定积分的概念课件

1、引 言 从历史上说,定积分的概念产生于计算平面上封闭曲线围成区域的面积.为了计算计算这类区域的面积，最后把问题归结为计算具有特定结构的和式的极限.人们在实践中逐渐认识到这种特定结构的和式的极限,不仅是计算区域面积的数学工具,而且也是计算其它许多实际问题(如变力作功、水的压力、立体体积等）的数学工具.因此,无论在理论上或实践中,定积分这种特定结构的和式的极限具有普遍意义.于是它成为数学分析的重要组成部分. 本章就从解决曲边梯形面积计算入手,给出定积分的概念,讨论定积分的性质和计算等问题.Chapt 8. 定积分背景来源面积的计算在初等几何中，我们只会计算由直线段和圆弧围成的平面区域的面积.长方形

2、 长宽 ab 正方形 边长边长 aa 平行四边形 底高 ah 三角形 底高2 ah2 梯形 （上底下底）高2 （ab）h2圆，扇形等 如何计算由任意形状的闭曲线所围成的平面区域的面积？这是一个一般的几何问题，这个问题只有用极限的方法才能得到圆满的解决. 一条封闭曲线围成的平面区域，常常可用相互垂直的两组平行线将它分成若干部分，总的说来，他们可以看作以下三类区域：(1)是矩形(已知的)，(2)是曲边三角形(曲边梯形的特殊情况)，(3)是曲边梯形。所以，只要会计算曲边梯形的面积就可以了.曲边梯形面积的计算问题就产生了定积分abxyo实例1: （求曲边梯形的面积）一、问题的提出8.1 定积分的概念图

3、形.我们如何求曲边梯形的面积A=？ 圆面积是用一系列边数无限增多的内接（或外切）正多边形面积的极限来定义的.在初等数学里， 现在我们仍用类似的办法来定义曲边梯形的面积. 这里我们借助矩形的面积来定义曲边梯形的面积。abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积 越接近曲边梯形面积（四个小矩形）（九个小矩形）基本思想(以直代曲)具体做法(如下)1.分割分法任意（化整为零）在区间a,b内任意插入(n-1)个分点,称为区间a,b的一个分法(分割)，记为T.分法T将区间a,b分成n个小区间，过每个分点作x轴的垂线，这些垂线与曲线f(x)相交，相应地把大曲边梯形分为 n

4、个小曲边梯形，其面积分别记为Ai ( i=1, 2, , n )把一个大曲边梯形分割成n个小曲边梯形 2.代替（化曲为直）在每个小区间 xi-1, xi 上任取一点i ，于是，以为底， 为高的小矩形面积 应为小曲边梯形面积的近似值，即取法任意用小矩形的面积替代相应小曲边梯形的面积，3.求和（积零为整）将n个矩形面积加起来，应该是大曲边梯形面积近似值.曲边梯形面积A的近似值为： 将a,b逐次分下去，使小区间的长越来越小，则不论 怎样选取，n个矩形面积之和应该越来越趋近于曲边梯形的面积.不难看到，在任何有限的过程中，n个矩形面积之和总是曲边梯形面积的近似值，只有在无限过程中，应用极限方法才能转化为

5、曲边梯形的面积.求n个小矩形面积之和.4.取极限（化直为曲）于是， 就相当于分割无限加细，让每个小区间的长度都无限趋近于零即n个小区间之长的最大者.如果当 时，n个矩形面积之和 存在极限，设则称A是曲边梯形面积.由此可见，曲边梯形面积A是一个特定结构和式的极限.这个定义给出了计算曲边梯形面积的方法.不过按此定义计算曲边梯形的面积，要进行复杂的运算.在后面一节中，将进一步讨论这个和式极限的计算方法.由近似值过渡到精确值 求曲边梯形的面积体现了化曲为直、化直为曲的辩证思想。这个计算过程，就是一个先微分后积分的过程。也就是说，把曲边梯形分割成许多小曲边梯形，在每个小曲边梯形中，把曲边看成直边，用这些

6、小“矩形”面积的和近似地表示原来大曲边梯形的面积，从而实现了局部的曲转化为局部的直，即“以直代曲”。 然后，再把分割无限加细，通过取极限，就使小矩形面积的和，转化为原来大曲边梯形的面积。这样局部的直又反过来转化为整体的曲。这种曲转化为直，直转化为曲，以及由此所反映出来的化整为零、积零为整的思想方法，是微积分乃至整个高等数学的一个重要方法。实例2: （求变速直线运动的路程）思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值以恒代变(1)分割部分路程值某时刻速度(3)求和(4)取极限路程的精确值(2)代替路

7、程的近似值从上面例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算物体运动的路程，尽管他们的实际意义完全不同，但从抽象的数量关系来看，他们的分析结构完全相同，它们都归结为对问题的某些量进行“分割、 近似 求和、 取极限”，或者说都归结为形如 的具有特定结构和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积分下一个定义： 二、定积分的定义定义: 设函数 f (x) 在 a, b 上有定义,在 a, b内任意插入(n-1)分点 使T = x0, x1, , xn = 1, 2, , n 将 a, b 分成 n个小区间i= xi-1, xi i=

