大学物理：第七章机械波new

1、机械波本章教学要求： 理解机械波产生的条件。掌握由已知质点的简谐振动方程得出平面简谐波的波函数的方法及波函数的物理意义。理解波形图线。了解波的能量传播特征及能流、能流密度概念。 了解惠更斯原理和波的叠加原理。理解波的相干条件，能应用相位差和波程差分析、确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件。 理解驻波及其形成条件。了解驻波和行波的区别。 了解机械波的多普勒效应及其产生原因。本章重点：简谐波的波动方程,相干波叠加后振幅加强和减弱的条件。驻波。本章难点：波动方程，相干波，驻波返回目录下一页上一页机械波目录7.1 机械波的几个概念7.2 平面简谐波波函数7.3 机械波的能量7.4 惠更斯原理 波的衍射

2、，反射和折射7.5 波的干涉7.6 多普勒效应返回总目录1. 机械波产生的条件 波动是振动的传播过程。机械波：机械振动在介质中的传播过程。弹性介质波源产生机械振动的振源传播机械振动的介质电磁波：变化的电场和变化的磁场在空 间的传播过程。不需要媒质。7-1-1 机械波的形成 2.横波和纵波横波：质点的振动方向和波的传播方向垂直。 注：在固体中可以传播横波或纵波，在液体、 气体(因无剪切效应)中只能传播纵波。纵波：质点的振动方向和波的传播方向平行。振动方向传播方向波谷波峰波密波疏横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波.（仅在固体中传播 ）7-1-2 横波与纵波 特征：具有交替出现的波峰和波谷.

3、纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波.（可在固体、液体和气体中传播） 特征：具有交替出现的密部和疏部.7-1-3 波面与波线 波线：沿波的传播方向作的一些带箭头的线。波线的指向表示波的传播方向。波阵面：在波动过程中，把振动相位相同的点连成的面(简称波面)。波前：在任何时刻，波面有无数多个，最前方的波面即是波前。波前只有一个。平面波：波面为平面球面波：波面为球面柱面波：波面为柱面波阵面和波射线平面波球面波波线波阵面波阵面波线1、在各向同性介质中传播时，波线和波阵面垂直。注：2、在远离波源的球面波波面上的任何一个小部份，都可视为平面波。波前波线2、球面波1、平面波波线波面波前 波的特征：(

4、1) 质元并未“随波逐流” 波的传播不是媒质质元的传播(2) “上游”的质元依次带动“下游”的质元振动(3) 某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于“下游”某处出现-波是振动状态的传播(5) 同相点-相邻两同振动状态的点间距为波长相位差2沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。(4) 振动具有时间周期性,则波动在空间上也有周期性波是相位的传播 ab xxu传播方向图中b点比a点的相位落后oxut 不同时刻对应有不同的波形曲线 y 波形曲线能反映横波、纵波的位移情况波形曲线(波形图)1.波长 : 波的传播方向上两相邻同相点间的距离 波的频率 : 媒质质点(元)的振动频率 即单位时间内波动所传播的完整

5、波的数目. 一般情况下,波的周期(频率)等于波源的振动周期(频率)四. 波的特征量2.波的周期T: 波动传播一个波长所需的时间.7-1-4 波长、频率、波速之间的基本关系式 波速又称相速度(相位传播速度)三者关系固体内横波和纵波的传播速度u分别为G：切变模量，E弹性模量， 固体的密度液体和气体内，纵波的传播速度为K为体积模量3. 波速u : 单位时间波所传过的距离弹性模量 弹性绳上的横波T-绳的初始张力, -绳的线密度FllS在外力作用下，当其伸长量为l 时，内部产生弹性力F实验表明：比例系数E叫弹性模量设固体长为l，截面积为SF/S叫正应力，l/l叫线应变切变模量lSrF固体切向形变r时，内

6、部产生切向弹性力F实验表明：G叫切变模量体积模量 pVVp+p当液体或气体体积缩小V时，压强相应增大p实验表明：K叫体积模量，负号表示压强增大体积变小7-2 平面简谐波波函数7-1-1 波函数 由波的形成过程可知，介质中各质元都在振动，但是各个质元的振动状态是不同的。因此要描述波，需要一个描述波动的函数式，能反映x处的质点在任意时刻t的位移y，1.平面波的波面是平面，而同一波面上各质元的运动状态是相同的2.对于平面波来说，只要给出其中一条波线上各质元的振动规律，也就确定了空间中各质元的振动规律3.因此可以将平面波简化为一条直线上的波动来研究 平面波简谐波（介质是均匀和无吸收的 ）在波线上任取一

