抛物线_王莫梅

1、课题：抛物线【教学目标及重难点】了解抛物线的定义，掌握抛物线标准方程的四种形式和抛物线的简单几何性 质.会用抛物线的标准方程和几何性质解决简单的实际问题.【基础练习】1.焦点在直线x-2y-4=0上的抛物线的标准方程是 y2 =16 x 或 x2 = - 8 y若抛物线y 2 = 2 px的焦点与椭圆：+匕=1的右焦点重合，则p的值为已抛物线y 2=4ax (a 0, P是抛物线上的一点，且I PA | =d,试求d的最小值.解：设 P (x，y ) (x 0)，则 y 2=2x， 00000d= I PA | 二.侦(x0 a)2 + y2=；(x0 a)2 + 2x0 = Vx0 + (1

2、 a)2 + 2a 1 Va0，x 0，.(1)当0VaV1 时，1-a0，此时有 x0=0 时，dmin=J(1 a)2 + 2a 1 =a.(2)当 a1 时，1-a0，此时有 x0=a 1 时，dmin= J2 a .例2.如图所示，直线i和1相交于点M，i i，点n e l，以A、B为端点的曲12121线段C上的任一点到i2的距离与到点N的距离相等，若AAMN为锐角三角形，AM |= 5， AN |= 3，且BN| = 6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程.例2分析：因为曲线段C上的任一点是以点N为焦点，以Z为准线的抛物线的一 段，所以本题关键是建立适当坐标系，确定C所满足的抛物线方

3、程.解：以i为x轴，MN的中点为坐标原点O,建立直 1角坐标系.由题意，曲线段C是N为焦点，以12为准线的抛物 线的一段，其中A、B分别为曲线段的两端点.设曲线段C满足的抛物线方程为：AM I = (17 , |AN = 3y2 = 2 px (p 0)( x x 0), 其中x令 MN |= p，则 M (- p ,0), N (: ,0)，p.由两点间的距离公式，得方程组:(七 十 y + 2 气=17 xA，则p = 4，xA= 1又 B 在曲线段 C 上，. xb=|bn - p = 6 - 2 = 4则曲线段C的方程为y 2 =8x(1 x 0).例3.设A (x , y ),B(

4、x , y )两点在抛物线y = 2 x 2上，l是AB的垂直平分线. 1122(I)当且仅当x 1 + x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F?证明你的结论;(II)当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围.解：(I) F e l = I FA 1=I FB 1= A, B 两点到抛物线的准线的距离相等.抛物线的准线是X轴的平行线，y产0,y 2 0,依题意yy 不同时为0，, 上述条件等价于 y_yX 2- X 2(X+ X)( X- X) - 0-y yX X(X+ X)( x x) ；12121212.上述条件等价于X 1 + X 2= 0.即当且仅当X1+ X2= 0时，l经

5、过抛物线的焦点F.另解：(I)：抛物线 y 2 X 2，即 X 2 - ,. p -2焦点为F (0, 1)8直线l的斜率不存在时，显然有X + X - 0 直线i的斜率存在时，设为k,截距为b即直线I: y=kx+b由已知得：y + y x + x2 x 2 + 2 x 2 X + X TOC o 1-5 h z 12 k -12 + b222 x 2-2 x 21X -XkX 2+X 2 k - nX + X12X + X22kn X2 + X2 - 1 + b 0 n b -1244即l的斜率存在时，不可能经过焦点F (0,1)8所以当且仅当X + X =0时，直线l经过抛物线的焦点F(

6、II)设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y 2X + b；过点A、B的直线方程可写为y - -1 X + m，所以x , X满足方程2 X 2 + 1 x-m - 0,得21 221;4A，B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式A - 4 + 8m 0,即m -32X012(X +X2-1, y -80- X + m 201+ m.16由N Gl ,得116+ m - +4b,于是b 5+ m165 16132_ _9_32设AB的中点N的坐标为(X0,y0)，则 TOC o 1-5 h z 即得1在y轴上截距的取值范围为(9).,+00 32法二：y =2x2, y =2x2,

