材料力学第七章应力状态和强度理论

1、第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论 概述概述 平面应力状态的应力分析平面应力状态的应力分析主应力主应力 空间应力状态的概念空间应力状态的概念 应力与应变间的关系应力与应变间的关系 空间应力状态下的应变能密度空间应力状态下的应变能密度 强度理论及其相当应力强度理论及其相当应力 莫尔强度理论及其相当应力莫尔强度理论及其相当应力 各种强度理论的应用各种强度理论的应用强度条件强度条件maxmax没有也不需要考虑材料失效（断裂或屈服）的原因没有也不需要考虑材料失效（断裂或屈服）的原因同一截面上同一截面上的应力各不相同的应力各不相同同一点同一点上的应力各不相同上的应力各不相同链接链接1链接

2、链接2拉压、对称弯曲问题中：拉压、对称弯曲问题中： 的正应力是该点所有方位截面上的的正应力是该点所有方位截面上的正应力正应力max建立强度条件建立强度条件直接由直接由测得的极限应力除以安全因数得到测得的极限应力除以安全因数得到矩形截面梁弯曲时矩形截面梁弯曲时同一截面上同一截面上的应力各不相同的应力各不相同 应力的应力的的概念的概念返回返回1同一点同一点上的应力各不相同上的应力各不相同 应力的应力的的概念的概念杆拉伸时杆拉伸时圆杆扭转时圆杆扭转时返回返回22cos2sin5 . 02sin2cosmax圆杆扭转、对称弯曲问题中：圆杆扭转、对称弯曲问题中： 的切应力是该点所有方位截面上的的切应力是

3、该点所有方位截面上的切应力切应力建立强度条件建立强度条件一般情况下：一般情况下： 受力构件内任一点处，既有正应力又有切应力。受力构件内任一点处，既有正应力又有切应力。 对该点进行对该点进行强度计算，强度计算，分别按分别按正应力、切应力来正应力、切应力来建建立强度条件，立强度条件，要要正应力和切应力的影响。正应力和切应力的影响。 一方面要研究通过点不同方位截面上应力的变化规律，一方面要研究通过点不同方位截面上应力的变化规律，以确定最大正应力和最大切应力及其所在截面的方位。以确定最大正应力和最大切应力及其所在截面的方位。过一点所有过一点所有应力的集合（即过一点所有应力的集合（即过一点所有不同方位截

4、面上应力的全部情况）不同方位截面上应力的全部情况）点的应力状态点的应力状态另一方面，由于点的另一方面，由于点的，而应力的组合形，而应力的组合形式又有无限多的可能性，故不能用式又有无限多的可能性，故不能用的方法来确定每的方法来确定每一种应力组合情况下材料的极限应力。一种应力组合情况下材料的极限应力。 致力于观察和分析致力于观察和分析，找出引，找出引起材料破坏的共同因素；起材料破坏的共同因素； 利用利用，确定该共同，确定该共同因素的因素的极限值极限值，建立相应的强度条件。，建立相应的强度条件。关于材料关于材料的假说的假说强度理论强度理论一点应力状态一点应力状态微元（单元体）微元（单元体）每个面上的

5、应力都是每个面上的应力都是的；的；在相互平行的一对面上，应力在相互平行的一对面上，应力，。平面应力状态平面应力状态求斜截面上的应力求斜截面上的应力求最大正应力及其所在截面的方位求最大正应力及其所在截面的方位正应力以正应力以为正为正一、斜截面上的应力一、斜截面上的应力 xyz xy 从从x 轴量起，以轴量起，以为正。为正。切应力以绕单元体切应力以绕单元体为正为正平面应力状态平面应力状态的普遍形式的普遍形式斜截面面积：斜截面面积：dA xy a nt 0inFAdsinsindAycoscosdAxsincosdAxcossindAy0斜截面面积：斜截面面积：dA xy a nt 0itFAdco

6、ssindAysincosdAxcoscosdAxsinsindAy0 x y 2 x y 2cos2 x sin2 x y 2sin2 x cos2 任意两个任意两个上的正应力之和为常数，上的正应力之和为常数，切应力服从切应力互等定理。切应力服从切应力互等定理。 x y 2 x y 2cos2 x sin2 x y 2sin2 x cos2 应力圆（莫尔圆）应力圆（莫尔圆） xy 应力圆应力圆E ( , )C对应关系对应关系对应关系对应关系D2( y , y)D1( x , x) 与与单元体单元体一一 一一 对对 应应 关关 系系三、主应力与主平面三、主应力与主平面 xy CD2( y ,