7、点为坐标原点，沿（逆）波线方向建立坐标轴x: 表示波线上各质点的平衡位置y： 表示各质点离开平衡位置的位移对于某一时刻 t, 各质点位移情况由y-x曲线表示，我们称之为波形曲线yx 波线上各质点依次重复波源的振动，各质 点振动相位沿传播方向依次滞后（落后）7-2 平面简谐波波动方程波动方程描写波线上所有质点的振动方程p0yx源波 源 点：波源所在位置（有时不重要）原 点： 坐标选择，坐标轴一定要与波线方向一致或反向）参考点x0: 已知振动方式的点返回本章目录下一页上一页一、沿X轴正方向传播的平面简谐波平面简谐波：在均匀无吸收介质中传播的平面波，波源作谐振动。1、已知坐标原点O的振动方程，求波动

8、方程返回本章目录下一页上一页所以P点振动方程为：返回本章目录下一页上一页所以P点振动方程为：上式称为相位滞后式，对x0的点同样适用问题： x点的初位相为多少？返回本章目录下一页上一页讨论：返回本章目录下一页上一页波线上各点的简谐运动图OO时刻时刻返回本章目录下一页上一页(5) 质点的振动速度，加速度2. 已知波线上一点x0的振动方程，求波动方程x点相位滞后问题：x=0点的初相为多少？ x点的初相是多少？x0 xxyu返回本章目录下一页上一页二、沿X轴负方向传播的平面简谐波1、已知坐标原点O的振动方程，求波动方程返回本章目录下一页上一页x0返回本章目录下一页上一页V0t+dt时刻t时刻沿X轴正向

9、传播的波，曲线上升段各质点速度为负，曲线下降段各质点速度为正沿X轴负向传播的波，曲线上升段各质点速度为正，曲线下降段各质点速度为负t+dt时刻V0t时刻返回本章目录下一页上一页3、由波形曲线及传播方向判断波形图上各质点振动速度方向4波的图像与振动图像的区别振动图像波的图像意义各时刻振动的一个质点的位移的大小和方向某时刻介质中各个质点的位移的大小和方向坐标纵轴-位移，横轴-时间纵轴-位移，横轴-介质中质点的平衡位置，振动传播的距离时间变化影响随时间的延长而继续延伸，原来的曲线，形状和位置不变波形是某时刻介质中各质点所处的不同位置所连成的曲线，时间变化，质点的位置变化，形成新的波形，沿横轴向波速方

10、向平移。振动方向V=dx/dt,做曲线的切线，判断切线斜率的正负根据波速方向判断，后振动的质点跟随前面质点运动已知t=T/4时刻的波形图，且波沿x轴正方向传播，求：t=T/4123返回本章目录下一页上一页注：也可以先画出t=0时刻的波形图，在t=0至t=T/4时 间内波形向右传播距离，如虚线所示，再求初相。t=0t=T/4123t=T/4123返回本章目录下一页上一页三、波动方程的三种表达式相位滞后式时间滞后式(x点振动滞后O点振动，滞后时间x/u)时间周期T,空间周期表达式 （对称美）返回本章目录下一页上一页例1. 有一横波沿弦线传播，其方程为 。式中 的单位是 ， 的单位是 。试求：（1）

11、波的振幅、波长、频率、周期及波速；（2）弦线中任一质点的最大振动速度；（3） 处质点的初相。 返回本章目录下一页上一页 1）波动方程 例2 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播， 已知振幅 ， ， . 在 时坐标原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求 解 写出波动方程的标准式O2）求 波形图.波形方程o2.01.0-1.0 时刻波形图3） 处质点的振动规律并做图 . 处质点的振动方程01.0-1.02.0O1234*1234处质点的振动曲线1.0【例7-5】 图7-12(a)表示t0时刻的波形图；图7-12(b)表示原点x=0处质元的振动曲线，试求此波的波函数，并画出x2m处

12、质元的振动曲线。 解 由图可知由图7-12(b)中，可以看出x0处质元振动的振幅A2cm，t0时，该质元位移yo0，因而该质元的初相位 所以x0处的质元的振动方程为 x2m处质元的振动方程为 此波的波动方程为 例3 一平面简谐波以速度 沿直线传播,波线上点 A 的简谐运动方程 .1）以 A 为坐标原点，写出波动方程ABCD5m9m8m2）以 B 为坐标原点，写出波动方程ABCD5m9m8m3）写出传播方向上点C、点D 的简谐运动方程ABCD5m9m8m点 C 的相位比点 A 超前点 D 的相位落后于点 A 4）分别求出 BC ，CD 两点间的相位差ABCD5m9m8m 1）给出下列波函数所表示

