人教版数学九年级上册24垂直于弦的直径导学案牛老师

1、24.1.2垂直于弦的直径路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。屈原离骚江南学校李友峰垂径定理及其推论一、新课导入.导入课题：圆是轴对称图形吗？这节课我们从圆的轴对称性出发探究圆的相关性质.(板书课题).学习目标：(1)能通过折纸探究圆的轴对称性，能证明圆是轴对称图形 .(2)能由圆的轴对称性推导垂径定理及其推论.(3)能利用垂径定理解决相应问题.学习重、难点：重点：圆的轴对称性、垂径定理及其推论.难点：利用垂径定理进行计算或证明.二、分层学习第二层次学习.自学指导：(1)自学内容：教材第81 “探究”一一圆的轴对称性.(2)自学时间：2分钟.(3)自学方法：完成探究提纲.(4)探究参考提纲：操作：

2、用纸剪一个圆形纸片，沿着圆的任意一条直径所在直线对折，重复几次.a.通过上面的折纸，圆是轴对称图形吗？有几条对称轴？是轴对称图形，有无数条对称轴.b. “圆的任意一条直径都是它的对称轴”这种说法对吗？若不对，应该怎 样说？不对，应该说圆的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴猜想：圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.证明：怎样证明圆是轴对称图形呢？a.要证圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线的对称 点也在圆上.b.怎样证明两点关于已知直线对称？两点的连线被已知直线垂直平分.c.如图，设CD是。的任意一条直径，A为。上异于点C,D的任意一点， 过A作AA LCD垂

3、足为M.交。O于点A,下面只需证明A是点A关于直线 CD的对称点. TOC o 1-5 h z 如图，连接OA,OA .c在4OAA 中，. OA=OA,，.OAA是等腰三角形.( y )又 AA CD,，.AM=M A.即CD是AA的垂直平分线.点A、A关于直径所在的直线对称即圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.自学：学生可结合探究提纲，相互研讨学习.助学：(1)师助生：明了学情：关注证明过程的逻辑性与规范性.差异指导：指导学生探究证明思路.(2)生助生：小组内相互交流、研讨.强化：(1)圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.(2)要证某图形是轴对称图形，只

4、需证明该图上任意一点关于对称轴的对称 点也在这个图形上.第二层次学习.自学指导：(1)自学内容：教材第82页例2之前的部分.(2)自学时间：8分钟.(3)自学方法：完成探究提纲.(4)探究参考提纲：垂径定理：小思瞑沿直径CD所在方统折叠战段AM与.4W重合.分别茴重合.因此= 花 =，行k即直径CD平分弦 4T ，并且平分，狂，平分 G_.b.归纳：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.垂径定理的推论：a.思考渚把条件“直径S_L弦4U于/改为“直湮。口平分弦4T于，则图形是否还是她对称图形。AA3IC与 JV UC相等吗二小二石与ADr证成立吗？试折纸胎证一下.琴卷都还晚立.b.反例

5、：当弦AA为直径时，结论还成立吗？为什么？不成立，因为任意两条直径都互相平分，但不一定垂直c.限定：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.自学：学生可结合自学导相互研讨学习.助学：(1)师助生：明了学情：了解学生由数学现象概括数学结论时出现的困. . TOC o 1-5 h z 惑和错误.，差异指导：依据学情进行个别指导或分类指导.(存I ,(2)生助生：小组内相互交流研讨、订正结论.1.J，.强化：(1)从图形、文字和式子三个方面对垂径定理及其推论进行解读.(2)垂径定理的条件：过圆心，垂直于弦；结论：平分弦，平分弦所对的两 条弧.(3)缥习：如图,45为。U的直径,CO

6、是弦，若于以那么有CE二DE tAC =AD tBD = 无 ；若CD交回于点号并且CE =小,那么有AB J. 8凝 =AR .BC=J .第三层次学习.自学指导：(1)自学内容教材第83页“练习”第1题.(2)自学时间：4分钟.(3)自学方法：完成探究提纲.(4)探究提纲：线段E满足垂径定理的题设条件：条件 1: AB是弦；条件2: O旦AB.依据垂径定理得,AE=12AB=BE.一一.- _ , / 一、” TOC o 1-5 h z 要求。的半径，只需连接 oa在RgAOE,卜、彳y由勾股定理，就可求得。O的半径为5.!，)给出你的解答过程：.1 -OE _L ?!月* 二 AE UE

7、.又二 AB - Stem, :* AE AR 4m.在 Ri A上加中，04 = VAE2 + 0 = U不寻= cid).自学：同学们可结合自学指导进自学.助学：1)师助生：明了学情：观察学生是否会构造直角三角形，书写过程是否规范.差异指导：从解题思路的探究、辅助线的添加和解题过程的书写等方面给 予指导.(2)生助生：生生互动交流、研讨、订正.强化：(1)常规辅助线：过圆心作弦的垂线段.(2)设圆的半径为r,弦长为a,圆心到弦的距离为(胃)了立d,则有 因此，在这三个量中已知其中两个量就可以求出第三个量(3)练习：如图，已知。O的半径为1,弦AB的长为错误！未找到引用源。 求圆心O到弦AB

8、的距离.解：如图，作OEL AB,垂足为E,则OE垂直平分AB.，毋但二；乂 口-寿在周皿 中磔= 廊/二号，即心口到藏3的肥鬲为今第四层次学习1.自学指导：(1)自学范围：教材第82页例2.(2)自学时间：6分钟.(3)自学方法：阅读、思考、总结、提高.(4)自学参考提纲：如图，用 源 表示主桥拱，她，碗的贵 就是等度，设“所在圆的圆心为内拉0点作CXJJ，垂足为明交还于点C,根据垂桂定理R是仙的 中点 是靠/至一分十一、日的中点，CD就是拱高.$、10连接在K1机犯中，由已知条件如初二k国5 ，设半程为 此则01) =火-7 23 ,由勾股定理:04重=的* +而,可列方程:解= 18,5

