高考数学数列压轴专项练习集

1、2018年高考数学数列压轴专项练习集（一）1.已知等差数列和等比数列也）,其中同的公差不为o.设3是数列 W 的前n项和.若49M是数列物）的前3项，且邑=16.（1）求数列“和也,的通项公式：a（2）若数列J为等差数列，求实数，：（3 ）构造数列4,4,。2,仇也，叼4也也，火，4也，也 若该数列前n项和 ，=1821 ,求n的值._ 2+ (_1)”.2,已知数列满足-=T2=1,且“z2 （1）求的+必的值:（2）设S”为数列“的前n项的和，求S；（3）设是否存正整数i，j，k （iVjVk）,使得0,氏成等差数列？若存在，求出所有满足条件的i, j，k；若不存在，请说明理由.（本题满分

2、12分）设数列4的前n项和为$，已知%=% = 1,4= 邑+ （ + 2）为，数列是公差为d的等差数列, & N.(1)求d的值;求数列/的通项公式;（4，q）,（sR2 Sa）v 求证：-3, 例 3 a ,=.设数列m的首项4=a(“eR),且-1“，+44在3时，? = 1, 2, 3,.(1)若 Ovavl,求 的， /， %， as （2）若0勺4,证明：0。用4.（3）若0vaW2,求所有的正整数h使得对于任意 wN3均有4M =%成立.已知数列的前 n 项和为 Sn，ai=O, ai+a2+a3+.+an+n=an+p neN4.（I）求证：数列an+1是等比数列；（H）设数列

3、bn的前n项和为Tn，b|=l,点（T用，Tn）在直线告-且三n+1 n 2h b,b9上，若不等式一 + -7 + -727-丁丁一对于nN恒成立，求实数m的 ax +1 ck +1 alt +12 + 2a,1X/I/最大值.x406.设不等式组）所表示的平面区域为Dn，记Dn内整点的个数为an （横纵坐 标均为整数的点称为整点）.（l）n=2时，先在平面直角坐标系中作出区域Dz,再求a?的值:（2）求数列a“的通项公式;（3）记数列%的前n项的和为Sn,试证明：对任意nN恒有喑成立2y2 32S3(n+1).1 12n iji e（I ）求2,邑的值;（ID猜想S的表达式，并证明你的猜想

4、.8.设数列4是各项均为正数的等比数列，其前项和为若4% =64, S5-S3=4S（1）求数列J的通项公式；（2）对于正整数上机（Zvmv/）,求证：“2 =4+ 1且/ = 4 + 3”是这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件:(3)设数列“J满足：对任意的正整数，都有仲“ + 4八M = nl A, n e N* = 3-2T4” 6,且集合 &J中有且仅有3个元素，试求的取值范围.LLL J_ 3 上 333329.己知 f (n) =1+2 +3 +4 + +n , g (n) =2 - 2n , nN(1)当n=l, 2, 3时，试比较f (n)与g (n)的大小关系；(

5、2)猜想f (n)与g (n)的大小关系，并给出证明.10,设数列an的前n项和为Sn,若 n (nEN4),则称a是“紧密数列；(1)若a1=l,立言, a3=x, 34=4,求x的取值范围: 乙(2)若%为等差数列,首项山，公差d,且OVdga”判断aj是否为“紧密数列”：(3)设数列是公比为q的等比数列，若数列an与SQ都是“紧密数列”,求q的取值范围.试卷答案1.【考点】数列的求和：数列递推式.【分析】（1）设an的公差CM）.由an a2, as是数列（悦的前3项，且S4=16.可得泰即，i+d）2=a1（.+4，4出号立上16,解得ai, d,即可得出.乙(2) Sn-n(l+2n

6、-l)4S -124 S -1=n2.可得一t71 .根据数列二-为等差数列，可得%+t 2n-l+t%+t巴、3+t1+1 5+tt2 - 2t=0.（3）由（1）可得：Sn=n2,数列bn的前n项和An=m 3-1 2数列A“的前n3-1-数列 ai, bi,N 4 zaz, bi, b2, a3, bi, b2.k时 L1项和=k?+土24b3,，ak, b|, b2, . bk,，可得：该数列前 kik&” 乙,(k-1),根据 36187, 3J6561.进而得出.【解答】解： 设付力的公差*0.山,a2f as是数列bn的前3项,且$4=16.994X3*- 82 = 3 1 a5