13、的波的传播方向和 点的初相位. 2）平面简谐波的波函数为 式中 为正常数，求波长、波速、波传播方向上相距为 的两点间的相位差.讨 论向x 轴正向传播向x 轴负向传播2.波动方程 对 求x 、t 的二阶偏导数,得到 任何物理量y ，若它与时间、坐标间的关系满足上式，则这一物理量就按波的形式传播。平面波的波动微分方程波速 与介质的性质有关， 为介质的密度.如声音的传播速度空气，常温左右，混凝土横 波固体纵 波液、气体切变模量弹性模量体积模量以沿直杆传播的纵波为例讨论7-3 机械波的能量7-3-2 机械波的能量和能量密度可见：1、波的动能和势能均随时间作同周期性变化，变化周期为波动周期的一半（T/2

14、）。2、动能与势能同相变化。dV内的波动能量在 之间变化。当dE增加时，表示有能量沿波线传入体元；当dE减少时，表示有能量沿波线从体元传出。返回本章目录下一页上一页5、理解动能与势能同相变化ABCBACDE 以横波为例，考察某时刻波形图上的许多质元，位移最大处的质元C,C由于dy/dx=0,没有形变，波动势能最小（为0）；而位移为0处的质元A,A，dy/dx最大，形变最大，波动势能最大。 某质元由C点运动到D点的过程中，有能量从左传来，再由D点运动到E点的过程中，将能量输送给右边质元返回本章目录下一页上一页振动与波的关系：振动机械波研究对象现象产生条件联系一个质点介质中振动的各个质点一个质点沿

15、直线或弧线做周期性运动很多质点都在做振动，只是依次开始受回复力，阻力小振源、介质都是周期性运动；构成介质的每个质点，在波传播过程中都做周期、振幅相同的振动，从整体看，所呈现的现象是波动。讨 论 体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能均最大. 体积元的位移最大时，三者均为零. 1）在波动传播的媒质中，任一体积元的动能、 势能、总机械能均随 作周期性变化，且变化是同相位的. 2） 任一体积元都在不断地接收和放出能量，即不断地传播能量 . 任一体积元的机械能不守恒 . 波动是能量传递的一种方式 . 能量密度：单位体积介质中的波动能量.平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值.1、平均能流：单位时

16、间内垂直通过S面的平均能量。2、能流密度（波的强度）：单位面积上通过的平均能流。可见：波的能量是沿波线并以波速u而流动的。返回本章目录下一页上一页I 的单位：瓦特/米2 (W.m-2)udtS7-3-2 能流和能流密度 例 证明球面波的振幅与离开其波源的距离成反比，并求球面简谐波的波函数. 证 介质无吸收，通过两个球面的平均能流相等.即式中 为离开波源的距离， 为 处的振幅.球面简谐波方程【例7-6】 一平面简谐波的频率为 HZ，在空气中以u340ms的速度传播。已知空气的密度 kgm3；此波到达人耳时的振幅 m，试求耳中的平均能量密度和能流密度。 6.4l10-63402.1810-3 (w

17、m2) 波的吸收 波在实际介质中，由于波动能量总有一部分会被介质吸收，波的机械能不断减少，波强亦逐渐减弱。波通过厚度为dx 的介质，其振幅衰减量为 - dA波强的衰减规律：实验给出：声压、声强和声强级声压：介质中有声波传播时的压力与无声波时的 静压力之间的压差。平面简谐波，声压振幅为声强：声波的能流密度。频率越高越容易获得较大的声压和声强引起人听觉的声波有频率范围和声强范围声强级：人耳对响度的主观感觉由声强级和频率共同决定7-4-1惠更斯原理（Huygens Principle）一）惠更斯原理的表述媒质中波动到达的各点都可看作发射同频率的子波波源，在其后一时刻的波阵面，由这些子波波面的包迹决定

18、。返回本章目录下一页上一页 波在弹性介质中运动时,任一点P 的振动,将会引起邻近质点的振动。就此特征而言，振动着的 P 点与波源相比，除了在时间上有延迟外，并无其他区别。因此，P 可视为一个新的波源。1678年，惠更斯总结出了以其名字命名的惠更斯原理：7-4 惠更斯原理 波的衍射、反射和折射 一、惠更斯原理二）对现象的解释1）从某时刻的波阵面得到下一时刻的波阵面球面波时刻的波阵面t时刻的波阵面时刻的波阵面平面波t时刻的波阵面时刻的波阵面时刻的波阵面返回本章目录下一页上一页3)解释衍射现象衍射（绕射）-波动在传播过程中遇到障碍物时 能绕过障碍物的边缘前进的现象“室内讲话，墙外有耳”水波的衍射返回