7、y)D1( x , x)A1A2链接链接主平面主平面主应力主应力 通过一点的各个不同的方向面中，一定存在通过一点的各个不同的方向面中，一定存在的截面，在这些截面上只有正应力而没有切应力。的截面，在这些截面上只有正应力而没有切应力。主平面有主平面有3个个主应力有主应力有3个个1 2 3 （最小主应力）（最小主应力）（最大主应力）（最大主应力）返回返回主应力不为零主应力不为零 - 主应力不为零主应力不为零 - 主应力都不为零主应力都不为零 - CD2( y , y)D1( x , x)A1A2 x y 2 x 1 2 x y 2()22 x y 2 xtan2 0 0的确定是个的确定是个同主惯性轴

8、的确定同主惯性轴的确定 例例1 1：单元体如图示，求主应力的大小和主平：单元体如图示，求主应力的大小和主平面的位置。面的位置。6 MPa3 MPaCD1(-6,-3)A1A2D2(0,3)2a 0 11.3 MPa 37.2 MPa 067.5 0例例2 2：一两端密封的圆柱形压力容器，圆筒部分由壁：一两端密封的圆柱形压力容器，圆筒部分由壁厚为厚为d d ，宽度为，宽度为b 的塑条滚压成螺旋状并熔接而成。圆筒的塑条滚压成螺旋状并熔接而成。圆筒的内径为的内径为D，且，且d d D，如图所示。容器承受的内压的压，如图所示。容器承受的内压的压强为强为p，若熔接部分承受的拉应力不得超过塑条中最大拉，若

9、熔接部分承受的拉应力不得超过塑条中最大拉应力的应力的80，试求塑条的许可宽度，试求塑条的许可宽度b。P P217 217 例例7-17-1q qb 圆筒及其受力关于轴线圆筒及其受力关于轴线 圆筒横截面上正应力圆筒横截面上正应力d4pDd d D轴向应力轴向应力将圆筒沿将圆筒沿截开截开042 DpDdq qb圆筒上任一点的圆筒上任一点的应力状态应力状态圆筒上、下部分关于纵向直径平面圆筒上、下部分关于纵向直径平面 圆筒纵截面上圆筒纵截面上切应力切应力将圆筒沿将圆筒沿截开截开 d d D正应力正应力取单位长度研究取单位长度研究q qb圆筒上任一点的圆筒上任一点的应力状态应力状态d2pD 环向应力环向

10、应力在圆筒在圆筒上任取一点，则沿径向上任取一点，则沿径向p 012d2sin0 dDpd42pDd21pD p 30 2= = 1= = q qb比较比较确定许可宽度确定许可宽度b x y圆筒上各点圆筒上各点0 x2sin2cos22xyxyxq q qq qb qq2221cossinq q 得得熔接缝拉应力熔接缝拉应力18 . 0q qp DbDbsinqDbD)(cos22q22)(6 . 0Db Db43. 2塑条熔接缝塑条熔接缝空间应力状态的普遍形式空间应力状态的普遍形式yxz x、 y、 z xy yx xz zx zy yz最大正应力？最大正应力？最大切应力？最大切应力？有有6

11、6个独立的应力分量个独立的应力分量 1平行平行 3 的截面的截面 O C1 平行平行 3 的所有截的所有截面对应于应力圆面对应于应力圆AE上上的各点。的各点。A 1E 2 2平行平行 2 的截面的截面 平行平行 2 的所有截的所有截面对应于应力圆面对应于应力圆AF上上的各点。的各点。 2 1O C1AE 3FC2 3平行平行 1 的截面的截面 平行平行 1 的所有截的所有截面对应于应力圆面对应于应力圆FE上上的各点。的各点。 3 2 1O C1AEC2FC3ABC 外法线外法线n与坐标轴的夹角为与坐标轴的夹角为 、b b、g g0ixF0cosdd1AApxcos1xp上的应力？上的应力？bc

12、os2ypgcos3zpAd:斜面面积gbcosd:cosd:cosd:AzAyAx面面面ABC gbcoscoscoszyxnpppgb232221coscoscosn222322222122coscoscosnnnpgb上的应力？上的应力？ 任意截面上的应任意截面上的应力都可用这三个应力力都可用这三个应力圆所围成的圆所围成的中中的点的坐标来决定。的点的坐标来决定。 3 2 1O C1AEC2FC3 max = 1 min = 3 max = 1 32 max 所在截面与所在截面与 2平行，与平行，与 1、 3 所在的所在的主平面成主平面成 45角。角。 3 2 1O C1AEC2FC3B1

