2022年《数学分析》第十七章多元函数微分学

1、第十七章多元函数微分学 1 6 时 xy, 1 可微性 4 时 一可微性与全微分：1 可 微 性 ： 由 一 元 函 数 引 入 .x 2y2亦 可 写 为x,y0,0时,0,0. 2全微分 : 例 1考查函数fx ,yxy在点x0,y 0处的可微性 . 1 P105 E1 二 .偏导数 :1.偏导数的定义、记法: 2.偏导数的几何意义: 1P109 图案 171.3.求偏导数 : 例 2 , 3 , 4 .1P142143 E2 , 3 , 4 . 例 5 设fx ,yx3y22,x2y20,x2y. 0,x2y20.证明函数fx,y在点0,0连续 , 并求xf0,0和yf0,0. 证x,y

2、 lim 0,0fx,yxcos,ysinlim 02cos3sin2lim 0cos3sin20f00,. fx,y在点0,0连续xf0,0lim x 0fx , 0 xf,00 lim x 0 xx3|0, |xyf0,0lim y 0f,0y yf0 0, lim y 0y2|不存在 . y|yEx1P116117 1, 2 4 . 三 .可微条件 :1. 必要条件 : Th 1 设 x 0 , y 0 为 函 数 f x , y 定 义 域 的 内 点 . f x , y 在 点 x 0 , y 0 可 微f x x 0 , y 0 和 f y x 0 , y 0 存在 , 且df x

3、 0 , y 0 df x 0 , y 0 f x x 0 , y 0 x f y x 0 , y 0 y . 证 由于 x dx , y dy ,微分记为 df x 0y 0 f x x 0 , y 0 dx f y x 0 , y 0 dy . 定理 1 给出了运算可微函数全微分的方法 . 两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分 . xy 2 22 2 , x y 0 ,例 6 考查函数 f x , y x y 在原点的可微性 . 1P110 E5 . 2 20 , x y 02. 充分条件 : Th 2 如函数 z f x , y 的偏导数在的某邻域内存在 , 且 xf 和 yf

4、在点 x 0 , y 0 处连续 . 就函数 f 在点 x 0 , y 0 可微 . 证 1 P111 Th 3 如 f y x , y 在 点 x 0 , y 0 处 连 续 , f x x , y 点 x 0 , y 0 存 在 ,就 函 数 f 在 点 x 0 , y 0 可微 . 证 f x 0 x , y 0 y f x 0 , y 0 f x 0 x , y 0 y f x 0 x , y 0 f x 0 x , y 0 f x 0 , y 0 f y x 0 x , y 0 y y f x x 0 , y 0 x x 0 1, 0f y x 0 , y 0 y f x x 0 ,

5、 y 0 x x 0f x x 0 , y 0 x f y x 0 , y 0 y x y . 即 f 在点 x 0 , y 0 可微 . 要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件 . 2 2 1 2 2 x y sin 2 2 , x y 0 ,例 7 设 f x , y x y2 20 , x y 0 .验证函数 f x , y 在点 0 , 0 可微 , 但 xf 和 yf 在点 0 , 0 处不连续 . 证 f x , y x 2y 2sinx 2 1y 2 0 , x , y 0 , 0 .因 此 f x , y ,即 f x , y f 0 , 0 0 x 0 y , f 在

6、点 0 , 0 可 微 , f x ,0 0 0 , f y ,0 0 0 . 但 x , y 0 , 0 时, 有1 x 1f x x , y 2 x sin 2 2 2 2 cos 2 2 , x y x y x y沿方向 y kx , lim x 0 2 x2 lim x 0 x2 不存在 , 沿方向 y kx , 极限x y | x | 1 klim x 0 2 x2 cos 2 12 不存在 ; 又 x , y 0 , 0 时, 2 x sin 2 12 0 , x y x y x y因此 , x , y lim 0 , 0 f x x , y 不存在 , xf 在点 0 , 0 处

7、不连续 .由 f 关于 x 和 y 对称 , yf 也在点 0 , 0 处不连续 . 四. 中值定理 : Th 4 设函数 f 在点 x 0 , y 0 的某邻域内存在偏导数 . 如 x , y 属于该邻域 , 就存在x 0 1 x x 0 和 y 0 2 y y 0 , 0 1 1 , 0 2 1 , 使得f x , y f x 0 , y 0 f x , y x x 0 f y x 0 , y y 0 . 证 例 8 设在区域 D 内 f x f y 0 . 证明在 D 内 f x c . 五 . 连续、偏导数存在及可微之间的关系：六. 可微性的几何意义与应用：1可微性的几何意义：切平面的

