教师资格证高中数学讲义

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业第一讲应试攻略一、考情分析数学学科知识与教学能力是高中学段教师资格统考科目三的考试科目，主要考查申请教师资格人员数学专业领域的基本知识，教学设计、实施、评价的知识和方法，运用所学知识分析和解决教育教学实际问题的能力。考试内容：数学学科知识、课程知识、教学知识、教学技能试题题型：选择题、简答题、解答题、论述题、案例分析题、教学设计题二、题型解读(一）单项选择题主要考查学科知识和课程知识，知识点覆盖范围比较广。在历年考试真题中，学科知识6-7道，课程与教学知识1-2道。（二

2、）简答题简答题稳定在5题，前面3题一般是学科知识，后面2题是课程知识与教学知识，总分值35分。（三）解答题一般考大学数学专业基础课程相关知识，分步骤给分，如果不能够完全解答，只要会的步骤，都要写在试卷上，阅卷老师看见答案中有相关步骤，都会给相应的分数。（四）论述题一般考课程知识、教学知识、教学技能。在答题时一般需要提出论点，并用论据进行论证，最后得出结论。(五）案例分析题一般考查教学知识或教学技能。案例分析题是给出教学片段，然后提出问题，在问题中要求考生阅读分析给定的资料，依据一定的理论知识，或作出决策，或给出评价，或提出具体的解决问题的方法或意见等。（六）教学设计题给出一个课题，按要求进行设

3、计。一般从教学目标、教学重难点、教学过程几个问题进行考查。三、备考策略（一）研究真题，把握考试脉搏考纲是了解考点的依据，真题是掌握考情的关键。对照教师资格考试大纲和近几年考试真题，也可参照“考情分析”与“题型解读”。（二）学记结合，强化记忆效果利用笔记将“厚”书读“薄”，提高学习效率。1、对教材的重点内容做摘要笔记，概括其要点。2、复习过程中在教材相应位置做好批注，加强记忆。3、对所学内容做好心得笔记，将学习过程中的思考、分析、体会等随手记下来，巩固对知识点的理解。（三）系统总结，梳理知识脉络在理解的基础上系统梳理每个模块知识的脉络，整理出清晰明了的框架结构，加强识记效果，以便在考试中看到相关

4、题目时能快速在脑中搜索到相关知识点，得出合理的答案。（四）强化练习，及时查漏补缺多做练习是检测复习效果的有效手段。进行适当的练习，以及时查看对所学知识点的掌握情况，对记忆模糊的知识点重新记忆，对薄弱环节进一步巩固，查漏补缺，科学备考。第二讲考试大纲一、考试目标1、学科知识的掌握和运用。掌握大学本科数学专业基础课程的知识、高中数学的知识。2、高中数学课程知识的掌握和运用。理解高中数学课程的性质、基本理念和目标，熟悉义务教育数学课程标准规定的教学内容和要求。3、数学教学知识的掌握和应用。理解有关的数学教学知识，具有教学设计、教学实施和教学评价的能力。二、考试内容模块与要求（一）学科知识大学本科数学

5、专业基础课程：数学分析、高等代数、解析几何、概率论与数理统计。包括数列极限、函数极限、连续函数、一元函数微积分、向量及其运算、矩阵与变换。要求：准确掌握基本概念，熟练进行运算，并能够利用这些知识去解决中学数学的问题。高中数学知识：高中数学课程中的必修内容、选修课中的系列1、2的内容以及选修31（数学史选讲），选修41（几何证明选讲）、选修42（矩阵与变换）、选修44（坐标系与参数方程）、选修45（不等式选讲）。要求：理解高学数学中的重要概念，掌握高学数学中的重要公式、定理、法则等知识，掌握中学数学常见的数学思想方法，具有空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力以及综合运用能力

6、。（二）课程知识1、了解高中数学课程的性质、基本理念和目标。2、熟悉新课标所规定的教学内容的知识体系，掌握新课标对教学内容的要求。3、能运用新课标指导自己的数学教学实践。（三）教学知识1、掌握讲授法、讨论法、自学辅导法、发现法等常见的数学教学方法。2、掌握概念教学、命题教学等数学教学知识的基本内容。3、了解包括备课、课堂教学、作业批改与考试、数学课外活动、数学教学评价等基本环节的教学过程。4、掌握合作学习、探究学习、自主学习等中学数学学习方式。5、掌握数学教学评价的基本知识和方法。（四）教学技能1、教学设计a、能够根据学生已有的知识水平和数学学习经验，准确把握所教内容与学生已学知识的联系。b、

7、能够根据课标的要求和学生的认知特征确定教学目标、教学重点和难点。c、能正确把握数学教学内容，揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质、渗透数学思想方法，体现应用与创新意识。d、能选择适当的教学方法和手段，合理安排教学过程和教学内容，在规定的时间内完成所选教学内容的教案设计。2、教学实施a、能创设合理的教学情境，激发学生的数学学习兴趣，引导学生自主探索、猜想和合作交流。b、能依据数学学科特点和学生的认知特征，恰当地运用教学方法和手段，有效地进行数学课堂教学。c、能结合具体数学教学情境，正确处理数学教学中的各种问题。3、教学评价a、能采用不同的方式和方法，对学生知识技能、数学思考、问题解决和情感态