7、相减得 1122V V1 = 2( x + x ) = 4x，即=4x ,X X122 HYPERLINK l bookmark17 o Current Document 121 1x =，y = - + b io 8 04中点在抛物线内必y 22得 0032例4.已知点A(x , y ) f B(x , y ) (x x尹0)是抛物线y2 = 2px(p0)上的两个112212动点，O是坐标原点，向量31,嘉满足爵+前=|亦 设圆C的方程为x2 + y2 - (x + 工)x - (y + y )y = 01212证明线段AB是圆c的直径；当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为匹时，

8、求P的值。5(1)证法一：*.* 0A + OB = OA-OB，(0A + 亦广=(0A -亦广，艮 P OA2 + lOAOB + 湖 2=亦 _ 20A.OB + OB ,整理得OA OB = 0 TOC o 1-5 h z xx + y y = 0.01 21 2设点M (x,y)是以线段AB为直径得圆上得任意一点，则- MB = 0.艮 P (x - x )(x - x )+(y-y)(y-y ) = 0. 1212展开上式并将带入碍X- + y- - (x + x )x-(y + y )y = 0. 1212故线段AB是圆C的直径.证法二：同法一得：xx + yy =0.1 21

9、2以AB为直径的圆的方程是x xy + y 1n(x )2 + (y 广=(x - x ) + (y y 广，224 L i 212展开，并将代入碍x2 + y-x + x )x-(y + y )y = 0. 1212所以线段AB是圆C的直径(2)解法1,2七+ y 22.x = 设圆C的圆心为c (x,y)则y =1122y 2 y 2. x x =121 24 p2又. xx+ y y=01 212y 2 y 2. x x =y y 一 y y 一l12121 24 p 2. x x 尹0， y y 尹 0， y y121212- x+ x1. x 12 (y+ y 2)24p2=4 p2

10、. y 2 = 2 px , y 2 = 2 px (p 0),(y 2 + y 2 + 2 yy ) 一 七* = (y2 + 2 p2)， 4 p 121 22 p p所以圆心的轨迹方程为：y 2 = px - 2 p 2.设圆心C到直线x - 2 y = 0的距离为d，则时，d有最小值马，由题设得M =小5552.解法二同法一得：圆心的轨迹方程为：y 2 = px - 2 p 2.设直线x - 2 y + m = 0与x - 2 y = 0的距离为跄5，则x - 2y + m = 0与y2 = px - 2p2仅有一个公共点时，1(y2 + 2 p2) - 2 y(y - p)2 + p

11、2x - 2 yp该点到x - 2y = 0的距离最小，最小值为 M，由 x 2 y 2 = 0,y2 = px 2 p2.消X得y 2 一 2 py + 2 p2 一 2 p = 0，由 A = 4 p 2 - 4(2 p 2 - 2 p) = 0.得 p = 2.(.p 0)解法三：设圆C的圆心为C (x, y)，若圆心C到直线x - 2 y = 0的距离为d，又.x1 x 2+ y1 y2 = 0，x x = - y y ，1212=4 p2.121(y 2 + y 2) (y + y )4 p 1212y 2 + y 2 + 2 y y 4 p (y + y ) + 8 p2121_212(y + y - 2p)2 + 4p2y1=2p时，d有最小值义，由题设得p 5【反馈练习】在D内，a的取值范围是-4 0）的焦点，并且与y轴垂直，若l被抛物线截得 的线段长为4,则a=14正 OAB的三个顶点均在抛物线12 = 2px（p 0）上,0为原点，则 OAB的面积等于12如3 p 2已知抛物线y2=8x上两个动点A、B及一个定点M（x0, y。），F是抛物线的焦点， 且| AF|、|MF|、|BF|成等差数列，线段AB的垂直平分线与x