9、2比-7.23尸t再解这个方程就得到问题的 答案.自学：学生依据自学指导自主学习.助学：(1)师助生：明了学情：从解题思路的探究、辅助线的添加和解题过程的书写等方面了 解学生的学习情况.差异指导：根据学情合理指导.(2)生助生：小组内相互交流、研讨.强化：(1)强调常规辅助线和解题规范.(2)练习：如图是一条水平铺设的直径为2m的通水管道横截面，其水面宽为1.6m,则这条管道中的水最深为0.4m.三、评价.学生的自我评价(围绕三维目标)：在这节课的学习中你* “ )有哪些收获？还有何困惑？.教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生学习的态度、积极性、小组交流协作情况和存在 的问题等.(2)

10、纸笔评价：课堂评价检测.教师的自我评价(教学反思)：(1)这节课的教学从利用垂径定理来解决赵州桥桥拱半径问题开始，引入课题从实验入手，得到圆的轴对称卜进而推出垂径定理及推论.教学设计中，从具体、简单、特殊到抽象、复杂、一般，层层递进，有利于提高学生的数学思维 能力，同时，注意加强对学生的启发和引导，培养学生大胆猜想，小心求证的科 学研究素质.（2）本课时的教学方法是将垂径定理和勾股定理有机结合，将圆的问题转化 为直角三角形，常作的辅助线是半径或垂直于弦的直径. 评侨作亚. f（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（80分）.（10分）下列说法中正确的是（B）A.在同一个圆中最长的弦只有一

11、条B.垂直于弦的直径必平分弦C.平分弦的直径必垂直于弦D.圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴.（10分）如图，。的弦AB垂直于半径OC垂足为D,则 , 下列结论中错误的是（C） |（ /不、）A. /AOD=BOD B. AD=BDJ/ fiC. OD=DC.（10分）半径为5的。内有一点P,且OP=4则过点P的最长弦的长是 10,最短弦的长是6.（10分）如图，在。O中，AB AC为互相垂直且相等的两条弦， ODLAB于 D, O旦AC于E.求证：四边形ADO田正方形.证明：v ABAC OD!AB, OaAC.，,四边形ADOE1夕!形.!J又.OC直平分AB, OE垂直平分AC,A及

12、AC,“ 一. AE=错误！未找到引用源。AO错误！未找到引用源。AB= AD,四边形ADOE1正方形.5.（10分）如图，在半径为50mmi勺OO中，弦AB的长为50mm#:（1） /AOB勺度数；（2）点O到AB的距离.解：（1） v OA=OB=AB=50mm.AOBt等边三角形，AOB=60 .作OML AB,则/ AOM错误！未找到引用源。/AOB=30 .二在 Rt 月。V 中,AAf = 25mm. OM = JOA1 -AM2 =25 Gmm即点O到AB的距离为25错误！未找到引用源。mm.6.（10分）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果M是。O中

13、弦CD的中点，EM经过圆心O交。O于点E,并且CD=4m,EM=6m.求。的半径.解：连接OC. OMff分CD,OIM_CD且CM=MD=误！未找到引用源CD=2m.设半径为 r,在OCW, OC=r; OM=EM-OE=6-r,由勾股定理得OC2=cm2+Om2 r2=22+（6-r）2.解得r=错误！未找到引用源即。O的半径为错误!未找到引用源。m.工（10分）如图，一条公路的转弯处是一段园弧港.点9是这段弧的同心.45-300m.C是.5上一点，。CL4比垂足 为三45叫求这段弯路的半程.解:设半径为八丫 8，儿ADl50nt在刖U/JB中，源 +E02即。一45产f15Q2 =凡解得

14、= 27工5皿因此,这段弯路的半径为272 5n.8.（10分）如图，两个圆都以点 O为圆心.求证：AC=BD.证明：过O作OEL AB,垂足为E,连接OA,OC,OD,OB,WJ AE=BE CE=DE .AE-CE=BE-DE 即 AC=BD.二、综合应用（10分）9.（10 分）。的半径为 13cm, AB CD。的两条弦，AB/ CD AB=24cmCD=10cm求AB和CD之间的距离.解：分两种情况讨论.第一种情况：当AR CD在圆心O的同侧时.如图（1）,过点O作OWCD垂足为 M 交AB于点E. AB/ CD. , OELAB.二 HE = 12cm ,DM = -CD 二5cm

15、.22连接风皿则g片-5皿0收= 12cmf/. EMOM-OE7cm. 第二种情况：当AB CDft圆心O的异侧时， 如图（2）,同第一种情况可得 OE=5cm,OM=12gm .EM=OM+OE=17cm.即AB和CD之间的距离为7cm或17cm.三、拓展延伸（10分）10.（10分）如图，AB和CD分别是。O上的两条弦，圆心O到它们的垂线段 分别是OMf口 ON如果AB CD OMffi ON的大小有什么关系？为什么？解：OM： ON.理由如下：连接 OA OC.则 O上 OC. . ONL CD,OML AB,. CN=错误！未找到引用源。CD,A阵错误!未找到引用源。AB.又; ABCD,；CN AM,.CN2 AM2.在 RtAOCNJf口 RtAOAh/fr,