7、* 即(力+d)=a(a+4d) , 4ad-4=16,乙/ an=l+ (n - 1) x2=2n - 1.，b=l, b?=3,公比 q=3.Abn=3-L(2) S=ni.叫 T 4n2-14 S T:数歹以上上一为等差数列， a”t2 - 2t=0.ny 4X22-1_J5_,，2Z 3+ t F7ET解得t=2或0,经过验证满足题意.（3）由（1）可得：Sn=n2,数列bn的前n项和An=/4（3n-1）,数列An的前n3-1 2项和 uj x m 二L】- -1- %23-1242数列 a1，bra?, bi,b2, a3,b，b2,b3, .ak, b” b2,，bk,，该数列前

8、k十坐LL项和=k2音二2-A- (k-1), 224237=2187, 38=6561.取k=8,可得前空且=36项的和为：g2+与工 A 乂 7 = i7oo,令1=1821=1700。(寸-1),解得 m=5. 乙:.n=36+5=41.2.【考点】数列的求和：数列递推式.【分析】(1)由题意，当n为奇数时，an+2=yan：当n为偶数时，an+2=yaR.结合 乙乙139a1=-l, a2=l,进一步求得33=7T，a5=? a4行，&6二丁，则 as+JU可求：(2)当 n=2k时,Sn=S2k= (aj+a3+.+a2k-i)+ (32+84+.+a2k) 代入等比数列前 n 项和

9、公式求解；当n=2k - 1时，由Sn=S2k - a2k求解：-(y)R-10 (仅也=0且同递增).结合k由得L二.1十电2小(|尸j,且k, jGZ,可得g+1.然后分g+2与k=j+l两类分析可得满足条件的i, j, k只有唯一一组解，即i=l, j=2, k=3.【解答】解：(1)由题意，当n为奇数时，an+2=yaR：当n为偶数时，an+2=yaR. 乙乙又 ai= - 1, 4=1,.1139.为二亍 a5=T5 a4 亍 % 二了, 即 a5+a(=2；(2)n=2k时，Sn=S2k= (ai+aj+.+a2k-1)+ (a2+a4+.+a2k)1-1 1 至22=2岭及喳4+

10、竭再/巧T当 n=2k-1 时，S=S2k - a2k=2吟/吗)k/2 乂nT nr =2乂号产+或)2 -4 .(|)7+2X(1)2-4,n为偶数，nN”n为奇数，门旷(3)由(1) , Wbn= a2n_1 + a2n= (y)11-1 -(y)11-1 0 G又 b1=O 且bn)递增).Vkj,且 k, jZ,，g+l.当g+2时，bkbJ+2,若bi, bj, bk成等差数列, 则O j-11 j-1 R j + 11j+1bi=2b j -bk2b j -b j+2=2 (y )(y)-宇 -勺)此与bao矛盾.故此时不存在这样的等差数列.当k=j+l时,bk=bj+i,若bi

11、,寸bk成等差数列, 则b=2b j-bk=2bj-b汨=2呜)“-昼)”-呜)吗)1（卦-等又.(且 i, jZ,，Kj- 1.若 Kj-2,则b曲.2,得鼻乙吟）1号产诗产3.得号产+5X g）/%）,矛盾，从而2bj=bj-i+bj.o j-11 j-1 o j-2j-2-1 j21 （y）吗）l=（f）吗）+号）吗）化简，得32=1,解得j=2.从而，满足条件的i, j, k只有唯一一组解,即i=l, j=2, k=3.3.q=l, bn=nSn+(n + 2)an4 = S + (1 + 2)ai = 4q = 4b2 = 2S2 +(2 + 2)a2 = 2q + 6a2 = 8d

12、 =h2-b1 =43分(2):数列瓦J是等工数列,二4 二而，:.nS * + 3)or = 4n .fl当n不2时罟.=4, 一,祗以上占式植聋L得丝=上 叫尸8分则 .12二(叼4”(5尸尸邑)军4_(n+iXrt + 2)，式等号不成必刖加隗4)国/SJv-p2*i(rt +1+ 2)12分 4 .见解析解：I = a w (0,1)得 a2 (3,4), /. a2 = - + 4 = - + 4 a3 e (0,1), /. % = % 3 = - +1,a4 e (3,4), :. % = 一3 + 4 = a + 3 ,% e (0,1), ，4 =% 一 3 = a .H证明

