抛物线-巩固练习

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业抛物线 巩固练习1以x1为准线的抛物线的标准方程为()Ay22x By22x Cy24x Dy24x解析：由准线x1知，抛物线的方程为y22px(p0)且eq f(p,2)1，得p2，所以所求抛物线的标准方程为y24x.答案：D2已知点A(2，3)在抛物线C：y22px(p0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()Aeq f(4,3) B1 Ceq f(3,4) Deq f(1,2)解析：由已知得准线方程为x2，所以点F的坐标为(2，0)又A(2，3)，所以直

2、线AF的斜率为keq f(30,22)eq f(3,4).答案：C3过抛物线C：y24x的焦点F，且斜率为eq r(3)的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MNl，则M到直线NF的距离为()A.eq r(5) B2eq r(2) C2eq r(3) D3eq r(3)解析：抛物线y24x的焦点为F(1，0)，准线方程为x1.由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为yeq r(3)(x1)联立得方程组eq blc(avs4alco1(yr(3)（x1），,y24x，) 解得eq blc(avs4alco1(xf(1,3)，,yf(2r(3),3)，)或eq blc(av

3、s4alco1(x3，,y2r(3).)因为点M在x轴的上方，所以M(3，2eq r(3)因为MNl，所以N(1，2eq r(3)所以|NF|eq r(（11）2（02r(3)）2)4，|MF|MN|eq r(（31）2（2r(3)2r(3)）2)4.所以MNF是边长为4的等边三角形所以点M到直线NF的距离为2eq r(3).故选C.答案：C4已知P为抛物线yeq f(1,2)x2上的动点，点P在x轴上的射影为点M，点A的坐标是eq blc(rc)(avs4alco1(6，f(17,2)，则|PA|PM|的最小值是()A8 B.eq f(19,2) C10 D.eq f(21,2)解析：依题意

4、可知焦点F的坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)，准线方程为yeq f(1,2)，延长PM交准线于H(图略)，则|PF|PH|，|PM|PF|eq f(1,2)，|PM|PA|PF|PA|eq f(1,2)，因为|PF|PA|FA|，又|FA| eq r(62blc(rc)(avs4alco1(f(17,2)f(1,2)sup12(2)10.所以|PM|PA|10eq f(1,2)eq f(19,2).答案：B5设抛物线C：y24x的焦点为F，过点(2，0)且斜率为eq f(2,3)的直线与C交于M，N两点，则eq o(FM,sup14()eq o(FN,sup14

5、()()A5 B6 C7 D8解析：由题意知直线MN的方程为yeq f(2,3)(x2)，联立直线与抛物线的方程，得eq blc(avs4alco1(yf(2,3)（x2），,y24x，)解得eq blc(avs4alco1(x1，,y2，)或eq blc(avs4alco1(x4，,y4.)不妨设M为(1，2)，N为(4，4)又因为抛物线焦点为F(1，0)，所以eq o(FM,sup14()(0，2)，eq o(FN,sup14()(3，4)所以eq o(FM,sup14()eq o(FN,sup14()03248.故选D.答案：D6设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛

6、物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_解析：Q(2，0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为yk(x2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2(4k28)x4k20，当k0时，l与抛物线有公共点；当k0时，64(1k2)0得1k0或00)的焦点为F，准线为l，点P(4，y0)在抛物线上，K为l与y轴的交点，且|PK|eq r(2)|PF|，则y0_解析：作PMl，垂足为M，由抛物线定义知|PM|PF|，又知|PK|eq r(2)|PF|，所以在直角三角形PKM中，sinPKMeq f(|PM|,|PK|)eq f(|PF|,|PK|)eq f(r(2),2)，所以PKM

7、45，所以PMK为等腰直角三角形，所以|PM|MK|4，又知点P在抛物线x22py(p0)上，所以eq blc(avs4alco1(py08，,y0f(p,2)4，)解得eq blc(avs4alco1(p4，,y02.)答案：29已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线为l，点M，N分别在抛物线C上，且eq o(MF,sup14()3eq o(NF,sup14()0，直线MN交l于点P，NNl，垂足为N.若MNP的面积为24eq r(3)，则F到l的距离为()A4 B6 C8 D12解析：作出图形如下图，作MMl，垂足为M，设|NF|m(m0)，则|NN|m.由eq o(MF,sup

