08建筑与几何学二新第八讲

1、 建筑与几何学（二）胞体几何与镶嵌图形张 弘清华大学建筑学院建筑数学第八讲平面分割或铺砌的形式叫做镶嵌，镶嵌图形是完全没有重叠并且没有空隙的封闭图形的排列。而胞体几何研究的是三维单元体的没有重叠并且没有空隙的堆砌问题。从构成镶嵌的图形种类和形式来看，镶嵌图形及胞体几何可以分为不规则和规则两大类。镶嵌图形和胞体几何问题的研究也是通过对自然界普遍存在的镶嵌现象观察和研究逐步发展起来的。本课主要内容包括规则镶嵌、动态镶嵌、埃塞尔镶嵌、以及不规则镶嵌等。镶嵌图形与胞体几何概述2规则平面镶嵌正多边形、任意多边形镶嵌图形 能够无间隙拼连的单一的正多边形只有三种：正三角形、正方形、正六边形。因为它们的内角是

2、360的整分数：360 /6 = 60 , 360 /4 = 90 , 360 /3 = 120 。六边形在自然界中因为其最接近圆形，是上述三种图形中最符合“经济法则”同样面积，边长最短，因此在自然界中也是最常见的，如蜂巢、玄武岩龟裂等。规则镶嵌正多边形镶嵌4规则镶嵌正多边形和胞体镶嵌从蜜蜂的体型来看，近似园柱形，截面是圆形，单个蜂巢最好是圆形或八角形，但组合起来会出现空隙，只有正三角形、正方形和正六角形可以无间隙的拼接。但三角形和正方形内接一个圆，剩余的边角面积较多；而六角形是最节约的。 5巨人堤道 北爱尔兰规则镶嵌正多边形和胞体镶嵌6巨人堤道 北爱尔兰规则镶嵌正多边形和胞体镶嵌7 通过“拉

3、伸”或“压扁”，等腰三角形、长方形、扁六边形，也能以单一个体无间隙镶嵌。思考：如果进行“斜拉”会产生怎样的结果？规则镶嵌正多边形镶嵌8 任意全等三角形可以镶嵌；规则镶嵌多边形镶嵌 任意全等平行四边形可以镶嵌； 任意全等梯形可以镶嵌； 任意全等四边形可以镶嵌； 任意对边平行的全等六边形可以镶嵌；思考：五边形可以镶嵌吗？9规则镶嵌开罗镶嵌10规则镶嵌开罗镶嵌11 用不同的正多边形来拼铺整个平面，但每一个交叉点周围的正多边形种类和顺序都相同，叫做半正镶嵌图。半正镶嵌图有8种。 4 + 63 + 124 + 6 + 123 + 4 + 63 + 6 3 + 63 + 43 + 412伊斯兰清真寺装饰图

4、案131415三角形镶嵌 华盛顿美术馆东馆16三角形镶嵌 华盛顿美术馆东馆17三角形镶嵌 旧金山圣玛丽教堂18地铁隧道（华盛顿）19中钢国际大厦（天津）20O-14大厦（迪拜，RUR事务所）21 韩国构想的“蜂巢城” 首尔公社2026 22 蜂巢大厦（墨西哥）深圳华美术馆“蜂巢”博物馆23规则胞体镶嵌正多面体及其组合形式、建筑应用规则胞体正多面体 正多面体又叫柏拉图多面体，根据欧拉公式（ V+F-E=2 ，V、F、E分别指顶点、面、棱的数量）可以证明只存在五种正多面体。25426545636462通过组合和对偶可以产生丰富的变化 26446812+20838485通过组合和对偶可以产生丰富的变

