22.3特殊的平行四边形

1、矩形和菱形的判定傅雷中学 李鑫 矩形菱形定义性质判定有一个角是直角的平行四边形叫做矩形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形菱形的四条边都相等矩形的四个角都是直角矩形的两条对角线相等菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角从边上从角上从对角线上从对称性上从边上从角上从对角线上复习：矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形思考：1对于四边形ABCD，从它的角或边进行考察， 探究矩形判定定理1 写出命题“矩形的四个角都是直角”的逆命题逆命题： 个角都是直角的四边形是矩形四三求证：四边形ABCD为矩形四边形ABCD为矩形证明：在四边形ABCD中，A=B =C =

2、90，且A+B +C +D =360 D=90 ， A=C ，B =D，四边形ABCD为平行四边形 ，已知：在四边形ABCD中，A=B =C =90矩形的判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形符号语言：在四边形ABCD中，A=B =C =90四边形ABCD为矩形2在四边形ABCD是平行四边形的基础上，从它的对角线进行考察，探究矩形的判定定理2 思考：写出命题“矩形的两条对角线相等” 的逆命题逆命题：两条对角线相等的四边形是矩形平行四边形是矩形求证：四边形ABCD为矩形平行四边形ABCD为矩形证明：四边形ABCD是平行四边形， AD=BC， AC=BD，且AB=BA， DAB CBA DAB=

3、ABC AD BCDAB+ABC=180 DAB=90 已知：四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形符号语言：四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD 四边形ABCD为矩形写出命题“菱形的四条边都相等”的逆命题逆命题：四条边都相等的四边形是菱形求证：四边形ABCD为菱形证明：在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA， AB=CD、BC=AD，四边形ABCD为平行四边形 ，四边形ABCD为菱形已知：在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA思考：1对于四边形ABCD，从它的角或边进行考察， 探究菱形判定定理1 菱形的判定定理1 四条边都相等的四边形

4、是菱形符号语言：在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD四边形ABCD为菱形逆命题：对角线互相垂直的 每一条对角线都平分一组对角的四边形是菱形四边形是菱形；平行四边形是菱形；写出命题“菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角” 的逆命题求证：四边形ABCD为菱形平行四边形ABCD为菱形证明四边形ABCD是平行四边形，AO=CO， ACBDBD是AC的垂直平分线， AD=DC，已知：四边形ABCD是平行四边形，且ACBD，O为垂足O2在四边形ABCD是平行四边形的基础上，从它的对角线进行考察，探究矩形的判定定理2 思考：菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形符号语言：四边形

5、ABCD是平行四边形，且ACBD四边形ABCD为菱形O已知：1= 2, 3= 4, 5= 6, 7= 8 求证：四边形ABCD是菱形12345678证明： 1+2+ 3+4+5+ 6+7+8=360 且1= 2, 3= 4, 5= 6, 7= 8 2+ 3+5+ 7=180 2+ 3+5+ 4=180 4= 7 即3= 4= 7= 8 BAD= BCD同理可得ADC= ABC四边形ABCD是平行四边形（对角相等的四边形是平行四边形） 4= 7 AB=BC 平行四边形ABCD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）. 矩形菱形定义性质判定有一个角是直角的平行四边形叫做矩形有一组邻边相等的平行四

6、边形叫做菱形菱形的四条边都相等矩形的四个角都是直角矩形的两条对角线相等菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角从边上从角上从对角线上从对称性上从边上从角上从对角线上 归纳总结：有三个角是直角的四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形四条边都相等的四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形例题讲解：例题 已知：如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E、F、G、H分别在AO、BO、CO、DO上，且AE=BF=CG=DH求证：四边形EFGH是矩形 EO+OG=FO+OH，即EG=FH，四边形EFGH是矩形

7、（对角线相等的平行四边形是矩形）证明： 四边形ABCD是矩形， AC=BD（矩形的对角线相等）AO=BO=CO=DO （矩形的对角线互相平分）由AE=BF=CG=DH ，得OE=OF=OG=OH，四边形EFGH是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）变式1 已知：如图，EF是矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线，EF与边AD、BC分别交于点E、F求证：四边形AFCE是菱形又 EFAC四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形） 证明： 四边形ABCD是矩形， AE FC，得DAC= ACBEF垂直平分AC， AO=OC，AOE=COF=90 AOE COF，得EO=FO四边形AFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）小结： 通过将矩形、菱形的性质定理“逆”过来，通过对边、角、对角线三个要素进