广东省深圳市2021-2022学年高一下学期期末调研考试数学试题（答案解析）

1、2022 年深圳市高一年级调研考试数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A B D A C D A C说明与略解：1说明：本题改编自人教 A 版必修第一册第 14 页习题 1.3 第 1、2 题2说明：本题改编自人教 A 版必修第二册 94 页第 1（3）题3说明：本题改编自人教 A 版必修第二册 93 页第例 11 、 60 页第 8 题4说明：本题改编自人教 A 版必须第一册 185 页习题 5.2 第 11 题5说明：本题改编自人教 A 版必修第二册

2、158 页第 2 题6说明：本题改编自人教 A 版必修第二册 37 页第 11 题7说明：本题改编自人教 A 版必修第一册 46 页练习题第 1 题及第 2 题8说明：本题改编自人教 A 版必修第一册 143 页例 1命题意图：本题考查方程根的个数与函数的零点问题，考查化归与数形结合的数学思想方法，考查直观想象、数学运算等核心素养二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。题号 9 10 11 12答案 AC AD ACD ABD说明与略解：9 说明：本题改编自人教 A 版

3、必修第二册 199 页例 1 折线图.10说明：本题改编自人教 A 版必修第一册 214 页习题 5.4 第 16 题.11说明：本题改编自人教 A 版必修第一册 87 页 12 题.12说明：本题改编自人教 A 版必修第二册 170 页第 10 题.命题意图：本题以菱形的翻折问题为背景，考查了空间几何体的体积、外接球、空间的线面关系、二面角等问题，考查分析问题与解决问题的能力，考查空间想象、数学运算与逻辑推理等核心素高一年级数学试题答案及评分参考第1页（共6页）养略解 ：当ABD 所在的平面垂直于底面时，四面体 A BCD的体积的最大，最大值为 1，所以 A 正确；对于 B ，当 MB =

4、2 时，满足 BM CD ，所以 B 正确；取 CD中点 O ，连接OM,BM ，在OBM 中 ，边 BM 的长度不是定值，另外两条边的长度是定值，所以 OMB不是定值，所以 C 选项不正确；对于 D ，当二面角 A BD C 的余弦值为13时，四面体 A BDC 为正四面体，它的外接球的半径为62，所以 D 正确三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。113 2 ； 14 3； 15 ； 162(0, ) 4,+)2说明与略解：13说明：本题改编自人教 A 版必修第一册 106 页例 2 及 124 页例 3 .14说明：本题改编自人教 A 版必修第二册 225 页例 815说

5、明：本题改编自人教 A 版必修第二册 120 页第 4 题16说明：本题改编自人教 A 版必修第一册 120页第 9题命题意图：本题考查与分段函数有关的双变量的值域问题，考查了逻辑推理和数学运算等核心素养2 2略解：当0 x1 x2 1时 x 2 = 2x 2 1，得 x 01 ， x f (x ) = 2x (0, )3 2 11 2 12 2当0 x1 1，x2 1时 f (x2 ) 2 ，0 f (x1) 1，不满足 f (x2 ) = 2 f (x1)当1 x1 x2 时， 2x2 = 2x1+1， x = x +1, x f (x ) = 2x 2x 4,+)1 2 1 1 2 12

6、综上所述：则 x1 f (x )的取值范围是 +(0, ) 4, ) 22四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）2解：（1）由函数的最小正周期为 得 = = 22分 则函数为 f (x) = 2sin(2x + )， 3分 3 2 3因此 f ( ) = 2sin(2 + ) = 2sin( ) = 2 = 3 6 6 3 3 25分 3（2）由 + 2k 2x + + 2k ， k Z 解得 6分2 3 2高一年级数学试题答案及评分参考第2页（共6页） 7 + k x + k ， k Z 8分12 12 7因此，函数的单调递减区间

7、为 + k, + k 12 12， k Z 10分说明：本题改编自人教 A 版必修第一册 207 页练习题第 5 题.命题意图：本题考查了正弦型函数的周期、求值以及单调性，考查数学运算、逻辑推理等核心素养18（12 分）解：（1）由正弦定理得 2ac 3accos B = 0 2分因为在三角形中， ac 0， 3分 2 4分所以cos B =3（2）根据向量的数量积得， accosB = 2 6分 2又因为 ac = 3，所以 ac = 3 7分2又因为c =1，所以 a = 3 8分2在 ABC ，由余弦定理得b = a + c ac B = + =2 2 2 2 cos 9 1 2 3 1

8、 6， 11分3 所以b = 6 12分说明：本题改编自人教 A 版必修第二册 54 页第 22 题命题意图：本题考查了向量的数量积、正余弦定理等知识点，考查转化与化归的思想方法与方程思想，考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养19（12 分）解：（1）因为 f x = a( ) 2 是定义在 R 上的奇函数，x2x a a所以 f (x) = f (x) 即 x = x + 即 2x + 2x = a(2x + 2x ) 1分2 2x x2 2，则而 2x + 2x 0，则 a =1 2分3 得 1 = 3 3分 由 f (x) =x22 2 2x则 24x 32x 2 = 0 4分即