13、：当0“”W3时，“用=一q+4,.lWaz4, 当3q, 4, 4川=勺 -3,工综上，0可4时，0,4.II I解：若01,由I知 =,所以4=4,.当*=4m(meN*)时，对所有的eN*,=可成立.若 1W“v2,则4；=一。+ 4,且c&eQJ,% = 一七 +4 = (4 + 4) + 4 = a = q , : k = 2 ,.,.当* = 2m(m e N*)时，对所有的 e N *,=勺成立，若 a = 2 ,则 4 = % =%=2,= 1,女= ?N*)时，对所有的 wN*,可=4成立，综上，若 Ova2),两式相减得am=2a#l,变形为 an+i+l=2 (an+l)

14、 (n2),Vai=O *.ai+l=l a2=ai+l=l, 82+1 =2 (ai+1), ai+l是以1为首项，公比为2的等比数列.(H)由(【)得日八二？.1-1，丁点Tn）在直线启y_ln2上,n+l n 2故 4是以二L二1为首项，3 为公差的等差数列,n1NT则六口卓门-1） t _n(n+D 2当应2 时，、二啜满足该式，bn=n.不等式 bl | b2力+1 a2+l2 3 即为后宝_ 9 2+2%92 rl令见吟曾*1R2 2 22 23 两式相减得武）%二1小台齐二2注 2n- A n+2Rn=4-r n 21rl2n彳2门-5 、恒成立，即4y-ir2n恒成立, 2口一

15、3 、 2 rl-5 、 2n-7乙乙乙单调递减；当】=3时,故当记3时，4用2n2X3-5 3123：2n-5当吟4时，4-单调递增；当n=4时，2n/ 2X4-5 614 ；则4/喑 的最小值碌 ，所以实数m的最大值是萼21616【考点】数列与不等式的综合.【分析】（1）在4x8的矩形区域内有5x9个整点，对角线上有5个整点，可求a?的值;（2）直线y=nx与x=4交于点P （4, 4n）,即可求数列aQ的通项公式：（3）利用裂项法，放缩，求和即可证明结论.【解答】解：（1）D?如图中阴影部分所示，在4x8的矩形区域内有5x9个整点，对角线上有5个整点，。5乂9+5 ” TOC o 1-5

16、 h z a?=25.2（另解:32=1+3+5+7+9=25）(2 )直线y=nx与x=4交于点P (4, 4n),/.5乂(4n+l)+5 2时，a7. ( I )分) TOC o 1-5 h z = S“ 一S.二 5+ = s“ 一S,I -2,.- 5= - -1 5 2) 1 + /(32 d =q =-q13 c14（6分）5,+24 3S, + 25S =（H）猜想” + 2,（7分）下面用数学归纳法证明：=二=上，1）当n=l时，31 + 2,猜想正确：（8分），=上2）假设当n=k时猜想正确，即人 k + 2u,即一 一；勺 3。2%23时，0,此时，捏|单调递减, 4 3

17、16分A1A345b477,1又 7，= = T，一 =小a 2-.2%4%8。416162【考点】用数学归纳法证明不等式：不等式比较大小.【分析】(1)根据已知f(n)二1+三号十三凸，式n)二日一三，nGN我们 2、 3J 4 nJ 2 2n易得当n=l, 2, 3时，两个函数函数值的大小，比较后，根据结论我们可以归纳推理得到 猜想 f (n) g (n):(2)但归纳推理的结论不一定正确，我们可用数学归纳法进行证明，先证明不等式f(n) g (n)当n=l时成立，再假设不等式f (n) g n)当n=k (虻1)时成立，进而证 明当n=k+l时，不等式f (n) g (n)也成立，最后得

18、到不等式f (n) g (n)对于所有的 正整数n成立：【解答】解：(1)当 n=l 时，f (1) =1, g (1) =1,所以 f (1) =g (1):当n=2时,f(2)二卷，g二耳, OO所以 f (2) g (2):当皿时，f二髭一二舞所以 f (3) g (3).(2)由(1),猜想f (n) 3)时不等式成立，i 31i那么，当 n=k+l 时，f (k+1)=f (k)-t-yy 3 , (k+1),2 2k (k+1)因为2(kH)22k 2 (k+1)二_ k+3_ 1 二 _ 3k - 1 3 -2(k+L)3 2k2-2(k+l)3k2所以f 8+1)得-1、2二g 拆+1).22(k+l)J由、可知，对一切nN都有f (n) g (n)成立.10.【考点】数列的应用.L x【分析】由题意，户可 an 3+(nT)da根据“紧密数列的定义即可证明结论;(3)先设公比是q并判断出q,l,由等比数列的通项公式、前n项和公式化筒恐且 an尹，根据“紧密数列的定义列出不等式组，再求出公比q的取值范围.1 x【解答】解：(1)由题意，亍且.*2，2事, 72