于光学成像的首个实际系统是Rice大学的“单像素相机”。*由于该相机直接获取的是 M次随机线性测量值，而不是获取原始信号的 N( MN) 个像素值，因此为低像素相机拍摄高质量图像提供了可能。如下图：利用小波多尺度变换对 Pepper 图像进行处理，利用标准

9、高斯随机矩阵作为测量矩阵 ，对稀疏化后的数据进行随机测量，使用改进的 OMP 算法对测量后的数据进行图像重建。采样率为1%采样率为5%采样率为10%采样率为45%采样率为15%Pepper 图像经过多尺度小波变换后只要保留 5%的系数，即可较好地重建图像，证明了压缩感知算法的有效性。 基于小波基的CS图像重建示例图29管道泄漏检测：测量矩阵：构造的结构化测量矩阵稀疏表示：sym8小波基重构算法：正交匹配追踪算法( OMP) ，部分重构，获得稀疏向量中一些显著分量30管道泄漏检测3.2 展望展望31目前，压缩感知理论仍处于发展阶段，有很多关键问题尚待解决，如:（1）探索测量矩阵的必要条件，构造确定性矩阵；（2）如何硬件实现压缩感知的过程；（3）提高现有重建算法恢复质量、速度，论证算法理论基础，保证其收敛，增强鲁棒性；（4）设计不同环境下的重建算法；（5）设计移动压缩传感器等。202