第四章控制系统的稳定性(2012)_第1页
第四章控制系统的稳定性(2012)_第2页
第四章控制系统的稳定性(2012)_第3页
第四章控制系统的稳定性(2012)_第4页
第四章控制系统的稳定性(2012)_第5页
已阅读5页,还剩53页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

1、 2010 School of Mechanical Engineering, Southeast University, China第四章第四章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析 2010 School of Mechanical Engineering, Southeast University, China第四章第四章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析 1稳定性概述 2李亚普诺夫稳定性判别定理3线性系统李亚普诺夫稳定性分析方法 4非线性系统李亚普诺夫稳定性分析方法 2010 School of Mechanical Engineering, Southeast Unive

2、rsity, China概述稳定性稳定性:系统受到外界扰动偏离原来的平衡状态,在扰动消失后,系统自身有恢复到平衡状态的一种倾向。A(b) unstable pendulumAAA(a) stable pendulum 2010 School of Mechanical Engineering, Southeast University, China概述经典控制理论对稳定性描述经典控制理论对稳定性描述l局限于研究线性系统;l局限于对系统外部稳定性的描述;lRouth和Nyquist判据。现代控制理论采用的稳定判别是李亚普诺夫稳定性判据现代控制理论采用的稳定判别是李亚普诺夫稳定性判据l稳定判据可用

3、于线性或非线性系统;l研究系统的外部稳定性和内部稳定性。 2010 School of Mechanical Engineering, Southeast University, China1. 线性系统外部稳定的定义 零初始条件下,对于任意一个有界输入,若系统所产生的相应输出也是有界的,称该系统是外部稳定的,简称BIBO (Bounded Input Bounded Output)稳定。 2. 系统渐进稳定,则BIBO 线性控制系统的外部稳定性(输出稳定)线性控制系统的外部稳定性(输出稳定)0)(dttg 2010 School of Mechanical Engineering, Sout

4、heast University, China 下列渐进稳定系统,输入有界:If )()(0stableallyAsymptoticAdttg)()(InputBoundedtallforRtrand)()()()()()()(000OutputBoundedRAdgRdtrgdtrgtytttThen 2010 School of Mechanical Engineering, Southeast University, China 3. 线性系统外部稳定的定义 系统传递函数的所有极点在S平面的左半平面。 线性控制系统的外部稳定性(输出稳定)线性控制系统的外部稳定性(输出稳定)Stabili

5、ty in s-planeStableUnstableMarginallystable 2010 School of Mechanical Engineering, Southeast University, China 4. MIMO系统的外部稳定性 系统外部稳定的充分必要条件是输入与输出之间的传递函数矩阵中的所有元素的极点全部位于S平面的左半部。 线性控制系统的外部稳定性(输出稳定)线性控制系统的外部稳定性(输出稳定)x Ax Buy Cx&AsIBAsICBAsICswyu*)()()(1 2010 School of Mechanical Engineering, Southe

6、ast University, China动态系统的内部稳定性所有状态均稳定?线性系统可以分析极点。非线性系统如何分析?1. 基本概念2. 李亚普诺夫稳定性定义3. 稳定的范围4. 内部稳定与外部稳定的关系 2010 School of Mechanical Engineering, Southeast University, China(1)平衡状态的定义系统状态方程为 。若系统存在一个状态 xe 对任意时间 t 都有则称状态xe是系统的一个平衡点。物理意义: 所有状态的变化速度为零,即状态不变,故称平衡点。 基本概念),()(txftx0),()(txftx 2010 School of

7、Mechanical Engineering, Southeast University, China(2) 平衡状态的计算 l平衡状态即为代数方程组 的解。 l线性定常系统的平衡状态:当A是非奇异时,则Ax=0有唯一零解,所以平衡状态是唯一的且在原点。l非线性系统的平衡状态:可能存在一个或多个平衡状态。 基本概念基本概念0),(txf,10,10,0000321322113221211eeexxxxxxxxxxxxx 2010 School of Mechanical Engineering, Southeast University, China(3)状态向量x 的范数(用于表示状态偏移平

