高等动力学课件：lecture10_enegy

1、 Lecture 10能量原理例子6圆环质量为M，放在光滑水平面上。有一质量为m的小虫在圆环上爬行。求证，小虫在圆环上相对地爬行一周时，圆环的自身转角度不超过180。设初始时系统静止 例子6定义如下的变量： 小虫在环上的相对转角 圆环的自转角 O系统的质心 P小虫的位置动量守恒：质心不动关于质心的动量矩小虫相对于质心的动量矩圆环相对于质心的动量矩运动学分析：小虫的复合运动：牵连运动和相对运动例子6动量矩守恒初始条件积分以上方程有当=2时极限情况讨论例题7放在光滑水平面上的半径为R的半个均质球壳，原先靠在光滑墙面上，底平面竖直，（由于重力作用而无初速地滑下。求证在脱离墙以后的运动中，质心的水平速

2、度 且底面与水平面的夹角不超过 例题7存在两个约束的情况：球壳绕O做定轴转动. 能量守恒（可根据初始条件列出方程）运动学关系：质心C的坐标和速度 例题7根据质心运动定理有则墙面对半球壳的支持力为约束改变的条件：N0圆柱不脱离A点 (接触点A处的支持力大于零)例题8根据条件(1)根据条件（2）综合条件（1）和（2）有故有例题9两均质杆和两均质圆柱滚子，由光滑铰链组成一个系统，两杆用弹簧拉住。设滚子滚动时没有滑动，已知杆子质量为m，长为l，铰链至弹簧支点距离CD=CE=b，滚子半径R，质量为M，弹簧系数为k。系统在=30时刚好平衡。求系统在这平衡位置附近的微振动频率 例题9选取系统的广义坐标（曲线

3、坐标系）总动能为一根杆的动能为：一滚子的动能为：上式可写为运动学分析：假设杆绕C点做定轴转动（忽略杆竖直运动的动能）例题9弹簧势能 两根杆的重力势能 系统总势能 求平衡位置例题9要使系统稳定，V”(=30)0微小振动的频率为例题10半径为R，质量为m的均质球静止地放在质量为M的均质平板上，板与球之间的摩擦系数为，板平放在光滑水平桌面上。如果突然给平板一向右的水平u，求证：在时间 时球与板之间有滑动；再求出球开始作纯滚动时球的速度和板的速度 例题10对平板应用质心运动定理球与板之间有滑动对球应用质心运动定理和质心动量矩定理，设球中心的速度为v0,角速度为， 且初始条件为v0(0)=0, (0)=

4、0（1）（2）（3）例题10平板与球之间的纯滚动的速度约束条件为（4）将（1），(2), (3), 代入（4）例题11质量为m，半径为r的均质圆柱体A放在质量为M，半径为R的均质圆柱体B上，而B又放在水平面上，所有接触处的摩擦力足够大，使得圆柱体只能滚动，不能滑动。两圆柱体的轴都是水平的，且重心都在同一竖直平面内，柱A从最高处自静止开始滚下。分析此问题中所涉及的全部未知量，列出它们所满足的方程，写出在两个柱体脱开以前柱A中心的轨迹方程。 例题11对圆柱B应用质心运动定理质心动量矩定理 假定如下参数：B的角速度 ：A的角速度 ：中心的连线与竖直线的夹角 N1,f1和N2，f2 ；正压力与摩擦力

5、（1）（2）例题11对圆柱A应用质心运动定理和质心动量矩定理 两个柱之间无相对滑动的条件约束条件：B与地面接触 纯滚动的条件（3）（4）（5）例题11中心A的轨迹方程与前面的两个动量矩方程联立，消去f1和f2 ,并积分系统的质心坐标 （6）（7）例题11将纯滚动的条件代入对上式积分有根据中心A的几何方程，消去xB例题12弹簧片一端有一集中质量M，另一端固定在水平地面上。设弹簧片本身的质量为m（均匀分布），长度为l，刚度系数为k。考虑弹簧片的质量，求系统的横向微振动频率。 例题12假设：弹簧片振动过程中的形状为(抛物线形状)：系统的动能系统的势能机械能守恒微振动频率 三体问题的首次积分 n个质点

