福建省长汀、连城等六校2021-2022学年高三下学期一模考试数学试题含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用05毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符4作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效5如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

2、要求的。1已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（ ）ABCD2如图，在正方体中，已知、分别是线段上的点，且.则下列直线与平面平行的是（ ）ABCD3设函数在定义城内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能为（ ）ABCD4若双曲线：的一条渐近线方程为，则（ ）ABCD5数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2；曲线C围成区域的面积大于；方程表示的曲线C在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( )ABCD

3、6已知函数，的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，则的一条对称轴是（ ）ABCD7已知是虚数单位，若，则实数（ ）A或B-1或1C1D8若，点C在AB上，且，设，则的值为（ ）ABCD9在三角形中，求（ ）ABCD10函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）ABCD11设函数满足，则的图像可能是ABCD12在复平面内，复数z=i对应的点为Z，将向量绕原点O按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数是（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知两圆相交于两点,，若两圆圆心都在直线上，则的值是_ .14的展开式中的系数为_.15如图是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形

4、拼成的一个大等边三角形，设， ，则的面积为_.16设，则_，（的值为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知等腰梯形中（如图1），为线段的中点，、为线段上的点，现将四边形沿折起（如图2）（1）求证：平面；（2）在图2中，若，求直线与平面所成角的正弦值.18（12分）（某工厂生产零件A，工人甲生产一件零件A，是一等品、二等品、三等品的概率分别为，工人乙生产一件零件A，是一等品、二等品、三等品的概率分别为己知生产一件一等品、二等品、三等品零件A给工厂带来的效益分别为10元、5元、2元.（1）试根据生产一件零件A给工厂带来的效益的期望值判断甲乙技术的好坏；（

5、2）为鼓励工人提高技术，工厂进行技术大赛，最后甲乙两人进入了决赛决赛规则是：每一轮比赛，甲乙各生产一件零件A，如果一方生产的零件A品级优干另一方生产的零件，则该方得分1分，另一方得分-1分，如果两人生产的零件A品级一样，则两方都不得分，当一方总分为4分时，比赛结束，该方获胜Pi+4（i=4，3，2，4）表示甲总分为i时，最终甲获胜的概率写出P0，P8的值；求决赛甲获胜的概率19（12分）已知数列满足（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，证明：20（12分）在四棱锥中，底面为直角梯形，分别为，的中点（1）求证：（2）若，求二面角的余弦值21（12分）已知数列满足，其前n项和为.（1）通

6、过计算，猜想并证明数列的通项公式；（2）设数列满足，若数列是单调递减数列，求常数t的取值范围.22（10分）在直角坐标系中，已知点，若以线段为直径的圆与轴相切.（1）求点的轨迹的方程；（2）若上存在两动点（A，B在轴异侧）满足，且的周长为，求的值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1C【解析】试题分析：由题意知，当时，由，当且仅当时，即等号是成立，所以函数的最小值为，当时，为单调递增函数，所以，又因为，使得，即在的最小值不小于在上的最小值，即，解得，故选C考点：函数的综合问题【方法点晴】本题主要考查了函数的综合问题，其

7、中解答中涉及到基本不等式求最值、函数的单调性及其应用、全称命题与存在命题的应用等知识点的综合考查，试题思维量大，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，其中解答中转化为在的最小值不小于在上的最小值是解答的关键2B【解析】连接，使交于点，连接、，可证四边形为平行四边形，可得，利用线面平行的判定定理即可得解【详解】如图，连接，使交于点，连接、，则为的中点，在正方体中，且，则四边形为平行四边形，且，、分别为、的中点，且，所以，四边形为平行四边形，则，平面，平面，因此，平面.故选：B.【点睛】本题主要考查了线面平行的判定，考查了推理论证能力和空间想象能力，属于中

8、档题3D【解析】根据的图象可得的单调性，从而得到在相应范围上的符号和极值点，据此可判断的图象.【详解】由的图象可知，在上为增函数，且在上存在正数，使得在上为增函数，在为减函数，故在有两个不同的零点，且在这两个零点的附近，有变化，故排除A，B.由在上为增函数可得在上恒成立，故排除C.故选：D.【点睛】本题考查导函数图象的识别，此类问题应根据原函数的单调性来考虑导函数的符号与零点情况，本题属于基础题.4A【解析】根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得的值.【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为，可化为，则，解得.故选：A【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题.5B【解析】利用基本不等式得，可

9、判断；和联立解得可判断；由图可判断.【详解】，解得（当且仅当时取等号），则正确；将和联立，解得，即圆与曲线C相切于点，则和都错误；由，得正确.故选：B.【点睛】本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.6D【解析】由题，得，由的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，可得最小正周期，从而求得，得到函数的解析式，又因为当时，由此即可得到本题答案.【详解】由题，得，因为的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，所以函数的最小正周期，则，所以，当时，所以是函数的一条对称轴，故选：D【点睛】本题主要考查利用和差公式恒等变形，以及考查三角函数的周期性和

10、对称性.7B【解析】由题意得，然后求解即可【详解】，.又，.【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题8B【解析】利用向量的数量积运算即可算出【详解】解：，又在上，故选：【点睛】本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用9A【解析】利用正弦定理边角互化思想结合余弦定理可求得角的值，再利用正弦定理可求得的值.【详解】，由正弦定理得，整理得，由余弦定理得，.由正弦定理得.故选：A.【点睛】本题考查利用正弦定理求值，涉及正弦定理边角互化思想以及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.10B【解析】对分类讨论，当，函数在单调递减，当，根据对勾函数的性质，求出单