8、衡位置的度量用于表示状态偏移平衡位置的度量)向量x的长度称为向量x的范数,可以表示为: 状态向量x到平衡点xe的范数: 当范数 限制在某一范围之内时,可以表示为用此概念来描述状态和平衡状态的距离。2122221)(xxxxxxTn2222211)()()(neneeexxxxxxxxexxexx 2010 School of Mechanical Engineering, Southeast University, China2. 李亚普诺夫稳定性定义李亚普诺夫稳定性定义 用状态向量到平衡点的范数来表示系统在n维空间运动过程中随时间推移状态向量与平衡点之间的距离变化。 存在以下三种情况: (1

9、) 渐近稳定 (2) 李亚普诺夫意义下的稳定 (3) 不稳定 2010 School of Mechanical Engineering, Southeast University, China 对于系统 ,若任意给定实数 ,都存在另一实数 。从任意初始状态 出发的解 满足 ,则称系统在平衡状态是李亚普诺夫意义下的稳定。 几何意义:初始状态有界,随时间推移解向量几何意义:初始状态有界,随时间推移解向量x(t)距平衡距平衡点的距离可以维持在一个确定的数值内。即点的距离可以维持在一个确定的数值内。即系统响应的幅值是系统响应的幅值是有界的有界的。 ),()(txftx00( , ) 0t 000ex

10、xxx),(00txt)(),(000ttxtxte (1) 李亚普诺夫意义下的稳定 2010 School of Mechanical Engineering, Southeast University, China 2010 School of Mechanical Engineering, Southeast University, China 对于系统 ,若任意给定实数 ,都存在另一实数 ,使得当 时,从任意初始状态 出发的解 满足 。且对于任意小量 ,总有 ,则称系统在平衡状态xe是渐近稳定。 几何意义:初始状态有界,几何意义:初始状态有界, 状态状态x(t)始终有界,且随时间推移始

11、终有界,且随时间推移无限接近平衡点。无限接近平衡点。 ),()(txftx00),(0texx0),(00txt)(), (000ttxtxte0etxtxt),(lim00(2) 渐近稳定0 x 2010 School of Mechanical Engineering, Southeast University, China 2010 School of Mechanical Engineering, Southeast University, China(3)(3)不稳定不稳定如果对于某个实数 和任一实数 ,总存在一个初始状态x0(至少有一个),当 时,使得则称平衡状态不稳定。 几何意义

12、:至少有一条轨线,不论初始状态离平衡点多近,几何意义:至少有一条轨线,不论初始状态离平衡点多近,随时间推移解向量随时间推移解向量x(t)(t)距平衡点的距离越来越远。距平衡点的距离越来越远。00exx0)(),(000ttxtxte 2010 School of Mechanical Engineering, Southeast University, China几点说明 非线性系统的渐近稳定性是一个局部概念。 通常有必要确定渐近稳定性的最大范围或吸引域。它是发生渐近稳定轨迹的那部分状态空间。换句话说,发生于吸换句话说,发生于吸引域内的每一个轨迹都是渐近稳定的引域内的每一个轨迹都是渐近稳定的。

13、 对所有的状态(状态空间中的所有点),如果由这些状态出发的轨迹都保持渐近稳定性,则平衡状态称为大范围渐近稳定。 大范围渐近稳定的必要条件是在整个状态空间中只有一个大范围渐近稳定的必要条件是在整个状态空间中只有一个平衡状态平衡状态。 2010 School of Mechanical Engineering, Southeast University, China 如果平衡状态不是大范围渐近稳定的,那么问题就转化为确定渐近稳定的最大范围或吸引域。对于实际问题,能否确定一个足够大的渐近稳定的吸引域,以致扰动不会超过它,如稳定步行的吸引盆。 在经典控制理论中稳定性概念,与Lyapunov意义下的稳定