8、1, 2, , n 这些分点构成a, b 的一个分法(分割)，记为T, x1, , xn-1 ,分法任意各小区间的长度依此记为xi= xi- xi-1 ,(i=1,2, ，n)在 上任取点i i , i=1, 2, , n ，作和称此和式为 f (x) 在 a, b 上的一个积分和，也称为黎曼（Riemann）和.(Rienann和)注：显然函数 f (x) 在 a, b 的积分和 与分法(割)T 有关，也与一组= (i i , i=1, , n )的取法有关.取法任意 记如果不论对a,b怎样的分法(分割)；也不论在小区间 上，点 怎样的取法，只要 时，积分和 存在确定的有限极限则称函数 f

9、(x) 在 a, b 上(黎曼)可积；数 I 称为 f 在 a, b 上的定积分. 亦称黎曼积分,记为且数与分法T无关，也与 在 的取法无关. 在定积分符号中，各部分的名称如下：(Rienann积分)注意：规定当 a= b 时, 规定当 a b 时, 函数f(x)在区间a,b的定积分的定义要求ab且ab,定积分没有意义，为了运算的需要，时必定同时有(3)一般不能用 因为 来代替 时未必有 但 唯一重要的是分割的细度 极限的存在， 与分割T的形式无关，与 的选择也无关； 当 足够小时， 总能使积分和与某一确定的数I无限接近.把定积分定义的 说法和函数极限的 说法相对照， 便会发现两者有相似的陈述

10、方式， 因此我们也常用极限符号来表达定积分， (4) 积分和的极限与函数的极限有很大的区别 积分和的极限与函数的极限之间其实有着很大的区别： 然而， 在函数极限 中，对每一个变量x来说， f(x)的值是唯一确定的；由于积分和与函数f(X),分法T, 取法有关。而对于积分和的极限而言，它不是分法T的函数，每一个 并不唯一对应积分和的一个值.它的要求条件很强，即必须是“任意分法”和“任意取法”下，各种各样的积分和都无限趋近于同一个有限常数，才能说定积分存在。这使得积分和的极限要比通常的函数极限复杂得多.与 的差别 是 的全体原函数 是函数 是一个和式的极限 是一个确定的常数 (5) 不定积分和定积

11、分是积分学中的两大基本问题.定积分则是某种特殊和式的极限，求不定积分是求导数的逆运算， 1.曲线 y = f (x) 0，直线 x = a， x = b， 所围成的曲边梯形面积可用定积分表示为根据定积分的定义，可以看出，前面所举的两个实例，都是定积分.2.物体运动的路程s是速度函数v(t)在时间间隔 的定积分，即 黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826-1866）19世纪富有创造性的德国数学家、物理学家。对数学分析和微分几何做出了重要贡献 。与区间及被积函数有关；B.与区间无关与被积函数有关 C.与积分变量用何字母表示有关；D.与被积函数的形式无关 在

12、 上连续，则定积分 的值4.(B)中，积分上限是 积分下限是 积分区间是 2.(A) 及x轴所围成的曲边梯形 的面积，用定积分表示为 与直线 由曲线(B)举例 2-2-2,20A3.定积分(A)三、函数可积的必要条件证明：（用反证法）假设函数f(x)在a,b无界对于a,b的任意分割T，必至少有一个小区间，不妨设在 函数f(x)无界.即积分和无界，从而，积分和不存在极限，这与函数f(x)在a,b可积矛盾.注： 函数f(x)在a,b有界仅是函数f(x)在a,b可积的必要条件，不是充分条件.即，有的函数虽然有界，但也不可积.例如：狄利克雷(Dirichlet )函数，X是0,1的有理函数X是0,1的

13、无理函数D(x)在0,1内有界，但它在0,1不可积.若能构造出两个不同方式的积分和，使它们的极限不相同，则该函数在所论区间上是不可积的.分析：证明： 对于0,1的任意分法T,因为在0,1的有理函数与无理函数是处处稠密的，所以，在每个小区间上既存在有理函数又存在无理函数. 若每个 取为无理函数，则积分和 若每个 取为无理函数，则积分和于是，当 时，积分和不存在极限，即D(x)在0,1不可积.D(x)在0,1不可积.1、当 f (x) 0，定积分的几何意义就是曲线 y = f (x)直线 x = a， x = b， y = 0 所围成的曲边梯形的面积bAoxyay=f (x)S四、定积分的几何意义

14、2、当函数 f (x) 0 ， xa, b 时定积分几何意义就是位于 x 轴下方的曲边梯形面积的相反数. 即oxyaby=f (x)S几何意义：ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值ab五、小结定积分的实质：特殊和式的极限定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限3.定积分的几何意义例 利用定义计算定积分解人物简介 黎曼（18261866） Riemann，Georg Friedrich Bernhard德国数学家，物理学家 。1826年9月17日生于汉诺威布列斯伦茨，1866年7月20日卒于意大利塞那斯加 。1846年入格丁根大学读神学与哲学，后来转学数学， 在大学期间有两年去柏林大学就读 ， 受到 C.G.J.雅可比和P.G.L.狄利克雷的影响。1849年回格丁根。1851 年获博士学位 。1854 年成为格丁根大学的讲师，1859年接替狄利克雷成为教授。 1851 年论证 了复变 函数 可导的 必要充分 条件（ 即柯西-黎曼方程） 。借助狄利克雷原理阐述了黎曼映射定理 ，成为函数的几何理论的基础。1853年定义了黎曼积分并研究了三角级数收