8、定义 . 1 P115. Th 5 曲面 z f x , y 在点 P x 0 , y 0 , f x 0 , y 0 存在不平行于 Z 轴的切平面的充要条件是函数 f x , y 在点 P 0 x 0 , y 0 可微 . 证略 2. 切平面的求法 : 设函数 f x , y 在点 P 0 x 0 , y 0 可微,就曲面 z f x , y 在点P x 0 , y 0 , f x 0 , y 0 处的切平面方程为 其中 z 0 f x 0 , y 0 z z 0 f x x 0 , y 0 x x 0 f y x 0 , y 0 y y 0 ,法线方向数为 f x x 0 , y 0 ,

9、f y x 0 , y 0 , 1,法线方程为 x x 0 y y 0 z z 0. f x x 0 , y 0 f y x 0 , y 0 1例 9 试 求 抛 物 面 z ax 2 by 2在 点 M x 0 , y 0 , z 0 处 的 切 平 面 方 程 和 法 线 方 程 . 1 P115 E6 3.作近似运算和误差估量: 与一元函数对比, 原理 . . 例 10 求1.083.96的近似值 . 1 P115 E7 例 11 应用公式S1absinC运算某三角形面积.现测得a12.50,b.8 30,C302如测量a ,b的误差为0 .01,C的误差为0.1 . 求用此公式运算该三

10、角形面积时的绝对误差限与相对误差限. 1 P116 E8 Ex1 P116117 514 ； 2 复合函数微分法（ 5 时 ）简介二元复合函数: zfx,y,xs ,t,ys ,t. 以以下三种情形介绍复合线路图: 参阅 4 P327328 . zfx ,y,xs ,t,ys ,t; ufx,y,z ,xs ,t,ys ,t, zs ,t; ufx,y,z ,xs ,t,z,ys ,t,z . . 一 .链导法就 : 以“ 外二内二” 型复合函数为例. Th 设 函 数xs,t,ys ,t在 点s ,tD可 微 , 函 数zfx,y在 点x,y s ,t,s ,t可微, 就复合函数zfs ,t

11、,s ,t在点s ,t可微 , 且zs , tzx ,yxs ,tzx,yys ,t, sxsyszs , tzx ,yxs ,tzx,yys ,t. 证 1 P155 txtyt称这一公式为链导公式. 该公式的形式可在复合线路图中用所谓“ 分线加,沿线乘”（或“ 并联加,串联乘”）来概括 . 对所谓“ 外三内二”、“ 外二内三”、“ 外一内二” 等复合情形,用“ 并联加,串联乘”的原就可写出相应的链导公式. 链导公式中内函数的可微性可减弱为存在偏导数. 但对外函数的可微性假设不能减弱如1 P156 的例 . 对外 m 元f u 1,u2,um, 内 n 元ukix 1,x 2,xnk1,2,

12、m , 有fm1fkuk,i1,2,n. x ikux i. 1 P157 E1 外 n 元内一元的复合函数为一元函数. 特称该复合函数的导数为全导数例 1 zlnu2v,uexy2,v2 xy. 求z 和 xz. y例 2 zu2vuv2, uxcosy,vxsiny. 求z 和 xz. y例 3 z2x2y3x2 y, 求z 和 xz. y例 4 设函数fu,v,w可微 . Fx ,y,z fx ,xy,xyz . 求F 、F 和F . 例 5 用链导公式运算以下一元函数的导数: 2 y x x ; y 1 x ln x . 1 P158 E4 sin x cos x例 6 设函数 u u

13、 x , y 可微 . 在极坐标变换 x r cos , y r sin 下 , 证明2 2 2 2u 12 u u u. 1 P157 E2 r r x y例 7 设函数 f u 可微 , z yf x 2y 2 . 求证2 z zy xy xz . x y二 . 复合函数的全微分 : 全微分和全微分形式不变性 .例 8 z e xy sin x y . 利用全微分形式不变性求 dz , 并由此导出 z 和 z. x y1 P160 E5 例 9三 .Ex1P160161 15. :公式 , 1P167 E1 高阶偏导数 : 1.高阶偏导数的定义、记法：zx e2 y,求二阶偏导数和y3z.