19、本章目录下一页上一页波动绕过障碍物传播的现象，称为波的衍射或波的绕射。 衍射是波动的基本特性。对于一定的狭缝，波长越长，衍射现象越显著。 对于一定的波长，缝的宽度a越小，衍射现象越显著。衍射程度取决于缝宽a与波长 之比。7-4-2 波的衍射波的折射特点：波的频率不改变波速和波长都发生了改变入射角与折射角之间满足折射定律现象：波从一种介质射入另一种介质时，传播的方向会发生改变入射角i折射角r7-4-3 波的折射定律 记，则一、波的叠加原理 两列波在空间传播的相遇区域，媒质中各质点将同时参与两个振动。任一时刻质点的位移是每个波在该处所引起的振动位移的合成。即发生波的叠加。 同一空间传播的两个或两个

20、以上的波，每个波动在传播过程中各自保持自身的特性（振动方向、频率、传播方向等）不变，就好象空间并没有其它波动存在一样。相遇处发生振动的叠加，相遇后仍按各自的传播规律继续前进。 可见，两个或两个以上的波动在传播过程中相遇时，每一相遇点的振动是各个波动在该处振动的合成。相遇后，每一波又按各自的特性继续向前传播。7-6 波的干涉 波的叠加原理只有当波的强度较小时才是正确的，当波的强度较大时，它并不成立。因当波的强度甚大时，波相互之间就有明显的影响。 绳波水波返回本章目录下一页上一页光波 频率相同、振动方向平行、相位相同或相位差恒定的两列波相遇时，使某些地方振动始终加强，而使另一些地方振动始终减弱的现

21、象，称为波的干涉现象.7-6 波的干涉相干波相干条件：振动方向相同频率相同相位相同或相位差恒定相干波：满足相干条件的几列波称为相干波。相干波源：能发出相干波的波源称为相干波源。 两列相干波在空间相遇，这时两列波传到空间任意一点均有恒定的相差。则质点的振动也是稳定的，有些点振动始终加强,有些点振动始终减弱，这种稳定的叠加就是波的干涉。返回本章目录下一页上一页讨论当当返回本章目录下一页上一页不满足以上条件时：特别地，当 的条件下，波程差 两列相干波源为同相位时，在两列波的叠加的区域内，在波程差于零或等于波长的整数倍的各点，振幅最大；在波程差等于半波长的奇数倍的各点，振幅最小。 因若I1=I2，叠加

22、后波的强度：干涉现象的强度分布若I1=I2，叠加后波的强度：【例7-7】 图7-26所示为声音干涉仪，用以演示声波的干涉。声波从入口E进入仪器，分B、C两路在管中传播，至喇叭口A会合传出。弯管C可以伸缩，当它渐渐伸长时，从喇叭口发出的声音周期性地增强或减弱。设C管每伸长8cm声音减弱一次，求此声波的频率(空气中声速为340ms)。 DCA与DBA两路声波干涉减弱条件，必须满足波程差 当C管伸长x=8 cm时，再次出现减弱时； u= 340ms, 例2）如图：A、B两点是处于同一介质中相距为20m的两个波源，它们作同方向、同频率的振动（=100HZ）,初相差为 ，设它们激起的是相向前进的两平面波

23、，振幅均为5cm。波速为200 m/s，求A、B连线上因干涉而静止的各质点位置。SBSA已知：AB=20m=100HZA=5cmu=200m/s求：振幅=0的点的位置返回本章目录下一页上一页解：1）建立坐标AXY，选取A点位移最大时为计 时起点，即设波源A在A点的振动初相为0，则：SBSAABXY2）波动方程：返回本章目录下一页上一页3）分析相位差XYSBSAAB返回本章目录下一页上一页2）波动方程：XYSBSAAB振幅为零。时，处振幅为零。即：时，振幅为零。返回本章目录下一页上一页 例 如图所示，A、B 两点为同一介质中两相干波源.其振幅皆为5cm，频率皆为100Hz，但当点 A 为波峰时，