8、度等方面进行恰当地评价。b、能对教师数学教学过程进行评价。c、能够通过教学评价改进教学和促进学生的发展。三、试卷结构四、题型示例1、单项选择题a、学科知识模块b、课程与教学知识模块在某次测试中，用所有参加测试学生某题的平均分除以该题分值，得到的结果是（B）（2016年下半年真题）A.区分度 B.难度 C.信度 D.效度区分度：把不同水平的人区分开来。信度：测试结果的一致性、稳定性及可靠性。效度：所测量到的结果反映所想要考察内容的程度。2、简答题 以“二项式定理”的教学为例，阐述数学定理教学的基本环节。（2016年下半年真题）解题思路：（1）介绍定理的背景或特殊情形。 （2）了解定理的内容，理解

9、定理的含义，认识定理的条件和结论，能 够解决什么问题。 （3）定理的证明或推导过程：学生与老师一起研究证明方法，如不需证明，学生根据老师提供的材料体会定理规定的合理性。 （4）熟悉定理的使用。 （5）引申和拓展定理的运用。3、解答题 设函数f(x)=x2在R上连续且可导。 （1）当f(x)=x2，且g(x)=exf(x)时，求证f(x)与g(x)有共同驻点。 （2）当f(a)=f(b)=0(aN 时有Xn-a0，存在 0当 的时候，有 则称A是函数f(x)当x趋于xo的时候的极限， 记为 或者记为：3、求极限的一般方法：直接代入法。以x=x0代入f(x)，如f(x0)有意义，则极限为f(x0)

10、 约分法。如f(x)为分式，且分子、分母可约分，约分后所得的式子g (x0)有意义，则函数极限为g (x0)。 有理化法。如f(x)为分式，且分子、分母中其一为无理式，可将其有理化后再约分，如所得g (x0)有意义，则极限为g (x0)。若x，f(x)为分式，分子、分母均为多项式时，可将分子、分母同除以x的最高次幂，再逐项求极限。4、导数的应用（1）求可导函数f(x)极值的步骤： 求导数f(x); 求方程f(x)=0的根； 检验f(x)在方程f(x)=0的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y=f(x)在这个根处取得极大值；如果在根的右侧附近为正，左侧附近为负，那么函

11、数y=f(x)在这个根处取得极小值。（2）函数的最大值和最小值设y=f(x)是定义在区间a,b内有导数，求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值，可分两步进行： 求y=f(x)在（a,b)内的极值； 将y=f(x)在各极值点的极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。 若函数f(x)在a,b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a,b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值。5、微分学基本定理拉格朗日（Lagrange）中值定理 这个定理也称为微分学的中值定理，它是微分学中的一个很重要的定理。设函数

12、 f (x) 满足：(i) f(x) 在闭区间 a, b 上连续;(ii) f(x) 在开区间 (a, b) 内可导.那么在开区间（a,b）内 至少 存在一点 , 使得-拉格朗日公式.注：当f(a)=f(b)时，拉格朗日定理就是罗尔定理，可见，罗尔定理是拉格朗日定理的一个特例.罗尔 ( Rolle ) 定理Y=f(x)满足:(1) 在区间 a , b 上连续(2) 在区间 (a , b) 内可导(3) f ( a ) = f ( b )在( a , b ) 内至少存在一点柯西中值定理 设函数f(x), g(x) 在区间a,b上满足1) f(x) , g(x) 在闭区间 a, b 上连续;则在开

13、区间（a,b）内必定 (至少) 存在一点 , 使得三者关系第四讲第二章 高等代数考点：1、掌握矩阵、行列式的性质，求解线性方程组的方法。 2、会化二次型为标准型，会判断二次型的正定性。 3、了解线性空间的定义及简单性质，线性变换的定义、性质及欧氏空间的一些概念。考点聚焦：1、本章知识在历年考试中大多以选择题和解答题的形式出现。 2、在历年考试中，行列式的计算和性质、克莱姆法则、矩阵的概念及运算、矩阵的性质、线性空间的定义及简单性质是考查的重点，考生在复习这部分知识的时候，要注意多加练习，在掌握理论的基础上灵活运用。 1、行列式的性质：性质1：行列互换，行列式不变。性质2： 即一行的公因子可以提

14、出去，或者说以一数乘行列式的一行相当于用这个数乘此行列式。性质3：即如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样。性质4：如果行列式中有两行相同，那么行列式为零。所谓两行相同就是说两行的对应元素都相等。性质5：如果行列式中两行成比例，那么行列式为零。性质6：把一行的倍数加到另一行，行列式不变。性质7：对换行列式中两行的位置，行列式反号。 2、矩阵： （1）定义： 由mxn个数aij(i=1,2,m;j=1,2,n)排成 m行n列的数表， 叫做m行 n列矩阵，简称mxn矩阵。这mxn 个数叫做矩阵A的元素 ，aij叫做矩阵A的

