数列与角函数练习题难题

1、例1例2设An为数列an的前n项和，An=32(an1)，数列bn的通项公式为bn=4n+3;(1)求数列an的通项公式；(2)把数列an与bn的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列，证明：数列dn的通项公式为dn=32n+1;(an1)，可知An+1=(an+11)，解：(1)由An=3322(an+1an)，即n1=3，而a1=A1=(a11)，得a1=3，所以数列是以3an+1an=aa3322n为首项，公比为3的等比数列，数列an的通项公式an=3n.(2)32n+1=332n=3(41)2n=342n+C142n1(1)+C2n14(1)+(1)2n2n2n=4n+3，24(4(3

2、2n+1bn.而数32n=(41)2n=42n+C1n2n11)+C2n11)+(1)2n=(4k+1)，32nbn，而数列an=a2n+1a2n，dn=32n+1.例3数列an满足a1=2，对于任意的nN*都有an0,且(n+1)an2+anan+1nan+12=0，又知数列bn的通项为bn=2n1+1.(1)求数列an的通项an及它的前n项和Sn；(2)求数列bn的前n项和Tn；(3)猜想Sn与Tn的大小关系，并说明理由.nn1.解：(1）可解得ann1a，从而an=2n，有Sn=n2+n，(2)Tn=2n+n1.(3)TnSn=2nn21，验证可知，n=1时，T1=S1，n=2时T2S2

3、；n=3时，T3S3;n=4时，T4S4；n=5时，T5S5；n=6时T6S6.猜想当n5时，TnSn，即2nn2+1可用数学归纳法证明(略）.例4例5已知数列bn是等差数列，b1=1,b1+b2+b10=145.(1)求数列bn的通项bn；试比较Sn与1logabn+1的大小，并证明你的结论.1(2)设数列an的通项an=loga(1+b)(其中a0且a1),记Sn是数列an的前n项和，n3解：(1)设数列bn的公差为d，由题意得：2bn=3n2.b1110(101)10bd1451解得b1=1,d=3,)+loga(1+)(2)由bn=3n2,知Sn=loga(1+1)+loga(1+11

4、43n2)(1+)，logabn+1=loga33n1.=loga(1+1)(1+14113n23因此要比较Sn与logabn+1的大小，可先比较(1+1)(1+)(1+)与33n1的大111343n2小，取n=1时，有(1+1)3311取n=2时，有(1+1)(1+14)332111由此推测(1+1)(1+)(1+)33n143n2当a1时，Sn若式成立，则由对数函数性质可判定：13当0a1时，Snlogabn+1，13例1例eqoac(,2)在ABC中，已知A、B、C成等差数列，则tanACACtan3tantan2222AC2故tantan3tantan3.的值为_.解析：A+B+C=，

5、A+C=2B，ACACAC,tan()3,tantan3(1tantan)322222ACAC2222，求cosBCeqoac(,3)、已知ABC的三个内角A、满足A+C=2B.的值.112ACcosAcosCcosB2所以1313cossincossin2222解法一：由题设条件知B=60，A+C=120.设=AC，则AC=2，可得A=60+，C=60，21111cosAcosCcos(60)cos(60)11coscos,133cos2sin2cos2444依题设条件有coscos2342,cosBcos232cos60cosAcosC，把1coscosB,22.24整理得42cos2+2

6、cos32=0(M)(2cos2)(22cos+3)=0，22cos+30，2cos2=0.从而得cosAC2.22解法二：由题设条件知B=60，A+C=1201122,22式化为cosA+cosC=22cosAcosC利用和差化积及积化和差公式，式可化为，2cosACACcos2cos(AC)cos(AC)22，cos2cos(AC)将cos(AC)=2cos2()1代入：42cos2(AC)+2cosAC32=0，将cosAC=cos60=1，cos(A+C)=1代入式得：222AC222AC22222cos30,2cos20,从而得:cos.(*)，ACAC(2cos22)(22cos3

7、)0,22ACACAC22222例、在eqoac(,4)ABC中，A为最小角，C为最大角，已知cos(2A+C)=，sinB=，4435则cos2(B+C)=_.解析：A为最小角2A+C=A+A+CA+B+C=180.cos(2A+C)=4，sin(2A+C)=3.55C为最大角，B为锐角，又sinB=4.故cosB=3.55即sin(A+C)=4，cos(A+C)=3.55cos(B+C)=cosA=cos(2A+C)(A+C)=24，25cos2(B+C)=2cos2(B+C)1=527.6255、6、如右图，在半径为R的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的

8、光线与桌面的夹角的正弦成正比，角和这一点到光源的距离r的平方成反比，即I=ksin，其中k是一个和灯光强度有关的常数，r2那么怎样选择电灯悬挂的高度h，才能使桌子边缘处最亮？解：R=rcos，由此得：1cos,0，rR22k2(sincos2)rRRIksinsincos2k2k22I2(k)22sin2(1sin2)(1sin2)(R22)()3R233,等号在sin时成立,此时hRtanR由此得Ik232R2932、在eqoac(,7)ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin2cos2A.BC722(1)求角A的度数；(2)若a=3，b+c=3，求b和c的值.cos2A及AB

9、C180,得:.解:(1)由4sin2BC722即4cos2A4cosA10,cosA,721cos(BC)2cos2A1,4(1cosA)4cos2A52120A180,A60(2)由余弦定理得:cosAb2c2a22bc2，试求A、B、C的值1b2c2a21cosA(bc)2a23bc.22bc2bc3b1b2将a3,bc3代入上式得:bc2由得:或.bc2c2c1eqoac(,8)、在ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a、b、3c成等比数列，又AC=解：由a、b、3c成等比数列，得：b2=3acsin2B=3sinCsinA=3(1)cos(A+C)cos(AC)2B=(A

10、+C).sin2(A+C)=3cos(A+C)cos22即1cos2(A+C)=3cos(A+C)，解得cos(A+C)=1.220A+C，A+C=2.又AC=A=7，B=，C=.32123129、在正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上，在这种情况下，若要使AD最小，求ADAB的值.解：按题意，设折叠后A点落在边BC上改称P点，显然A、P两点关于折线DE对称，又设BAP=，DPA=，BDP=2，再设AB=a，AD=x，DP=xeqoac(,.)在ABC中，APB=180ABPBAP=120，由正弦定理知：BPABsinBAPsinAPB.BP=asinsin(120)在PBD中，,所以BP,