14、性概念是有一定的区别的,例如,在经典控制理论中只有渐近稳定的系统才称为稳定的系统。在经典控制中的临界稳定系统,在Lyapunov意义下是稳定的。两者的区别与联系如下表所示。 2010 School of Mechanical Engineering, Southeast University, China 4. 内部稳定与外部稳定的关系(1) 内部稳定的系统外部一定稳定;(2) 外部稳定的系统不能保证内部稳定;(3) 完全能控和能观系统,则外部稳定与内部稳定等价。 2010 School of Mechanical Engineering, Southeast University, Chin

15、a李亚普诺夫稳定性的判别定理李亚普诺夫稳定性的判别定理1、二次型函数2、李亚普诺夫第二法分析系统稳定性3、应用举例 2010 School of Mechanical Engineering, Southeast University, China1. 二次型函数的一般概念二次型函数的一般概念定义:代数式中一种多项式函数,每一项的次数都是二次,则称该函数为二次型函数(标量函数)。矩阵形式: 如果d=e=f=0,标准二次型:222123121 323( )v xaxbxcxdx xex xfx x3213215.05.05.05.05.05.0)(xxxcfefbdedaxxxPxxxvT222

16、21212100)(nnnTcxbxaxxxxcbaxxxPxxxv 2010 School of Mechanical Engineering, Southeast University, China对于二次型函数 ,若为实对称阵,则必存在正交矩阵T,通过变换 ,使之化成:112( )()00TTTTTnv xx Pxx T PTxxTPT xxx( )TV xx PxxTx 2010 School of Mechanical Engineering, Southeast University, China111212122212nnnnnnppppppppppLLMMOML11121212

17、221112112212212,nn1nnnnnpppppppp= ppppppLLMMOML矩阵的各阶主子式: 2010 School of Mechanical Engineering, Southeast University, China二次型函数的符号性质 正定正定,即 ,有系数矩阵P的各阶主子行列式均大于零,即 。 半正定半正定,即 ,有P的各阶主子行列式均大于或等于零,即 。0, 0)(0, 0)(xxvxxv), 2 , 1(0nii0, 0)(0, 0)(xxvxxv), 2 , 1(0niiP0 2010 School of Mechanical Engineering,

18、Southeast University, China 负定负定: 时,系数矩阵的各阶主子行列式均满足下列条件,即 。 半负定半负定: 时,系数矩阵的各阶主子行列式均满足下列条件,即 。 不定不定:不满足上述任何一种条件的二次型函数,即可正也可负。 0, 0)(0, 0)(xxvxxv)5 , 3 , 1(0)6 , 4 , 2(0iii0, 0)(0, 0)(xxvxxv)5 , 3 , 1(0)6 , 4 , 2(0iii 2010 School of Mechanical Engineering, Southeast University, China2.2.李亚普诺夫第二方法(研究平衡

19、点在原点的稳定性)李亚普诺夫第二方法(研究平衡点在原点的稳定性)基于能量耗散,系统稳定能量耗散,系统稳定的概念构造李亚普诺夫函数(能量函数)任选一个正定的能量函数v(x),即满足: 的条件,称为李亚普诺夫函数,然后依据系统的运动方程(状态方程)来考察能量函数在运动过程中的变化规律 ,从而获得系统稳定性判据。0, 0)(0, 0)(xxvxxv)(xv 2010 School of Mechanical Engineering, Southeast University, China系统状态方程为)(xfx 在平衡状态 的某邻域内,标量函数 具有连续一阶偏导数,并且满足: 为正定; 为负定。则

20、为渐近稳定的。如果 , ,则是大范围渐近稳定的。 0ex( )v x( )v x( )v x&0exx)(xVv(x)为正定; 为半负定;除了 平衡状态外,还有 的点,但是不会在整条状态轨线上有 则系统 为渐近稳定的。如 , ,则系统是大范围渐近稳定的。 ( ) 0v x &0ex( ) 0v x &)(xv ( )v x x能量不会有跳变 2010 School of Mechanical Engineering, Southeast University, China系统状态方程为)(xfx 在平衡状态 的某邻域内,标量函数 具有连续一阶偏导数,并且满足: 为正定;