15、第i行第j列的元素。上述的矩阵A也简记为A=(aij)mxn或A=(aij)mxn矩阵A也记为Amxn （2）矩阵的加法：两个m行n列矩阵A=(aij)mxn ，B =(bij)mxn 对应位置相加得到的m行n列的矩阵，称为矩阵A与矩阵B的和，记为A+B，即 注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算。矩阵加法的运算律：由此规定矩阵的减法为（3）数与矩阵相乘：以数乘矩阵A的每一个元素所得到的矩阵称为数与矩阵A的积，记作A或A，如果A=(aij)mxn ，那么数乘矩阵的运算规律： 注意： 矩阵的数乘与行列式的数乘是不一样的，矩阵的数乘是数乘矩阵每一个元素，行列式的数乘是数乘行列

16、式的某行（某列）的每一元素。矩阵的特征值与特征向量 定义 设A是n阶方阵，如果数和n维非零列向量x使关系式Ax=x (1)成立，那么这样的数称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值的特征向量（1）式也可写成，( A-E)X=0 (2)这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式| A-E|=0 , (3)3、线性空间定义：设V是一个非空集合，R为实数域如果对于任意两个元素 总有唯一的一个元素 与之对应，称为与的和，记作 = + 。若对于任一数与任一元素 ，总有唯一的一个元素 与之对应，称为与的积，记作= +。如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那么V

17、就称为数域R上的向量空间（或线性空间）3、线性空间线性空间的性质： 1零元素是唯一的 2负元素是唯一的向量的负元素记为 4如果 =0则=0或 =0 . 4、欧氏空间的定义设V是实数域 R上的线性空间，对V中任意两个向量、，定义一个二元实函数，记作（ 、 ） 若（ 、 ）满足性质：则称（ 、 ）为 和 的内积，并称这种定义了内积的实数域 R上的线性空间V为欧氏空间.考试真题下列命题正确的是（ ）（2016年下半年真题）A.若三阶行列式D=0，那么D中有两行元素相同B.若三阶行列式D=0，那么D中有两行元素对应成比例C.若三阶行列式D中有6个元素为零，则D=0D.若三阶行列式D中有7个元素为零，则

18、D=0解析：三阶行列式D中若7个元素为零，则至少有一行（或列）的元素全是零，所以它的值为0.第五讲第三章 空间解析几何1、空间直角坐标系及有关概念 (1)空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴，y轴，z轴这时建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做原点x轴，y轴，z轴统称 坐标轴 由坐标轴确定的平面叫做坐标平面 (2)空间一点M的坐标为有序实数组(x，y，z)，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标 ，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标 2、空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使得ab.(2)共

19、面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量c与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使cxayb.3空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念 两向量的夹角 两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做a，b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cosa,b(2)数量积的运算律结合律：(a)b(ab)；交换律：abba；分配律：a(bc)abac.4空间向量坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ab a1b1+a2b2+a3b3(2)共线与垂直的坐标表示设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2

20、，b3)，则ababa1b1，a2b2，a3b3，abab0a1b1a2b2a3b30(a，b均为非零向量)5、两平面的相关位置定义两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.（通常取锐角）按照两向量夹角余弦公式有 （两平面夹角余弦公式）两平面位置特征：/6、直线与平面的关系定义：直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角设直线与平面的夹角公式7、空间两直线的相关位置定义：两直线的方向向量的夹角称之为该两直线的夹角.（锐角）设：L1: L2:两直线的位置关系：两直线的夹角公式:第四章 概率论与数理统计1、随机事件定义：一个随机试验E中可能发生也可能不发生的事件称为该试验的随机事件（简称

21、事件）通常用字母A、B、C等表示。事件的运算规律：（1）交换律：ABBA，ABBA （2）结合律：(AB)CA(BC)， (AB)CA(BC) （3）分配律：(AB)C(AC)(BC) (AB)C(AC)(BC) (4)德摩根公式：概率的公理化定义:设E是随机试验，是E的样本空间，对于E的每一个事件A对应唯一的实数值，记为P(A)，称为事件A的概率，如果集合函数P(A)满足下列条件：（1）非负性：（2）规范性：（3）可列可加性： 是任意无穷多个互不相容的事件，有 则称P(A)为事件A的概率。随机事件的独立性定义：设事件A、B是某一随机试验的任意两个事件，若满足 ，则称事件A、B互相独立2、随机

22、变量的数字特征随机变量函数的数学期望定理：设 X 为随机变量，y=g(x)为实函数，（1）设 x为离散型随机变量，概率分布为若 绝对收敛，则存在，且（2）设x为连续型随机变量，密度函数为 f(x)，若 绝对收敛，则 存在，且注：为求y=g(x)的数学期望，可以不必通过求y的概率分布（离散）或密度函数（连续），而只需直接利用x的概率分布或密度函数。3、随机变量的方差的计算（1）定义法 离散情形若x为离散型随机变量，概率分布为 则 连续情形：若x为连续型随机变量，概率密度函数为 f(x),则 公式法4、常用离散型分布的数学期望和方差分布名称 概率分布 数学期望 方差0-1分布 p(x=1)=p,p