5、化 27 其他同形多面体菱形三十面体梯形二十四面体菱形十二面体星状二十面体星状十二面体五角六十面体28 半正多面体阿基米德立体（13种）名称(顶点布局)立体图展开图面边顶点截半立方体(截半八面体)(3.4.3.4)14 三角形8正方形62412截半二十面体(截半十二面体)(三十二面体)(3.5.3.5)32三角形20五边形126030截角四面体(3.6.6)8三角形4六边形41812截角立方体(3.8.8)14三角形8八边形63624每个面都是正多边形，但有两种或两种以上，每个顶点都相同；29 半正多面体阿基米德立体（13种）名称(顶点布局)立体图展开图面边顶点截角八面体(4.6.6)14正方

6、形6六边形83624小斜方截半立方体(3.4.4.4 )26三角形8正方形184824大斜方截半立方体(4.6.8)26正方形12六边形8八边形67248扭棱立方体(3.3.3.3.4)38三角形32正方形6602430 名称(顶点布局)立体图展开图面边顶点截角十二面体(3.10.10)32三角形20十边形129060截角二十面体(足球的形状)(5.6.6)32五边形12六边形209060小斜方截半二十-三十二面体(3.4.5.4)62三角形20正方形30五边形1212060大斜方截半二十面体(4.6.10)62正方形30六边形20十边形12180120扭棱十二面体(3.3.3.3.5)92三

7、角形80五边形121506031 多面体的艺术32 多面体艺术33 魔方又叫鲁比克方块。是匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺鲁比克教授在1974年发明的。魔方系由富于弹性的硬塑料制成的6面正方体。当初发明魔方，仅仅是作为一种帮助学生增强空间思维能力的教学工具。34 可滚动的多面体住宅 波哥达 哥伦比亚 2009年7.5平方米。35 富勒发明的张力杆件穹窿，直径76m。三角形金属网状结构组合成一个球体。蒙特利尔博览会美国馆 富勒 1967“以最小追求最大。” (Doing the most with the least.) 圆球建筑以“无一定尺寸限制的结构”为概念，不连续的和连续的张力相结合，以最小的

8、材料和最合理的结构、最小的投资创造出最大的内部空间。富勒说，“评判建筑结构优劣的一个好指标，是遮盖一平方米地面所需要的结构重量。常规墙顶设计中，这数字往往是2500公斤每平方米，但网球格顶设计却可以用4公斤每平方米完成。” 36富勒是第一个运用六边形和五边形构成的球形薄壳建筑结构，作成能源耗费极低，强度却很强大的建筑物，后来这种结 构被广泛运用，现代运动的足球，就是运用这个结构所制造。这个结构也协助科学家发现了碳c60，后来被称为 富勒烯。37 蜂巢公寓概念方案38卡斯巴住宅区 霍尔巴克 BIG39卡斯巴住宅区 霍尔巴克40卡斯巴住宅区 霍尔巴克4142E2生态性与经济性 科瓦拉 BIG434

9、4 45动态镶嵌链杆旋转、组合旋转动态镶嵌链杆旋转47动态镶嵌组合旋转48动态镶嵌组合旋转49巴黎阿拉伯世界研究所 让努维尔50巴黎阿拉伯世界研究所 让努维尔51埃塞尔镶嵌埃塞尔图形、迷惑图形埃舍尔的几何艺术摩里茨科奈里斯埃舍尔 M.C.Escher （1898-1972）荷兰艺术家。1922年毕业于Arnhem（阿纳姆）建筑与装饰艺术学院，建筑专业。埃舍尔把自己称为一个“图形艺术家”，他专门从事于木版画和平版画。他的代表作凸与凹、上和下、观景楼、瀑布等被称为“无人能够企及的传世佳作”。531957年埃舍尔写了一篇关于镶嵌图形的文章，其中评论道：在数学领域，规则的平面分割已从理论上研究过了.