6、彼此在万有引力作用下运动的问题成为n体问题。N体问题是天体力学中的一个基本问题，所谓三体问题主要是指如何寻求三体问题的首次积分问题质点ij之间的万有引力为：设无穷远处为零势点，三质点的势能为三体问题共有十个首次积分动量守恒的三个积分三体问题的首次积分质心运动的三个首次积分动量矩守恒的三个首次积分能量首次积分最多存在10个积分常数，但三体问题为9个二阶微分方程，需要18个积分常数。补充例题1已知：均质圆盘质量为m，半径为r，中心轴水平且过o点。均质直杆质量也为m，与水平地面夹角为，摩擦系数。初始时，O点速度为v0，圆盘只滚不滑。 求：O点的加速度；运动停止前圆盘所走过的水平距离。vcOvcf补充

7、例题1vcOvcf根据圆盘只滚不滑的条件有如下运动学关系（1）运动过程中，设O点任一时刻的速度为vc, 系统的动能为（2）根据动能变化定理，铰链处为理想约束（3）由（2）和（3）可得补充例题1vcOvcf以直杆为对象，并对O点应用非惯性参考系下的动量矩定理由于直杆平动，故补充例题1vcOvcf走过的路程s为摩擦力和法向支撑力的大小为法向支撑力补充例题2O一均质杆的质量为M， 长度为l,在水平位置无初速下落。在水平方向上与一质量为m的物块发生完全非弹性碰撞，使物块沿粗糙水平面滑动。滑动摩擦系数为。求物块滑行的距离。补充例题2O均质杆到达底面时的动能，根据能量守恒这时，直杆的角速度为杆碰撞接触点处

8、的速度为碰撞过程分析；碰撞前杆的运动状态：碰撞前物块的速度为V=0补充例题2O对直杆分析，设直杆与木块之间相互作用的冲量为I,对直杆的冲量矩动力学方程为对物块的动量方程为碰撞定律将(2)和(3)代入(1)中物块碰撞后的速度为（1）（2）（3）补充例题2O根据动能积分定理补充例题3机构如图所示：曲柄OA长为a，质量不计。滑块B（质量不计）沿竖直导轨上下运动。杆AB的质量为m。OB之间的距离为2a。AB杆长为squre5a。初始时，OA竖直，系统静止。当OA处于水平位置时，求OA杆的角速度和角加速度AB杆的角速度和角加速度AB杆的质心速度和加速度AB杆两端的约束力OABABij补充例题3OABAB

9、ij运动分析：当OA杆处于水平位置时，杆AB为瞬时平动。所有的关节约束为理想约束，故从初始位置到末时位置，机械能守恒。设OA水平时的瞬时角速度为0，AB杆的瞬时角速度为0，故有设OA的角加速度为0, AB的角加速度为。根据运动学关系有所以补充例题3OABABij杆AB质心C的加速度。由于OA的质量不计，故为二力杆，OA对AB杆的约束力沿水平方向。滑块B的质量不计。以杆AB为分析对象。根据质心运动定理有杆AB质心的加速度为补充例题3OABABij根据质心运动定理有质心动量矩定理补充例题4长为2a的均质杆AB直立并靠在光滑墙上，由于受到小的扰动，使杆在墙的竖直平面内倒下。设地面光滑，求杆子倒地时质心的速度A补充例题4设杆倒地过程中，角速度为，质心速度为vc。所有的约束为理想约束，机械能守恒。AB当杆AB与墙面和地面均接触时，质心C的速度和角速度存在如下的运动学关系 则对上式微分，可得到角加速度补充例题4AB根据几何关系利