23、(x=0)=q p pq二项分布 np npq泊松分布 几何分布 退化分布 p(x=c)=1 C 0指数分布 正态分布 、高中数学学科知识第六讲第一章 集合、逻辑与算法初步 第二章 函数第三章 不等式与数列 第四章 立体几何第五章 解析几何 第六章 向量与复数第七章 推理证明与排列组合 第八章 统计与概率第九章 数学史第一章、集合、逻辑与算法初步 考点：1、掌握集合之间的运算法则 2、能够使用常用的逻辑用语 3、能够运用算法基础知识求解实际问题 考点聚焦： 1、本章知识在历年考试中大多以选择题和解答题的形式出现。 2、在历年考试中，逻辑用语中的充分条件、必要条件、充分必要条件的运用，算法中的框

24、图是考查的重点，考生在复习这部分知识的时候，要与第二部分课程知识内容结合起来，在掌握理论的基础上灵活运用。1、集合的基本概念：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集，通常用大写字母A、B、C表示.集合中的每一对象叫做集合的一个元素，通常用小写字母a、b、c表示集合中元素的性质 ：确定性、互异性、无序性集合间的基本关系：全集：一般地，如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，我们就称两个集合有包含关系，称A为B的子集，记作 读“A包含于B”真子集： A包含与B

25、,A不等于B 2、集合间的基本运算交集：定义：由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A,B的交集。记作 即 读作“A交B”。并集：定义：由所有属于A或属于B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作 即 读作“A并B”。补集：定义：设U是一个集合，A是U的一个子集，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U中子集A的补集（或余集），记作（1）交换律：ABBA，ABBA （2）结合律：(AB)CA(BC)， (AB)CA(BC) （3）分配律：(AB)C(AC)(BC) ， (AB)C(AC)(BC) 3、命题：可以判断真假的语句叫做命题。判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题

26、。真命题为真，假命题一定为假，真命题为假，假命题一定为真。四种命题：原命题：若p则q；逆命题：逆命题若q则p；否命题：若 p则 q；逆否命题：若 q则 p结论：（1）互为逆否的命题，同真同假； （2）原命题与逆命题，原命题与否命题，它们的真假性没有关系。4、充分条件与必要条件1若p q，则p叫做q的充分条件，则q叫做p的必要条件； 若p q,则p叫做q的充分必要条件，简称为充要条件. 2如果p q且q p,我们称p为q的充分不必要条件，如果p q 且q p，则我们称p为q的必要不充分条件. 3.判断充要条件的方法 (1)原命题为真，逆命题为假时，则p是q的充分不必要条件； (2)原命题为假，逆

27、命题为真时p是q的必要不充分条件； (3)原命题与逆命题都为真时，p是q的充分必要条件； (4) 原命题与逆命题都为假时，p是q的即不充分也不必要条件. 真题再现 （2015年上半年真题）A.充分条件但不是必要条件B.充分必要条件C.必要条件但不是充分条件D.以上都不是第二章 函数考点：1、熟练掌握高中数学函数部分基础知识 2、把握函数、基本初等函数的分类 3、深入理解三角函数的性质考点聚焦：1、本章知识在历年考试中大多以选择题、解答题的形式出现。 2、在历年考试中，函数的性质及应用尤其是三角函数的应用是考查的重点，考生在复习的时候，注意准确理解、灵活运用。1、函数的定义： 设A，B是非空的数

28、集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作 y=f(x)，xA.其中，x叫做自变量，与x值相对应的y值叫做函数值.2、函数的基本性质 A、奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)=f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 确定f(x)与f(x)的关系； 作出相应结论： 若f(x) = f

29、(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是偶函数：若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是奇函数。（3）简单性质： 图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称； 一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称； 设f(x),g(x)的定义域分别是D1，D2那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶 偶=偶B、单调性（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；（

30、2）判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：任取x1，x2D，且x1b；如果a-b是负数，那么ab；如果a-b等于零，那么a=b；反之亦成立。即a-b0 ab;a-b=0 a=b;a-b0 ab.B.不等式的基本解法分式不等式：分式不等式的解法就是整式化。 当分母的值可以确定正负时，可直接去分母解之； 当分母的值不能确定正负时：不等式 f(x)g(x)0(或0)与不等式f(x).g(x)0(或1时， f(x)g(x)；当0a1时， ; 当0a0且a1）；若an为正数等比数列，则logaan为等差数列（a0且a1）。第四章、立体几何考点：1、掌握立体几