13、2.52512.512.5 例例1 1：图示单元体处于何种应力状态？绘出：图示单元体处于何种应力状态？绘出应力圆，求其主应力和最大切应力。应力圆，求其主应力和最大切应力。应力单位为应力单位为MPa12.52512.512.5 x12.5 MPa， x12.5 MPa y12.5 MPa， y12.5 MPa A1 (25,0)D2(12.5,-12.5)D1(12.5,12.5) 125 MPa， 20， 3 25 MPaC231maxMPa25空间应力状态下：空间应力状态下：有有6个独立的应力分量个独立的应力分量相应的有相应的有6个独立的应变分量个独立的应变分量应力分量与应变分量之间的关系应

14、力分量与应变分量之间的关系单轴应力状态下：单轴应力状态下：空间应力状态下：空间应力状态下：EE纯切应力状态下：纯切应力状态下：Ggyxz空间应力状态下，外法线与坐标轴正向一致的平面空间应力状态下，外法线与坐标轴正向一致的平面 外法线与坐标轴负向一致的平面外法线与坐标轴负向一致的平面正应力分量正应力分量拉应力为正；拉应力为正；正面上切应力与坐标轴正向一致为正，正面上切应力与坐标轴正向一致为正， 负面上切应力与坐标轴负向一致为正；负面上切应力与坐标轴负向一致为正；线应变分量线应变分量以伸长为正；以伸长为正；切应变分量切应变分量使直角减小者使直角减小者为为正。正。yxz 1 1已知已知 1、 2、

15、3平行平行 i 的边的边 ( ( i=1,2,3 ) )第第一一棱边的棱边的 1第二棱边的第二棱边的 2第三棱边的第三棱边的 3 1 引起引起 2 引起引起 3 引起引起E11E12E13E21 E22 E23 E31 E32 E33 在在内研究内研究iiii 3 , 2 , 1i)(13211E)(11322E)(12133E2 2已知已知 x、 y、 z 、 xy、 yz、 zx在在的条件下，的条件下，比起正应力比起正应力 引起的线应变小得多，是高引起的线应变小得多，是高阶微量，可以略去不计。阶微量，可以略去不计。 )(1zyxxE)(1xzyyE)(1yxzzE 对于切应力和切应变，它们

16、之间也有一对于切应力和切应变，它们之间也有一定的关系。定的关系。 广义虎克定律也适用于广义虎克定律也适用于、。在在内，各向同性材料的三个内，各向同性材料的三个材料常数满足材料常数满足GxyxygGyzyzgGzxzxg)1 (2EG 例例1 1：在一槽形钢块内放置一边长为：在一槽形钢块内放置一边长为10 mm 的的立方铝块，铝块与槽壁间无空隙，如图。当铝块上立方铝块，铝块与槽壁间无空隙，如图。当铝块上受到合力为受到合力为 F = 6 kN 的均布压力时，试求铝块内任的均布压力时，试求铝块内任一点处的应力，设铝块的泊松比为一点处的应力，设铝块的泊松比为 = 0.33。 01zMPa8 .192x

17、MPa603y例例2 2：用电阻应变仪测得空心圆轴表面上某：用电阻应变仪测得空心圆轴表面上某点处与母线成点处与母线成45O 方向上的正应变方向上的正应变 =2.010- -4，已知已知 E=2.0105 MPa， =0.3，试求轴所传递的，试求轴所传递的扭矩。扭矩。 MeMeMeMe TWp 1 1 ( 2 3)E1 1 E Me8.38 kNmD3 (1 4) Me 161单元体边长：单元体边长：dx、dy、dz体积：体积：V0 = dx dy dzdx dx +dxdy dy +dy = dy + 2dy = (1 + 2) dydz dz +dz = dz + 3dz = (1 + 3)

18、 dz= dx + 1dx= (1 + 1) dx体积：体积：V = (1 + 1) dx (1 + 2) dy (1 + 3) dz= V0 (1 + 1) (1 + 2) (1 + 3) 二、三阶微量二、三阶微量V = V0 (1 + 1+ 2 + 3 )体积的体积的：V = VV0 = V0 ( 1+ 2+ 3)单位体积增量：单位体积增量：3210qVV体积的体积的)(21321qE 若若，则则q q 0V 0，即即；若若，则则 q 0V 0，即即；)(213210qEVV 若若，则则 q = 0V = 0，即即。 ； q = 0 ，但一般但一般0.5 。 1 = 2 = 0 3 = q

19、 = 0V = 0O )(213210qEVV单元体形状单元体形状变成变成只引起形状改变，不引起体积改变。只引起形状改变，不引起体积改变。只引起体积改变，不引起形状改变。只引起体积改变，不引起形状改变。)(21zyxEq物体受外力作用产生变形时，将在物体内部物体受外力作用产生变形时，将在物体内部积蓄能量积蓄能量单位体积物体所积蓄的应变能单位体积物体所积蓄的应变能单轴应力状态下：单轴应力状态下：21v在在、的条件下，应变能的大小取的条件下，应变能的大小取决于外力的决于外力的，与外力作用的，与外力作用的无关。无关。 332211212121v23222121E)(2133221链接链接空间应力状态