10、. . ，难道这意味着它只是一个严格的数学的问题吗？按照我的意见, 它不是。 埃舍尔在他的镶嵌图形中利用了这些基本的图案，他用几何学中的反射、平滑反射、变换和旋转来获得更多的变化图案。他也精心地使这些基本图案扭曲变形为动物、鸟和其他的形状。这些改变不得不通过三次、四次甚至六次的对称以便得到镶嵌图形。这样做的效果既是惊人的，又是美丽的。埃舍尔的几何艺术 我平静的心灵愉悦在这完美之中，它们证明不是我“创造”了它们，也不是我发现了它们。数学的规律根本就不是人类的发明创造，它们本身“存在”而且完全独立于人类的智慧。 M.C.埃舍尔54埃舍尔的镶嵌图形 55埃舍尔的镶嵌图形 56埃舍尔的镶嵌图形 57埃

11、舍尔的镶嵌图形 圆之界限 195958埃舍尔的镶嵌图形 方之界限 195959埃舍尔的镶嵌图形 60埃舍尔的“迷惑的图画”61埃舍尔的“迷惑的图画”62埃舍尔的“迷惑的图画”63埃舍尔的“迷惑的图画”64埃舍尔“迷惑的图画” 瀑布 196165埃舍尔“迷惑的图画” 现实 195366埃舍尔的“迷惑的图画”彭罗斯三角及台阶等67盗梦空间中的折叠街道和彭罗斯楼梯68天花镶嵌 伊朗伊斯法罕清真寺69蜂巢镶嵌装饰（阿布扎比）70Cepezed设计的临时剧场（荷兰海牙）717295分之一 纽约 BIG2010青年建筑师计划的临时性建筑 7273=74757677不规则镶嵌自然裂纹与肥皂泡形成规律费马点、

12、最短连线、voronoi(（泰森多边形）玄武岩龟裂 台湾澎湖列岛79蜻蜓翅膀细节80自然界不同的裂纹811、三线交于一点；2、单元为5边形或6边形；3、顶点夹角遵循90o和120o原则。自然界不规则镶嵌的三条规律82自然界不规则镶嵌的三条规律1、三线交于一点；2、单元为5边形或6边形；3、顶点夹角遵循90o和120o原则。831、三线交于一点；2、单元为5边形或6边形；3、顶点夹角遵循90o和120o原则。自然界不规则镶嵌的三条规律841、三线交于一点；2、单元为5边形或6边形；3、顶点夹角遵循90o和120o原则。自然界不规则镶嵌的三条规律85最短连线问题与费马点现拟在A、B、C三个村庄构成

13、的三角形区域内设置一个警察局，使其到三个村庄的距离都相等；外接圆心R1如果是到三个村庄的距离之和最小呢？费马点R2ABCR1R2120o120oA=R2BCR186最短连线问题与费马点87美国49个州府所在城市连线系统，右图比左图的树状连线系统短3.1%，该系统是设有附带节点，其总长度为最小的树状连线系统。多点间的最短连线88肥皂泡中的普拉托规则1873年，比利时物理学家普拉托指出，当肥皂泡沫聚集到一起时，它们以三个侧面成120角连接在一起。如果一次聚集4个皂泡，那么在每一个角点上有4条边交汇，它们形成的四面角大约为109.47。这就是著名的普拉托规则。89109.47蜂巢是严格的六角柱形体。

14、它的一端是六角形开口，另一端则是封闭的六角棱锥体的底，由三个相同的菱形组成。18世纪初，法国学者马拉尔奇曾经专门测量过大量蜂巢的尺寸，令他感到十分惊讶的是，这些蜂巢组成底盘的菱形的所有钝角都是10928，所有的锐角都是7032。后来经过法国数学家克尼格和苏格兰数学家马克洛林从理论上的计算，如果要消耗最少的材料，制成体积最大的菱形底截面容器正是这个角度。蜂巢中的普拉托规则90不规则镶嵌的模拟Voronoi图形(泰森多边形)两点中垂线形成的镶嵌形式Grasshopper模拟91虎皮墙 烟台牟氏庄园92 “水立方”（奥运游泳馆）表皮 Skin 尽管每个元泡形状不同，但交点都是三条边相交的“ Y ”形。939495三维Voronoi9697WMOMA华沙现代美术馆 BIG9899100101学生设计作业中的应用102学生设