31、何中基本的位置关系（平行、垂直） 2、掌握立体几何中的度量关系（面积、体积）。考点聚焦： 1、本章知识在历年考试中大多以选择题和解答题的形式出现。 2、在历年考试中，直线与平面、平面与平面的位置关系，空间中的角、距离、面积及体积的计算是考查的重点，考生要注意理解和运用。 （一）空间直线、平面之间的位置关系A.空间中直线与直线之间的位置关系（1）共面直线：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；（2）异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。注：平行于同一条直线的两条直线互相平行。（判断空间两条直线平行的依据。）B.空间中直线与平面位置关系（1）直线在平

32、面内有无数个公共点（2）直线与平面相交有且只有一个公共点（3）直线在平面平行没有公共点C.直线与平面平行(1)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。(2)性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。D.直线与平面垂直直线与平面垂直是指直线与平面内任何一条直线垂直（1）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。（2）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。（3）三垂线定理及逆定理：三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条

33、斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么这条直线和斜线的射影也垂直。E.平面与平面之间的位置关系空间两个平面的位置关系：相交、平行。（1）平面与平面平行判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行，面面平行）性质定理： 如果两个平面平行，同时和第三个平面相交，那么它们交线平行（面面平行，线线平行）（2）平面与平面垂直判定定理： 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直（线面垂直，面面垂直）性质定理： 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面（面面垂直，线

34、线垂直）（一）棱柱、棱锥与球A.棱柱（1）定义：有两个面相互平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 （2）侧面积：S侧=cl（c为底面周长，l是高）利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出。（3）表面积：侧面积+底面积（4）体积：V=sh(s为底面积，h为高）B.棱锥（1）定义：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。（2）表面积：侧面积+底面积（3）体积：V=13sh(s为底面积，h为高）C.球（1）定义：空间中到定点的距离等于或小于定长的点的集合叫做球体，简称球。球的截面是一个圆面，截

35、面的半径r=R2-d2（R为球的半径，d为球心与截面的圆心之间的距离）。（2）表面积：S=4R2（3）体积：V=43R3第八讲第五章 解析几何考点：1、掌握解析几何中基本的位置关系(两条直线的位置关系、直线与圆的位置关系）。 2、掌握圆锥曲线的标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系。 3、灵活运用数形结合的思想求解数学问题。考点聚焦： 1、本章知识在历年考试中大多以选择题和解答题的形式出现。 2、在历年考试中，直线与圆的位置关系、圆锥曲线一直是考查的重点，考生要注意灵活运用数形结合的思想。1. 直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角定义：直线向上的方向与x轴正方向所成的角,叫做直线的倾斜角

36、.当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为00.倾斜角的范围为01800(2)直线的斜率当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角之间满足 .(2)直线的斜率已知两点P（x1,y1）,Q(x2,y2),如果x1x2,那么直线PQ的斜率为 K=y2-y1x2-x1(x1x2)斜率图象：2、点与直线（1）两点间距离公式：设p1(x1,y1)、p2(x2,y2)是平面直角坐标系中的两个点，则p1p2=(x1-x2)2+(y1-y2)2 (2)点到直线距离公式：平面内点p1(x1,y1)到直线Ax+By+C=0的距离为：d=Ax1+By1+CA2+B2设平面两条平行线l1:Ax+By+C=0，l2

37、：Ax+By+C=0，CD,则l1与l2的距离为d=C-DA2+B23、圆的方程 (1)圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),其中圆心为(a,b)，半径为r。 (2)圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0), 其中圆心为（-D2，-E2),半径为r=12D2+E2-4F (3)圆的方程的确定：数形结合是常用的方法，结合圆所具有的平面几何性质，能够使解题过程简化；待定系数法也是求圆的方程常用的方法。 几何法：若已知圆心坐标或半径，用标准式方程，求a,b,r; 代数法：若已知圆上三个点的坐标，用一般式求D,E,F.4、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系

38、有相离，相切，相交三种情况：设直线l：Ax+By+C=0和圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)，圆心(a,b)到直线l的距离为d，则d=Aa+Bb+CA2+B2（1）相交 d=Aa+Bb+CA2+B2r（几何法）或直线与圆的方程组成的方程组，消去y或x转化为一元二次方程，其判别式0（代数法）（2）相切 d=Aa+Bb+CA2+B2=r（几何法）或=0（代数法）（3）相离 d=Aa+Bb+CA2+B2r（几何法）或0（代数法）5.椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和图形性质6、直线与圆锥曲线的关系其判断方法都是利用代数方法，将直线l的方程与圆锥曲线C的方程联立，消去y得到一个关于x的一元二

39、次方程ax2+bx+c=0.(1)当a0时，若有0，则l与C相交；若有=0，则l与C相切；若有0时，a的方向与的a方向相同；当0，则称服从正态分布，记为N（，2）。期望E= 方差D=2性质：a.曲线在x轴上方，并且关于直线x=对称。 b.曲线在x=时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低。 c.曲线的对称轴位置由确定；曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮 胖”，反之越“高瘦”。2、概率古典概型定义：a.试验的所有可能结果(基本事件)只有有限个. b.每一个试验结果(基本事件)出现的可能性相等.计算公式:对于古典概型，若试验的所有基本事件数为 n，随机事件 A包含的基本事件数为 m，那