14、 x2例 10zarctgy. 求二阶偏导数 . 1 P167 E2 x2.关于混合偏导数:1P167170. 1P171 3.求含有抽象函数的二元函数的高阶偏导数fx,x. 求2z 和 22z. 例 11zxx0 . Laplace 方程 1 P171 E3 yy4. 验证或化简偏微分方程: 例 12lnx2y2. 证明2z+ 2zzx2y2例 13将方程xuyu0变为极坐标形式. arctgy. rx. ; yx解xrcos,yrsin.rx2y2,xrx2xy2x, ry, xy, yxryrr22uuruyuxuuruxxuryu, uxrxrr2yryyrrr2. 因此 , xuyu

15、xyux2uxyuy2ux2y2uuyxrrr2rrr2r2u方程化简为u0. txby将方程例 14 试确定 a 和 b , 利用线性变换sxay,2u42u32u0 xx2yy2usutaub化为2u0. st解uusutuu, u. xsxtxstysytyst2u=xuu2us+2ut x+2us+2ut= x2sts2xsttsxt2x=2u+22u+2u. s2stt2t y+2us+2ut= 2u=yuu2us+2uxysts2ysttsyt2y=a2u+ab 2u+b2u. s2stt22 2 2 2y u2 =y a us b ut a 2s u2 + 2 abs ut +

16、b 2t u2 . 2 2 2因此 , u2 4 u 3 u2x x y y2 2 21 4 a 3 a 2 s u2 + 2 4 a 4 b 6 ab s ut + 1 4 b 3 b 2 t u2 . 令 1 4 a 3 a 20 , 1 4 b 3 b 20 , a 1, b 1 或 a 1 b 13 3或 , 此时方程x 2 u2 4x 2 uy 3y 2 u2 0 化简为s 2ut 0 . Ex 1P183 1,2 . 3 方向导数和梯度（ 3 时 ）一方向导数：1方向导数的定义：定义 设三元函数 f 在点 P 0 x 0 , y 0 , z 0 的某邻域 P 0 R 内有定义 .l

17、 为从点 3P 动身的射线 . P x , y , z 为 l 上且含于 P 0 内的任一点 ,以 表示 P 与 P 两点间的距离 .如极限f P f P 0 l flim lim0 0存 在 , 就 称 此 极 限 为 函 数 f 在 点 P 沿 方 向 l 的 方 向 导 数 , 记 为 fP 0 或 fl P 0 、lf l x 0 , y 0 , z 0 . 对二元函数 z f x , y 在点 P 0 x 0 , y 0 , 可仿此定义方向导数 . 易见 , f 、f和 f 是三元函数 f 在点 P 分别沿 X 轴正向、 Y 轴正向和 Z 轴x y z正向的方向导数 . 例 1 f

18、x , y , z = x y 2z 3. 求 f 在点 P 0 1 , 1 , 1 处沿 l 方向的方向导数 ,其中 l 为方向 2 , 2 , 1 ; l 为从点 1 , 1 , 1 到点 2 , 2 , 1 的方向 . 解 l 为方向的射线为 x 1 y 1 z 1 令t 0 . 即2 2 1x 2 t 1 , y 2 t 1 , z t 1 , t 0 . f P 0 f 1 , 1 1, 3 , 2 3 3 2f P f 2 t 1 , 2 t 1 , t 1 2 t 1 2 t 1 t 1 t 7 t t 3 x 1 2 y 1 2 z 1 2 2 t 2 2 t 2 t 2 3

19、t . 因此 , fl P 0 lim0 f P f P 0 t lim0 t 3 73 tt 2 t 13 . 从点 1 , 1 , 1 到点 2 , 2 , 1 的方向 l 的方向数为 1 , 3 , 0 , l 方向的射线为 x t 1 , y 3 t 1 , z 1 , t 0 . 2f P f t 1 , 3 t 1 , 1 9 t 5 t 3 , f P 0 f 1 , 1 1, 3 ; 2 2 2 2 2 x 1 y 1 z 1 t 3 t 10 t . 2因此 , fl P 0 lim0 f P f P 0 t lim0 9 t10 t 5 t 510 .2. 方向导数的运算