21、 为半负定,存在一条完整的轨线 ,存在极限环。则 附近为李雅普若夫意义下的稳定。0ex)(xV)(xV0ex( )v x( )v x =0& 2010 School of Mechanical Engineering, Southeast University, China因为 0( )v x&则系统可能存在闭合曲线(极限环),在上面恒有 ,则系统可能收敛到极限环,而不收敛到平衡点。因此 是李雅普若夫意义下稳定的。( ) 0v x &0ex 2010 School of Mechanical Engineering, Southeast University, Chin

22、a 应该指出: 没有构造Lyapunov函数的一般方法。 Lyapunov第二法是系统稳定性的充分条件。因此,对于某个系统来说,找不到合适的Lyapunov函数,既不能说系统稳定,也不能说系统不稳定。 2010 School of Mechanical Engineering, Southeast University, China3. 应用举例例例1 1:已知线性系统的状态矩阵,判断系统的稳定性。解(1): 状态矩阵非奇异,所以系统只存在一个在原点处的平衡点; 取能量函数 ,满足条件; 计算该系统能量的变化量: 显然,能量的变化量函数 正定。结论:此系统不稳定。1110)2(;1111) 1

23、 (AA2221)(xxxvxxxxxxxxxxxxxxxvT2002)(2)(2)(222)(22212122112211)(xv 2010 School of Mechanical Engineering, Southeast University, China (2)解:状态矩阵非奇异,所以只存在一个在原点处的平衡点;取Lyapunov函数 ,满足条件; 计算该系统的能量的变化量: 显然,能量的变化量函数 半负定。 需要进一步确定在非平衡点处是否有衡等于零的轨线 令 代入状态方程得 所以当 时,必有 不衡为零。 22215 . 05 . 0)(xxxvxxxxxxxxxxxxxvT200

24、02)(2)(2)(22212212211)(xv 000111011121221xxxxxxxxxx0 x)(xv 00)(2xxv 2010 School of Mechanical Engineering, Southeast University, China除 外在任意轨线上 不恒为零。只有状态转移轨线与等v圆重合,才会不耗能,但根据系统。状态轨线只可能偶而与等v圆相切,因此,不可能有一条完整的不耗能轨线。0 x)(xv 只有轨线穿过横坐标轴的瞬间不耗能,和等v圆重合。 2010 School of Mechanical Engineering, Southeast Universi

25、ty, China选择不同的Lyapunov函数试试?01(2)11A 2010 School of Mechanical Engineering, Southeast University, China重新选择重新选择LyapunovLyapunov函数函数 ,得,得 负定,负定,结论相同。结论相同。xxxvT2113)()(2)(2221xxxvLyapunov函数选择的好,判断方便! 2010 School of Mechanical Engineering, Southeast University, China例例2 2:已知非线性系统的状态方程,判断系统在平衡点处的稳定性解:解:求

26、平衡点可得唯一平衡点: ;取Lyapunov函数 ,满足条件; )()(22212122221121xxxxxxxxxx0ex2221)(xxxv22221)(2)(xxxv0)(00)(0 xvxxvx时,有;在时,有在x)(xv结论:系统在平衡点处渐近稳定,当 时,有 ,系统为大范围渐近稳定 2010 School of Mechanical Engineering, Southeast University, China线性系统中李亚普诺夫稳定性分析方法线性系统中李亚普诺夫稳定性分析方法 2010 School of Mechanical Engineering, Southeast U