40、么事件 A 的概率为 P(A) m n.几何概型定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则这样的概率模型称为几何概率模型，简称几何概型特点:试验的结果是无限不可数的每个结果出现的可能性相等。概率公式：P(A)构成事件 A 的区域长度(面积或体积) 区域的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是p(=k)=Cnkpkqn-k,（其中k=0，1，.,n,q=1-p),于是得到随机变量的概率分布如下：我们称这样的随机变量服从二项分布，记作B(n,p),其中n,p为参数。二

41、项分布是一种常见的离散型随机变量的分布。几何分布在独立重复试验中，某试验第一次发生时，所做试验的次数也是一个离散型随机变量，那么在第k次独立重复试验时，事件首次发生的概p(=k)=qk-1p,于是得到随机变量的分布列：我们称服从几何分布，记作g(k,p),=qk-1p,其中q=1-p.第十讲第九章 数学史考点：考点：1、了解早期算术与几何的历史。 2、了解古希腊数学与中国古代数学的历史。 3、了解平面解析几何产生及几何作图三大难题的历史。 4、了解微积分产生、集合论发展、随机思想发展与算法思想发展的历史。 5、了解近代中学数学教育改革概况。 考点聚焦： 1、本章知识在历年考试中大多以选择题的形

42、式进行考查。 2、在历年考试中，数学史常有考到，考生需要通过了解数学的起源与发展，体会和认识数学对社会发展产生的重大影响，对于关键人物的重要学说需要重点识记。1、早期算术与几何的历史古埃及数学：埃及算术主要是加法，而乘法是加法的重复，他们能解决一些一元一次方程的问题，并具备等差、等比数列的初步知识。占特别重要地位的是分数算法，即把所有分数都化成单位分数（即分子是1的分数）的和。两河流域的数学：指美索不达米亚和古巴比伦的数学。苏美尔人会分数、加、减、乘、除四则运算和解一元二次方程，发明了十进制法和十六进制法。古巴比伦几何学的重要特征在于它的代数性质。例如，涉及平行于直角三角形一条边的横截线问题时

43、引出了二次方程，讨论棱锥的平头截体的体积时出现了三次方程。2、古希腊数学的历史泰勒斯：在数学方面划时代的贡献是引入了命题证明的思想。毕达哥拉斯：以发现勾股定理著称于世。欧几里得:被誉为“几何之父”，发现欧几里得几何。阿基米德：“力学之父”，利用“逼近法”算出球面积、球体积、抛物线、椭圆面积，后世的数学家将这种方法发展为近代的“微积分”。3、中国古代的历史：刘徽：中国古典数学理论的奠基者之一。最早提出十进小数概念，利用割圆术科学地求出了圆周率=3.1416。赵爽：将勾股定理表述为：“勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦。祖冲之：第一次将圆周率值计算到小数点后6位，圆周率的祖先。秦九韶：著有数

44、书九章，完整保存了中国算筹式记数法及其演算式，论述了自然数、分数、小数、负数，还第一次用小数表示无理根。4、平面解析几何产生的历史：笛卡尔：创立了解析几何学，为微积分的创立奠定了基础。还发现了凸多面体边、顶点、面之间的关系，后人称之为欧拉笛卡尔公式，微积分中常见的笛卡尔叶形线也是他发现的。费马：独立于笛卡尔发现了解析几何的基本原理。费马在求曲线围成的图形面积的过程中，提出用微分子法求极大、极小的步骤，这也是早期微积分的雏形。5、微积分产生的历史：牛顿：最伟大的成就就是发明了微积分。莱布尼茨：和牛顿先后独立发明了微积分。牛顿从物理学出发，运用集合方法研究微积分；莱布尼茨则从几何问题出发，运用分析

45、学方法引进微积分概念、得出运算法则。6、几何作图三大难题的历史：三大难题：a.三等分角问题：将任一给定的角三等分。 b.立方倍积问题：求作一个正方形的棱长，使这个正方形的体积是已知正方形体积的二倍。 c.化圆为方问题：求作一个正方形，使它的面积和已知圆的面积相等。阿贝尔：利用置换群的理论证明了一般五次以上的代数方程，它们的根式解法是不存在的。伽罗瓦：在阿贝尔研究的基础上，进一步发展了他的思想，把全部问题转化或归结为置换群及其子群结构的分析。7、集合论发展的历史：集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的。罗素悖论提出指出了集合论的漏洞，这就是数学史上的第三次数学危机。策梅洛提出公理化集合论