20、: Th 如函数 f 在点 P 0 x 0 , y 0 , z 0 可微 , 就 f 在点 P 处沿任一方向 l 的方向导数都存在 , 且 f l P 0 f x P 0 cos + f y P 0 cos + f z P 0 cos , 其中 cos、 cos 和 cos 为 l 的方向余弦 . 证 1P163 对二元函数 f x , y , fl P 0 f x P 0 cos + f y P 0 cos , 其中 和 是 l 的方向角 . 注：由flP 0f xP 0cos+f yP 0cos+f z0Pcos= f x P 0 , f y P 0 , f z P 0 cos , cos

21、 , cos , 可见 , f l 0P 为向量 f x P 0 , f y P 0 , f z 0P 在方向 l 上的投影 . 例 2 上述例 1 解 l 的方向余弦为 cos =2 2 22 21 2 23 , cos = 23 , cos = 13 . 2f x P 0 =1 , f y P 0 = 2 y y 1 2 , f z P 0 = 3 z z 1 3 . 因此 , f= f x P 0 cos + f y P 0 cos + f z P 0 cos = 22 2 3 1 1. l 3 3 3 3 l 的方向余弦为cos = 2 1 2 22 11 21 1 2 110 , c

22、os = 310 , cos = 0 . 因此 , f= 1 12 3 5. l 10 10 10可微是方向导数存在的充分条件 , 但不必要 . 例 3 1P164 E2 . 二 . 梯度 陡度 : 1. 梯度的定义 : gradf f x P 0 , f y P 0 , f z P 0 . 2 2 2| gradf | = f x P 0 f y P 0 f z P 0 . 易见 , 对可微函数 f , 方向导数是梯度在该方向上的投影 . 2. 梯度的几何意义 : 对可微函数 , 梯度方向是函数变化最快的方向 . 这是由于f l P 0 gradf l | gradf P 0 | cos .

23、 其中 是 l 与 gradf P 0 夹角 . 可见 0 时 f l P 0 取最大值 , 在 l 的反方向取最小值 . 3. 梯度的运算 : grad u c grad u . grad u + v = grad u + grad v . grad u v = u grad v +v grad u. v ugradv vgradu grad 2 . u u grad f u = f u gradu . 证 u vx uv xu 2 u x v , u vy uv yu 2 u y v. grad v 12 uv x u x v , uv y u y v u u12 uv x , u v y

24、 u x v , u y v u1 ugradv vgradu2 u v x , v y v u x , u y 2 . u uEx 1P165 1,2 ,3 ,6 . 4 Taylor 公式和极值问题（ 4 时 ）一中值定理：凸区域 . 2Th 1 设二元函数 f 在凸区域 D R 上连续 , 在 D 的全部内点处可微 . 就对 D 内任意两点P a , b , Q a h , b k int D , 存在 0 1 , 使f a h , b k f a , b f x a h , b k h f a h , b k k . 证 令 t f a th , b tk , . 在闭凸区域上的情形

25、: 1P173174. 推论 如函数 f 在区域 D 上存在偏导数 , 且 xf yf 0 , 就 f 是 D 上的常值函数 . 二 . Taylor 公式 :Th 2 Taylor 公式 如函数 f 在点 P 0 x 0 , y 0 的某邻域 0P 内有直到 n 1 阶连续偏导数, 就对 P 0 内任一点 x 0 h , y 0 k ,存在相应的 0 , 1 , 使f x 0 h , y 0 k n i n 11 1h k f x 0 , y 0 h k f x 0 h , y 0 k .i 0 i . x y n 1 . x y证 1 P175 y例 1 求函数 f x , y x 在点 1 , 4 的 Taylor 公式 到二阶为止 . 并用它运算3 . 96 1 . 08 . 1 P175176 E4 . 三 . 极值问题 :1. 极值的定义 : 留意只在内点定义极值 . 例2 1P176 E5 Ex 1P183 5, 6,7 . 2极值的必要条件：与一元函数比较 . Th 3 设 P 为函数 f P 的极值点 . 就当 f x P 0 和存在时 ,有 f x P 0 = f y P 0 0 . 证 函数的驻点、不行导点, 函数的可疑点 . 3. 极值的充分条件 : 2 2代数预备 : 给出二元 实 二次型 g x , y ax 2 bxy cy . 其矩阵为a