9、(22x +1)(2x 2)=0 5分即 2x 2 = 0 得 x =1 6分（2）由 f (x) 为奇函数得， f (t 2x) f (x2 ) = f (x2 ) 7分1又因为 f (x) = 2 在 R 上单调递增 8分x2x所以t 2x x2 即t 2x x2 9分则 0 x3， 10分则 2x x2 3 ， 11分因为t (2x x2 ) 所以t 3 12分min高一年级数学试题答案及评分参考第3页（共6页）说明：本题改编自人教 A 版必修第一册 120 页第 10 题命题意图：本题考查了函数的奇偶性、单调性、不等式的恒成立问题等知识点，考查转化与化归的思想方法与方程思想，考查数学抽

10、象、逻辑推理、数学运算等核心素养20（12 分）解：（1）由题意可得 28BMI 为肥胖，根据频率分布直方图，计算 28BMI 所占的比例0.0252+0.01254 = 0.1 3 分所以该校学生为肥胖的百分比为10% 4 分（2）根据频率分布直方图得，样本的平均数为X =160.15+ 200.40+ 240.30+ 280.10+320.05 = 227 分 因为 60 名男学生 BMI 的平均数为 = 22.81 ，根据分层抽样样本中各层平均数与样本平均数的 60 40关系，得 22.8+ = 222 10 分100 100解得 = 20.8 11 分 2数为 = 20.8所以样本中

11、40 名女学生 BMI 的平均212 分说明：本题改编自人教 A 版必修第二册 212 页例 6，219 页统计案例.命题意图：本题主要考查了频率分布直方图的基本性质，百分位数，平均数的基本概念和求法，以及分层抽样的性质，考查了数形结合，转化与化归的数学思想方法，考查了学生数学建模、数学运算、数据分析等核心素养21（12 分）解：（1）如图：过 P 作 PH CD 于 H 1 分P因为平面 ABCD 平面 PCD平面 ABCD 平面 PCD = CD 2 分DAPH 平面 PCD， PH CDH所以 PH 平面 ABCD 3 分C BE而 BC 平面 ABCD，所以 PH BC 4 分又因为

12、BC PD, PD PH = P ，所以 BC 平面 PCD 5 分（2）连接 BH、AH ，作 HE AB于 E ，连接 PE.由（1）已证 PH 平面 ABCD，所以直线 PB在底面 ABCD上的射影为直线 BH ，从而可得 PBH 为直线 PB与平面 ABCD所成角 6 分PH 3a 15不妨设 PC = 2a(a 0)， 则 PH = 3a ， = = = sin PBHPB PB 5高一年级数学试题答案及评分参考第4页（共6页）所以 PB = 5a,BH = ( 5a)2 ( 3a)2 = 2a从而 BC BH2 HC2 a, AD 2a, AH 5a AB 7 分= = = = =

13、因为 PH 平面 ABCD，而 AB 平面 ABCD，所以 AB PH 8 分又因为 HE PH = H ，所以 AB 平面 PHE ，而 PE 平面 PHE ，所以 AB PE所以 PEH 为二面角 P ABD的平面角 9 分3 3 5在ABH 中，求得 HE = a = a5 5， 10 分 2 6 2 30 HE在PHE 中，求得 PE = a = a ，所以 cosPEH = = 5 5 PE64 11 分所以二面角 P ABD的余弦值为64 12 分说明：本题改编自人教 A 版必修第二册 171 页第 14 题.命题意图：该题考查立体几何中线线垂直、线面垂直的判定、性质定理及二面角、

14、线面角的证明与求法，重在培养学生运算、空间想象等能力，该题充分体现了数形结合的思想22（12 分）解：（1）设 f (x) = ax2 + bx + c(a 0)由题意，得 f (0) = c = 0 1 分 f (x) = ax2 +bx ， f (x 1) = ax2 +(b 2a)x + a b f (x 1)是偶函数， =2a b2a2 分0即 2a b = 0 f (x) +1= 0 有两相等实根， a 0且 = b 4a = 0 2 3分由，解得 a =1， b = 2， f (x)= x2 + 2x 4 分（2）函数 g x = f +( )(e ) 1x与 h(x) = 2m2

15、ex m+ 2的图象的公共点个数等价于ex方程 f x + = m m +(e ) 1 22 e 2x 的实数解个数，整理得 (2m2 1)e2x mex 1= 0，ex令 t = ex ，则t = ex 在 R 上单调递增，且t 0，则原问题等价于讨论关于t 的方程 (2m2 1)t2 mt 1= 0 (记为*式)的正实根个数5 分记(t) = (2m2 1)t2 mt 1，当 2m2 1= 0 时， m = 22，当 m =22，则t = 2 ，舍去；高一年级数学试题答案及评分参考第5页（共6页）当 m = 22，则t = 2 ，方程(*)有一个正实根；6 分当 2m2 1 0 时， =

16、m2 + 4(2m2 1) = 9m2 4 ；当 2m2 1 0 时，即 m 22或者 m 22时， 0 ，(0) = 1 0 ，方程(*)有一个正实根；7 分2 2 2m 1 0m m 2 0 (0) 0 = ( )t 0 * 当 时，则 ， ， ，对称轴 ，方程4m 222 3有两个正实根； 8 分2m = ( ) t2 6t +9 = 0当 ，则方程 为 ，有一个正实根； 9 分* 32 2 0 (*) m 当 时，则 ，方程 没有正实根； 103 3 分2 2 2m 1 0m2 0 (0) 0 t = ( ) m 0* 当 时，则 ， ， ，对称轴 ，方程 没有4m2 2 3 2正实根； 11 分2 2综上所述，当 m3 2时， g(x)