46、。康托尔创立的集合论被称为朴素集合论。公理化集合论是对朴素集合论的严格处理。8、随机思想发展的历史：概率论的起源与赌博问题有关，其中一个问题是“赌金分配问题”，帕斯卡和费马最终解决了这个问题，直接推动了概率论的产生。伯努利创立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数定理。棣莫弗和拉普拉斯导出了第二个基本极限定理（中心极限定理）的原始形式。拉普拉斯明确给出了概率的古典定义。切比雪夫、马尔可夫建立了大数定律及中心极限定理的一般形式。9、算法思想发展的历史：算法思想的历史：刘徽的九章算术注开创了中国传统数学构造性和机械化的算法模式。计算机算法：算法是对计算机上执行的计算过程的具体描述。10、近代数学史

47、上的两大巨匠：欧拉:把微积分应用于物理学的先驱者之一。第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表达式的人，发现了著名的欧拉公式。高斯：有“数学王子”之称。重要贡献是证明了代数基本定理，发现了著名的柯西积分定理。11、近代中学数学教育改革概况：贝利克莱因运动：英国数学家贝利提出“数学教育应该面向大众”“数学教育必须重视应用”的改革指导思想；德国数学家克莱因认为，数学教育的意义、内容、教材、方法等，必须紧跟时代步伐，结合近代数学和教育学的新进展，不断进行改革。第一次课程改革发生在20世纪初，史称“贝利克莱因运动”。新数学运动：继美国、欧洲推进数学教育现代化后，非洲、拉丁美洲、东南亚地区都相继成立

48、了地区性的机构，召开会议推进“新数学运动”，于是“新数学运动”波及全球，于1960年形成高潮。回到基础运动：与“新数学运动”的轰轰烈烈成鲜明对比的是，“回到基础”几乎是悄无声息的进行的，既没有响亮的口号，也没有统一的纲领，其出发点是希望重新引起对基本技能的重视，但令人遗憾的是，回到基础不但没有提高教学水平，反而使数学教学回落到历史的最低谷。多样化改革的发展：a.大众数学b.问题解决c.服务性学科第二部分 课程知识第十一讲第一章 高中数学课程概述（上）考点：1、了解高中数学课程的性质，基本理念。 2、了解高中数学课程的总目标和具体目标。 3、熟悉高中数学课程的课程结构。 考点聚焦：1、本章知识在

49、历年考试中大多以选择题和简答题的形式进行考查。 2、在历年考试中，高中数学课程的性质、基本理念、目标是考查重点。考生在复习过程中要注意理解和识记。 第一节 高中数学课程的性质和基本理念一、高中数学课程的性质1、对数学与数学教育的认识2、对高中数学课程的认识1、对数学与数学教育的认识对数学的认识数学是研究空间形式和数量关系的科学。数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。对数学教育的认识数学教育是教育的组成部分，在推动社会进步和发展的进程中起着重要的作用。作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要

50、发挥数学在培养人的理性思维和创新能力方面的不可替代的作用。2、对高中数学课程的认识（1）高中数学课程是普通高级中学的一门主要课程，它包含了数学中最基本的内容，是培养公民素质的基础课程。（2）高中数学课程对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，提高提出问题、分析和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用。（3）高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识，形成解决简单实际问题的能力。（4）高中数学课程是学习高中物理、化学、技术等课程和进一步学习的基础。同时，它为学生的终身发展，形成科学的世界观、价值观奠定基础，对提高全民族素质具有重要意义。二、高中数学课程的

51、基本理念1、高中数学课程的定位（1）面向全体学生高中数学课程要体现时代性、基础性和选择性，为不同兴趣和志向、不同发展方向、进入不同高校不同专业学习的学生提供适合他们的数学基础。（2）不是培养数学专门人才的基础课，要为学生提供宽广的数学视野，为学生提供基础、重要、丰富的数学内容，供学生根据各自兴趣进行选择，为今后的发展奠定好基础。2、高中数学增加了选择性（1）选择性是整个高中课程的基本理念选择性是整个高中课程的基本理念，也是高中课程改革的最大变化之一。高中阶段是培养学生选择能力的最佳时期。新的高中课程方案提出了在高中阶段培养学生的人生规划能力的目标。学会选择正是培养学生人生规划能力的需要。在数学

52、教学大纲中，将普通高中的课程分为必修课和选修课两大部分，设置了文科系列和理科系列的课程。在新课程标准中，加大了培养选择性的力度，这是本次改革最大的变化之一。（2）选择性为学生发展、培养自己的兴趣和特长提供了空间高中数学课程为了帮助学生发现培养自己兴趣，为学生发展提高帮助，设置了选修课程。高中数学课程中选修课的设置体现了选择性：新课程标准中将高中数学课程知识内容分为必修和选修两大部分。对于选修部分，包括4分系列。系列1是为那些希望在人文、社会科学等方面发展的学生而设置的；系列2则是为了那些希望在理工、经济等方面发展的学生而设置的。除此之外，为对数学有兴趣和希望进一步提高数学素养的学生设置了系列3