27、niversity, China线性系统中李亚普诺夫稳定性分析方法线性系统中李亚普诺夫稳定性分析方法1.1.李亚普诺夫第一方法李亚普诺夫第一方法(1)定理:线性系统大范围渐近稳定的充分必要条件: 状态矩阵状态矩阵A A的所有特征值都具有负实部。的所有特征值都具有负实部。(2)判别方法:求特征方程 的特征值。0)(AsIsf 2010 School of Mechanical Engineering, Southeast University, China线性系统中李亚普诺夫稳定性分析方法线性系统中李亚普诺夫稳定性分析方法2.李亚普诺夫第二方法(1)理论依据理论依据:系统状态空间表达式为 正定李

28、亚普诺夫函数把状态方程代入得 系统稳定的充分必要条件负定,即Q,P都为正定实对称矩阵。 pxxxvT)(Axx xpxpxxxvTT)(xpApAxAxpxpxAxxvTTTT)()()()(QpApAT)(李亚普诺夫方程李亚普诺夫方程 2010 School of Mechanical Engineering, Southeast University, China(2 2)判别方法(充分条件)判别方法(充分条件):取矩阵取矩阵Q= =I,则 负定,由李亚普诺夫方程 反推P,如果正定,则系统在原点处渐近稳定,且大范围渐近稳定。 也可选 半负定,即Q半正定,由李亚普诺夫方程 反推P正定,然后再

29、确定在 时,有 不恒等于零存在。则系统在原点处渐近稳定,且大范围渐近稳定。 )(xv ()TA p pAQ=-I)(xv QpApAT)(0 x)(xv 2010 School of Mechanical Engineering, Southeast University, China例例系统为: ,其平衡状态在原点,试判断其稳定性。 xx1110( )( )()TTTv xx Pxv xx QxA P PAQQ I取实对称矩阵P 2010 School of Mechanical Engineering, Southeast University, China1220121001111011

30、102212221211122212121122121211PPPPPPPPPPPPPP15 . 05 . 05 . 122121211PPPP015 . 05 . 05 . 1; 05 . 121()TA P PAIP正定 2010 School of Mechanical Engineering, Southeast University, China 所以系统在原点处是渐近稳定的,因为是线性定常系统,所以又是大范围渐近稳定的。0)()(05 .1)(2221222121xxIxxxvxxxxxvT 2010 School of Mechanical Engineering, Southe

31、ast University, China例例已知系统结构图,求K的稳定范围。 2010 School of Mechanical Engineering, Southeast University, China解:根据方块图画出模拟结构图,得到一种实现:分析稳定性,可令u=0。线性系统来说,A阵非奇异,平衡状态为原点。为计算简单,取半正定实对称矩阵1112223330100021010001xxxxxuyxxKxKx100000000Q; 0)(23xQxxxvT 2010 School of Mechanical Engineering, Southeast University, Chi

32、na解:根据方块图画出模拟结构图。得到实现:为计算简单,取半正定实对称矩阵若取 则 只是在原点处才恒等于零,故Q可以取半正定。1112223330100021010001xxxxxuyxxKxKx100000000Q; 0)(23xQxxxvT0)(xv 31200,0 xxx )(xv 2010 School of Mechanical Engineering, Southeast University, China1000000001012001011002100332313232212131211332313232212131211KPPPPPPPPPPPPPPPPPPKKKKKKKKK

33、KKKKKKP212621202122123212602126212122则使P成为正定矩阵的充要条件为:系统为大范围渐进稳定60 KQPAPAT 2010 School of Mechanical Engineering, Southeast University, China非线性系统李亚普诺夫稳定性分析 2010 School of Mechanical Engineering, Southeast University, China1.1.近似线性化近似线性化系统 ,定义Jacobi矩阵(局部近似线性化法)。用线性系统的方法判别,局部性)(xfx 111122221212( )( )eennTx xnnnnx xfffxxxffff xxxxAJ xxfffxxx)(xRAxx( )( )Tf xx J x xxx& 2010 School of Mechanical Engineering, Southeast University, China2. 李亚普诺夫第二方法(克拉索夫斯基法)李亚普诺夫第二方法(克拉索夫斯基法)系统 ,Lyapunov函数 ,系数P0 显然,系统在平衡点

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论