8、14()3eq o(NF,sup14()0，得|MF|3m，则|MM|3m，过点N作NGMM，垂足为G，则|MG|m，|MG|2m，所以NMG60，所以|MP|6m，|NP|2m，|NP|eq r(3)m，SMNPeq f(1,2)|MM|NP|eq f(1,2)3meq r(3)m24eq r(3)，所以m4.易知F为线段MP的中点，所以F到l的距离为peq f(3m,2)6.答案：B10(多选题)若抛物线y22px(p0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程可能是()Ay24x By236x Cy232x Dy28x解析：因为抛物线y22px(p0)上一点到抛物

9、线的对称轴的距离为6，所以若设该点为P，则点P的坐标为(x0，6)因为点P到抛物线的焦点Feq blc(rc)(avs4alco1(f(p,2)，0)的距离为10，所以由抛物线的定义得x0eq f(p,2)10.因为点P在抛物线上，所以362px0.由解得p2，x09或p18，x01，则抛物线的方程为y24x或y236x.答案：AB11已知P为抛物线C：yx2上一动点，直线l：y2x4与x轴、y轴交于M，N两点，点A(2，4)且eq o(AP,sup14()eq o(AM,sup14()eq o(AN,sup14()，则的最小值为_解析：由题意得M(2，0)，N(0，4)，设P(x，y)，由e

10、q o(AP,sup14()eq o(AM,sup14()eq o(AN,sup14()得(x2，y4)(0，4)(2，0)，所以x22，y44.因此eq f(y4,4)eq f(x2,2)eq f(x2,4)eq f(x,2)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(x,2)f(1,2)eq sup12(2)eq f(7,4)eq f(7,4)，故的最小值为eq f(7,4).答案：eq f(7,4)12、在平面直角坐标系xOy中，双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的右支与焦点为F的抛物线x22py(p0)交于A，B两点，若|AF|BF|4|OF|，则该

11、双曲线的渐近线方程为_解析：法一设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由抛物线定义可得|AF|BF|yAeq f(p,2)yBeq f(p,2)4eq f(p,2)yAyBp，由eq blc(avs4alco1(f(x2,a2)f(y2,b2)1，,x22py，)可得a2y22pb2ya2b20，所以yAyBeq f(2pb2,a2)p，解得aeq r(2)b，故该双曲线的渐近线方程为yeq f(r(2),2)x.法二(点差法)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|AF|y1eq f(p,2)，|BF|y2eq f(p,2)，|OF|eq f(p,2)，由|AF|BF|y1

12、eq f(p,2)y2eq f(p,2)y1y2p4|OF|2p，得y1y2p.易知直线AB的斜率kABeq f(y2y1,x2x1)eq f(f(xeq oal(2,2),2p)f(xeq oal(2,1),2p),x2x1)eq f(x2x1,2p).由eq blc(avs4alco1(f(xeq oal(2,1),a2)f(yeq oal(2,1),b2)1，,f(xeq oal(2,2),a2)f(yeq oal(2,2),b2)1，)得kABeq f(y2y1,x2x1)eq f(b2（x1x2）,a2（y1y2）)eq f(b2,a2)eq f(x1x2,p)，则eq f(b2,a

13、2)eq f(x1x2,p)eq f(x2x1,2p)，所以eq f(b2,a2)eq f(1,2)eq f(b,a)eq f(r(2),2)，所以双曲线的渐近线方程为yeq f(r(2),2)x.答案：yeq f(r(2),2)x13、ABC的三个顶点都在抛物线E：y22x上，其中A(2，2)，ABC的重心G是抛物线E的焦点，则BC所在直线的方程为_解析：设B(x1，y1)，C(x2，y2)，边BC的中点为M(x0，y0)，易知Geq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0)，则eq blc(avs4alco1(f(x1x22,3)f(1,2)，,f(y1y22,3)0，)从而