53、和系列4.高中数学课程中选修课的设置就是希望从不同的角度激发学生学习数学的兴趣，帮助学生发现、培养自己的兴趣、特长，希望数学能为学生的发展提供帮助，这是高中数学新课程的最高追求。3、让学生成为学习的主人（1）倡导自主学习、合作学习；自主学习是社会发展对20世纪人的基本要求。当今时代，具有团队精神，合作交流的意识已成为学生必备的基本素质。（2）帮助学生养成良好的学习习惯。在教学中，更重要的是帮助学生养成良好的数学学习习惯，培养发现问题、提出问题的习惯。4、提高应用意识（1）发展学生的应用意识是数学科学发展的要求；（2）发现学生的应用意识有助于培养学生的创新能力；（3）发展学生的应用意识是培养学习

54、兴趣的需要；（4）发展学生的应用意识是培养自信心的需要；（5）数学应用的广泛性需要学生具有应用意识。5、强调培养创新意识（1）强调发现和提出问题（2）不仅要重视演绎推理，更要重视归纳推理强调归纳、演绎并重 （3）强调数学探究和数学建模：数学探究即数学探究性课题学习，是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程。数学建模就是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程。新课标要求在高中阶段每个学生至少安排较为完整的一次数学探究、一次数学建模活动。6、注重数学基础知识和基本技能（1）强调概念、结论产生的背景（2）强调经历知识产生发展的过程（3）强调体会概念和结论中所蕴涵的数学思想方法7、强调数学的

55、文化价值（1）数学是人类文化的重要组成部分数学已经融入人类的文化发展进程，成为人类文化的重要组成部分。（2）高中数学课程中数学文化价值的体现普通高中数学课程标准（实验）强调了数学文化的重要作用，要求将其尽可能与高中数学课程内容有机结合。8、全面地认识评价新课程标准中提倡评价既要关注学生数学学习的结果，也要关注他们数学学习的进程；既要关注学生数学学习的水平，也要关注他们在教学活动中所表现出来的情感态度的变化。第十二讲第一章 高中数学课程概述（下）第二节 高中数学课程的目标一、高中数学课程的总目标二、高中数学课程的具体目标三、过程与方法四、五大基本能力一、高中数学课程的总目标：使学生在九年义务教育

56、数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。二、高中数学课程的具体目标1、获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。2、提高空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。3、提高数学的提出、分析和解决问题的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。4、发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模型进行思考和作出判断。5、提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科

57、学态度。6、具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。（六条目标整体体现了知识与技能、过程与方法、情感态度价值观的三维目标）三、过程与方法把“过程与方法”作为课程目标是本次课程改革最大的变化之一。“过程与方法”是课程目标，学生只有在学习的过程中才能不断的积累基本活动经验，才能保证“过程”作为目标的实现。四、五大基本能力：新课标中提出了五个基本能力：计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、抽象概括能力、数据处理能力。后增加抽象概括能力和数据处理能力反映了对数学课程认识

58、上的变化。因此，增加抽象概括能力和数据处理能力反映了数学课程从单纯的强调演绎，到强调归纳与演绎并重。数学有三个基本特征：抽象性、严密性、应用的广泛性。第三节 高中数学课程的结构一、高中数学课程的内容结构1、课程框架2、必修课程3、选修课程1、课程框架高中数学课程分必修和选修。必修课程由5个模块组成；选修课程有4个系列，其中系列1、系列2由若干个模块组成，系列3、系列4由若干专题组成。2、必修课程必修课程是每个学生都必须学习的数学内容，包括5个模块。数学1：集合、函数概念与基本初等函数1。数学2：立体几何初步、平面解析几何初步。数学3：算法初步、统计、概率。数学4：基本初等函数2、平面上的向量、

59、三角恒等变换。数学5：解三角形、数列、不等式。3、选修课程对于选修课程，学生可以根据自己的兴趣和对未来发展的愿望进行选择。选修课程由系列1，系列2，系列3，系列4等组成。二、高中数学课程的内容建议学生的兴趣、志向与自身条件不同，不同高校、不同专业对学生数学方面的要求也不同，甚至同一专业对学生数学方面的要求也不一定相同。据此，学生可以选择不同的课程组合，选择以后还可以根据自身的情况和条件进行适当的调整。第十三讲第二章 高中数学的内容主线（上）考点：1、熟悉普通高中数学课程标准（实验）所规定教学内容的知识体系，掌握普通高中数学课程标准（实验）对教学内容的要求 2、了解普通高中数学课程标准（实验）各

60、模块知识编排的特点。 3、能运用普通高中数学课程标准（实验）指导自己的数学教学实践。考点聚焦：1、本章知识在历年考试中多以简答题和论述题的形式进行考查。 2、在历年考试中，新课程标准所规定的教学内容的知识体系是考查重点，考生需要熟悉高中数学的课程内容主线，并与后面的教学内容结合起来，指导自己的数学教学实践。第一节 函数主线函数思想、算法思想、随机思想等都是高中数学课程的主线，它们彼此之间有着密切的联系，是贯穿整个高中数学课程最基本最重要的数学思想。一、对函数的认识二、高中数学所研究的函数性质三、具体函数模型四、函数与其他内容的联系一、对函数的认识1、函数是刻画变量与变量之间依赖关系的模型函数是