11、调递增区间，即可求解.【详解】当时，函数在上单调递减，所以，的递增区间是，所以，即.故选:B.【点睛】本题考查函数单调性，熟练掌握简单初等函数性质是解题关键，属于基础题.11B【解析】根据题意，确定函数的性质，再判断哪一个图像具有这些性质由得是偶函数，所以函数的图象关于轴对称，可知B，D符合；由得是周期为2的周期函数，选项D的图像的最小正周期是4，不符合，选项B的图像的最小正周期是2，符合，故选B12A【解析】由复数z求得点Z的坐标，得到向量的坐标，逆时针旋转，得到向量的坐标，则对应的复数可求.【详解】解：复数z=i（i为虚数单位）在复平面中对应点Z（0，1），(0，1)，将绕原点O逆时针旋转

12、得到，设(a，b)，则，即，又，解得：，对应复数为.故选：A.【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】根据题意，相交两圆的连心线垂直平分相交弦，可得与直线垂直，且的中点在这条直线上，列出方程解得即可得到结论.【详解】由,，设的中点为，根据题意，可得,且，解得，,，故.故答案为：.【点睛】本题考查相交弦的性质，解题的关键在于利用相交弦的性质，即两圆的连心线垂直平分相交弦，属于基础题.1428【解析】将已知式转化为，则的展开式中的系数中的系数，根据二项式展开式可求得其值.【详解】，所以的展开式中的系数就是中的系数，而中的系

13、数为，展开式中的系数为故答案为：28.【点睛】本题考查二项式展开式中的某特定项的系数，关键在于将原表达式化简将三项的幂的形式转化为可求的二项式的形式，属于基础题.15【解析】根据个全等的三角形，得到，设，求得，利用余弦定理求得，再利用三角形的面积公式，求得三角形的面积.【详解】由于三角形是由个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，所以.在三角形中，.设，则.由余弦定理得，解得.所以三角形边长为，面积为.故答案为：【点睛】本题考查了等边三角形的面积计算公式、余弦定理、全等三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16720 1 【解析】利用二项展开式的通式可求出；令

14、中的，得两个式子，代入可得结果.【详解】利用二项式系数公式，故，故（=，故答案为：720；1.【点睛】本题考查二项展开式的通项公式的应用，考查赋值法，是基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）见解析；（2）.【解析】（1）先连接，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；（2）在图2中，过点作，垂足为，连接，证明平面平面，得到点在底面上的投影必落在直线上，记为点在底面上的投影，连接，得出即是直线与平面所成角，再由题中数据求解，即可得出结果.【详解】（1）连接，因为等腰梯形中（如图1），所以与平行且相等，即四边形为平行四边形；所以；又为线段的中点，为中点，

15、易得：四边形也为平行四边形，所以；将四边形沿折起后，平行关系没有变化，仍有：，且，所以翻折后四边形也为平行四边形；故；因为平面，平面，所以平面；（2）在图2中，过点作，垂足为，连接，因为，翻折前梯形的高为，所以，则，；所以；又，所以，即，所以；又，且平面，平面，所以平面；因此，平面平面；所以点在底面上的投影必落在直线上；记为点在底面上的投影，连接，则平面；所以即是直线与平面所成角，因为，所以，因此，故；因为，所以，因此，故，所以.即直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题主要考查证明线面平行，以及求直线与平面所成的角，熟记线面平行的判定定理，以及线面角的求法即可，属于常考题型.18（1）乙的技

16、术更好，见解析（2），；【解析】（1）列出分布列，求出期望，比较大小即可；（2）直接根据概率的意义可得P0，P8；设每轮比赛甲得分为，求出每轮比赛甲得1分的概率，甲得0分的概率，甲得分的概率，可的，可推出是等差数列，根据可得答案.【详解】（1）记甲乙各生产一件零件给工厂带来的效益分别为元、元，随机变量，的分布列分别为10521052所以，所以，即乙的技术更好（2）表示的是甲得分时，甲最终获胜的概率，所以，表示的是甲得4分时，甲最终获胜的概率，所以；设每轮比赛甲得分为，则每轮比赛甲得1分的概率，甲得0分的概率，甲得分的概率， 所以甲得时，最终获胜有以下三种情况：（1）下一轮得1分并最终获胜，概率

17、为；（2）下一轮得0分并最终获胜，概率为；（3）下一轮得分并最终获胜，概率为；所以，所以是等差数列，则，即决赛甲获胜的概率是.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查数列递推关系的应用，是一道难度较大的题目.19（1）（2）证明见解析【解析】（1），当时，两式相减即得数列的通项公式；（2）先求出，再利用裂项相消法求和证明.【详解】（1）解：，当时，当时，由-，得，因为符合上式，所以（2）证明：因为，所以【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20（1）见解析（2）【解析】（1）由已知可证明平面，从而得证面面垂直，再由，得线面垂直，从而得

18、，由直角三角形得结论；（2）以为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法示二面角【详解】（1）证明：连接，平面平面，平面平面，为的中点，平面平面，平面平面，为斜边的中点，（2），由（1）可知，为等腰直角三角形，则以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，记平面的法向量为由得到，取，可得，则易知平面的法向量为记二面角的平面角为，且由图可知为锐角，则，所以二面角的余弦值为【点睛】本题考查用面面垂直的性质定理证明线面垂直，从而得线线垂直，考查用空间向量法求二面角在立体几何中求异面直线成的角、直线与平面所成的角、二面角等空间角时，可以建立空间直角坐标系，用空间向量法求解空间角，可避免空间角的作证过程，通过计算求解21（1），证明见解析；（2）【解析】（1）首