14、eq blc(avs4alco1(x0f(x1x2,2)f(1,4)，,y0f(y1y2,2)1，)即Meq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)，1)，又yeq oal(2,1)2x1，yeq oal(2,2)2x2，两式相减得(y1y2)(y1y2)2(x1x2)，则直线BC的斜率kBCeq f(y1y2,x1x2)eq f(2,y1y2)eq f(2,2y0)eq f(1,y0)1，故直线BC的方程为y(1)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,4)，即xyeq f(5,4)0.14、抛物线E：y22x上存在两点关于直线yk(x2)对称，则k的取值范围是_解析：

15、当k0时，显然成立当k0时，设两对称点为B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC的中点为M(x0，y0)，由yeq oal(2,1)2x1，yeq oal(2,2)2x2，两式相减得(y1y2)(y1y2)2(x1x2)，则直线BC的斜率kBCeq f(y1y2,x1x2)eq f(2,y1y2)eq f(2,2y0)eq f(1,y0)，由对称性知kBCeq f(1,k)，点M在直线yk(x2)上，所以y0k，y0k(x02)，所以x01.由点M在抛物线内，得yeq oal(2,0)2x0，即(k)22，所以eq r(2)keq r(2)，且k0.综上，k的取值范围为(eq r(2)，eq

16、r(2)答案：(1)xyeq f(5,4)0(2)(eq r(2)，eq r(2)15、已知双曲线x2eq f(y2,2)1，过点P(1，1)能否作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？解：假设存在直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1x2，由eq blc(avs4alco1(xeq oal(2,1)f(yeq oal(2,1),2)1，,xeq oal(2,2)f(yeq oal(2,2),2)1，)两式相减得(x1x2)(x1x2)eq f(（y1y2）（y1y2）,2)0，又eq f(x1x2,2)1，eq

17、f(y1y2,2)1，所以2(x1x2)(y1y2)0，所以kABeq f(y1y2,x1x2)2，故直线l的方程为y12(x1)，即y2x1.由eq blc(avs4alco1(y2x1，,x2f(y2,2)1，)消去y得2x24x30，因为162480，方程无解，故不存在一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点16、已知F为抛物线C：y22x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|DE|的最小值为_解析：由题意知，直线l1，l2的斜率都存在且不为0，Feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)

18、，0)，不妨设l1的斜率为k，则l1：ykeq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)，l2：yeq f(1,k)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2).由eq blc(avs4alco1(y22x，,ykblc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)消去y，得k2x2(k22)xeq f(k2,4)0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x21eq f(2,k2).由抛物线的定义知，|AB|x1x211eq f(2,k2)12eq f(2,k2).同理可得，用eq f(1,k)替换|AB|中k，可得|DE|22k2，所以|AB|DE|2eq f(2,

19、k2)22k24eq f(2,k2)2k2448，当且仅当eq f(2,k2)2k2，即k1时等号成立，故|AB|DE|的最小值为8.答案：817已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标解：(1)抛物线y22px的准线为xeq f(p,2)，于是4eq f(p,2)5，所以p2，所以抛物线方程为y24x.(2)由(1)知点A的坐标是(4，4)，由题意得B(0，4)，M(0，2)又因为F(1，0)，所以kFAe

20、q f(4,3).因为MNFA，所以kMNeq f(3,4)，所以FA的方程为yeq f(4,3)(x1)，MN的方程为yeq f(3,4)x2，由联立得xeq f(8,5)，yeq f(4,5)，所以点N的坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(8,5)，f(4,5).18已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2eq r(2)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且|AB|9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若eq o(OC,sup14()eq o(OA,sup14()eq o(OB,sup14()，求的值解：(1)直线AB的方程是y2eq r(2)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(p,2)，与y22px联立，从而有4x25pxp20，所以x1x2eq f(5p,4)，由抛物线定义得|AB|x1x2p9，所以p4，从而抛物线方程是y28x.(2)由(1)知p4，4x25pxp20可简化为x25x40，又x1x2，从而x11，x24，y12eq r(2)，y24eq r(2)，从而A(1，2eq