20、下空间应力状态下三向应力状态的应变能密度：三向应力状态的应变能密度：VVvdddxdydz 1 d y d z 1 d x 2 d z d x 2 d y 3 d x d y 3 d zxzyWddd21d11zyxddd2133dV332211212121yxzddd2122返回返回 )(31321m相同相同相同相同单元体单元体不为零不为零单元体单元体为零为零单元体单元体但单元体但单元体体积改变体积改变形状改变形状改变体积改变能密度：体积改变能密度： 体积改变体积改变形状改变形状改变2321)(621Emm213Vvmm2123E形状改变能密度：形状改变能密度： 体积改变体积改变形状改变形状

21、改变)()()(61213232221dEv应变能密度应变能密度体积改变能密度体积改变能密度形状改变能密度形状改变能密度空间应力状态空间应力状态yxzzzyyxxv(21)zxzxyzyzxyxyggg对应每个应力分量的应变能密度对应每个应力分量的应变能密度该应力分量与相应的应变分量的乘积的一半该应力分量与相应的应变分量的乘积的一半材料破坏的形式有两种：材料破坏的形式有两种： 和和大体分为两类：大体分为两类： 有关有关的强度理论的强度理论 有关有关的强度理论的强度理论铸铁铸铁时，在横截面上时，在横截面上；铸铁铸铁时，在与杆轴线成时，在与杆轴线成 4545O O 的螺旋面上的螺旋面上。低碳钢低碳

22、钢时，时，在与杆轴线成在与杆轴线成 4545O O 的方向上的方向上产生产生；低碳钢低碳钢时，时，在纵向、横向在纵向、横向产生产生。是引起材料是引起材料的原因的原因1 1. 最大拉应力理论（第一强度理论）最大拉应力理论（第一强度理论） 当构件内当构件内的最大拉应力达到某一的最大拉应力达到某一时，材料就会发生脆性断裂破坏。时，材料就会发生脆性断裂破坏。材料材料时，发生断裂破坏的时，发生断裂破坏的。破坏条件：破坏条件： 1 b是引起材料是引起材料的原因的原因2 2. 最大伸长线应变理论（第二强度理论）最大伸长线应变理论（第二强度理论） 当构件内当构件内的最大伸长线应变达到某一的最大伸长线应变达到某

23、一时，材料就会发生脆性断裂破坏。时，材料就会发生脆性断裂破坏。材料材料时，发生时，发生断裂破坏的断裂破坏的。破坏条件：破坏条件： 1 u b是引起材料是引起材料的原因的原因1 1. 最大切应力理论（第三强度理论）最大切应力理论（第三强度理论） 当构件内当构件内的最大切应力达到某一的最大切应力达到某一时，材料就会发生屈服破坏。时，材料就会发生屈服破坏。材料材料时，发生屈服破坏时的时，发生屈服破坏时的。破坏条件：破坏条件： max S S S是引起材料是引起材料的原因的原因2 2. 形状改变能密度理论（第四强度理论）形状改变能密度理论（第四强度理论） 当构件内当构件内的形状改变能密度达到某一的形状

24、改变能密度达到某一时，材料就会发生屈服破坏。时，材料就会发生屈服破坏。材料材料时，发生屈服破坏时的时，发生屈服破坏时的。破坏条件：破坏条件：vdvdu)()()(21213232221 r 相当应力相当应力强度条件：强度条件： r )()()(212132322214r11r)(3212r313r与主应力有关与主应力有关 材料发生材料发生的原因主要是的原因主要是，但也和同一截面上的但也和同一截面上的有关。有关。三向应力状态下，三向应力状态下，不考虑不考虑 对破坏的影响。对破坏的影响。 极限应力圆极限应力圆 O工程上工程上 画出画出、的极限应力圆；的极限应力圆； bt bc 作这两个极限应力圆的作这两个极限应力圆的； 将此公切线作为将此公切线作为。 1 3构件内某点构件内某点处于剪断破坏状态处于剪断破坏状态PNMKLC1C3C2C1NC3 C1PC2C3NC2PC3 C1C2 C1C3N C3K C1LC2P C2M C1LC3C1 OC1 OC3C2C1 OC1 OC2( 1 3) 1212 bt bc 1212 bt( 1 3)1212 bt bt 1212 bc O bt bc 1 3PNMKLC1C3C2 对危险点处于对危险点处于的杆件进行强度的杆件进行强度计算，选择强度理论，需考虑计算，选择强度理论，需考虑、等因素。等因素。常温、静