24、点B 适为波谷.设波速为10m/s，试写出由A、B发出的两列波传到点P 时干涉的结果.解15m20mABP 设 A 的相位较 B 超前，则 .点P 合振幅7-6 驻 波（Standing Wave）一）何谓驻波两列振幅相同的相干波在同一直线上沿相反方向传播彼此相遇叠加而形成的波。uu节点电动音叉+-腹点返回本章目录下一页上一页XY节点腹点返回本章目录下一页上一页二）驻波分析1）波形曲线分析由此可见，驻波特点是：2）相邻两节点间的质点具有相同的位相，同时达到最大值或最小值。节点两侧各点具有相反的位相。1）驻波波形固定，有波腹点和波节点，且相邻 的腹点与腹点，节点与节点间距离为 相邻的节点与腹点间

25、的距离为XY返回本章目录下一页上一页三、驻波为讨论方便，设返回本章目录下一页上一页返回本章目录下一页上一页返回本章目录下一页上一页XY质点的 相位关 系开始计时：obcda再看节点b的两侧质点：节点两侧质点反相而：返回本章目录下一页上一页X总之：相邻两节点间的质点同相，节点两侧质 点反相。纵驻波：节点节点3）驻波的能量XY驻波中的能流密度为零，实际上是系统的一种稳定的振动状态。返回本章目录下一页上一页Xy当波节点间质点振幅最大时：ABXyAB势能曲线动能曲线当质点到达平衡位置 时：能量在节点附近的质点与腹点附近的质点间交换与转移返回本章目录下一页上一页驻波的特点1、两波节之间各点振幅不同，中点

26、振幅最大（波腹）2、两波节之间各点振动相位相同，同时达到最大值 或最小值。一波节两侧各点相位正好相反。 3、波节与相临波腹距离为返回本章目录下一页上一页例2、一弦上的驻波方程若将它看成是由传播方向相反、振幅和波速相等的两列波相干叠加而成。（1）求它们的振幅和波速。（2）求相邻波节之间的距离。（3）求t=0.003s 时位于x=0.02m处质点的振动速度。解： （1）振幅 A=0.015m, 波长 =1.25m, 周期 T=0.00364s波速（3）振动速度（2）相邻波节之间的距离例1、两波在同一绳索上传播，它们的方程分别为：（1）证明绳索作驻波式振动，并求节点和波腹的位置。（2）波腹处的振幅多

27、大？在x=1.2m处振幅多大？解：（1）波节位置：波腹位置：所以绳索上的振动是驻波。（2）波腹处x=1.2m处四、反射波的相位变化在反射点M：入射波在M点的振动方程：反射波在M点的振动方程其实质是：入射波在M引起的振动与反射波在M引起的振动反相（相位差）返回本章目录下一页上一页其实质是：入射波在M引起的振动与反射波在M点引起的振动同相（无相位差）在反射点M：入射波在M点的振动方程：反射波在M点的振动方程也是：返回本章目录下一页上一页反射波透射波入射波一般言之：当波在两种媒质介面上反射时：分别为两种媒质的密度和波在两种媒（质中传播的速度。）若若反射波无相位突变（反射波与入射波在该点相位相同，即无

28、“半波损失”，介面出现腹点（从波疏介质进入波密介质）（从波密介质进入波疏介质）反射波在反射点有 相位的突变，称为“半波损失”，介面出现节点返回本章目录下一页上一页当入射波垂直入射或掠入射波疏介质较小波密介质较大波密介质较大波疏介质较小 例 如图, 一列沿x轴正向传播的简谐波方程为 (m)（1）在1，2两种介质分界面上点A与坐标原点O相距L=2.25 m.已知介质2的波阻大于介质1的波阻,假设反射波与入射波的振幅相等, 求： （a）反射波方程;（b）驻波方程;（c）在OA之间波节和波腹的位置坐标.yLOAx12解 （a）设反射波方程为（2）由式（1）得A点的反射振动方程（3）(m)(m)（1） 由式（2）得A点的反射振动方程（4）(m)舍去令 y1A=y2A所以反射波方程为：(m)（b）（c） 令令得波节坐标END得波腹坐标7-6-4 弦线振动的简正模式应满足 ， 由此频率两端固定的弦线形成驻波时，波长 和弦线长决定的各种振动方式称为弦线振动的简正模式.波源物体的驻波及其不连续谱1）弦上的驻波LAB弦（基频）n=1n=2n=3n=42）笛中的驻波第一谐频第二谐频n=1n=2n=3n=4基频：各种频率成分的振幅也不尽相同，各种乐器的振幅与频率存在一定关系-频谱长号010002000300000.51.0HZ单簧管00.51.0HZ钢琴00.51.