二元函数的极值及其应用解读

1、郑州航空工业管理学院毕业论文（设计）2015届数学与应用数学专业1111061班级题目二元函数的极值及其应用姓名XXX学号XXXXXXX指导教师XXX职称XXX二O五年四月三十日内容摘要二元函数理论是其他学科的基础，其中极值是函数中的重要内容，对极值也有很多研究方法，并且函数极值的理论有很多在生活中都有实际意义。无论是在科学研究，还是在物流，实际规划工程，通常要解决如何使投资量输出最大，产出最多，最高效率优化。这些实际问题都可以转化为一个数学问题来研究，进而转化为函数的极大值、极小值问题的解决。在本文中，首先给出的是二元函数的研究背景及现实意义，之后给出二元函数的非条件极值理论，二元函数条件极

2、值理论，二元函数极值的判定，以及二元函数极值的理论应用举例。通过实例中的极值问题，说明所利用知识在求解二元函数极值问题中的重要应用。关键词二元函数；无条件极值；条件极值；判定；应用theExtremeValueofBinaryFunctionandItsApplicationXXXXXXBy:XXXXTutor:XXXXXAbstractDualfunctiontheoryisthefoundationofotherdisciplines,includingextremevalueisanimportantcontentinfunction,theextremevaluealsohasalot

3、ofresearchmethods,andthefunctionextremevaluetheoryhasalotinlifehaspracticalsignificance.Bothinscientificresearch,andinthelogistics,theactualplanningengineering,oftenneedtosolvehowtomaketheinvestmenttomaximumoutput,outputthemost,thehighestefficiencyoptimization.Theactualproblemcanbetransformedintoama

4、thproblemresearchcapabilities,Andthenintothefunctionofthemaximumandminimumvalueproblemtosolve.Isfirstofall,thepaperproposestheresearchbackgroundandpracticalsignificanceofbinaryfunction,thengivetheunconditionalextremevalueofbinaryfunctiontheory,theconditionsofbinaryfunctionextremevaluetheory,extremev

5、alueofbinaryfunctiondetermination,aswellastheextremevalueofbinaryfunctiontheoryapplication,forexample.Illustratedbyanexampleofextremevalueproblem,usingtheknowledgeinsolvingtheimportantapplicationofbinaryfunctionextremumproblems.KeywordsDualfunction；unconditionalextremum；conditionalextremevalue,；judg

6、ement；application目录TOC o 1-5 h z第一章引言1 HYPERLINK l bookmark8 o Current Document 第二章二元函数无条件极值理论2 HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 二元函数无条件极值的定义2 HYPERLINK l bookmark24 o Current Document 二元函数无条件极值存在的必要条件2 HYPERLINK l bookmark34 o Current Document 二元函数无条件极值存在的充分条件3 HYPERLINK l bookmark46 o Cur

7、rent Document 2.4二元函数极值的求解方法4第三章二元函数条件极值理论63.1二元函数条件极值的定义6二元函数条件极值的求解方法6第四章二元函数极值的判定134.1一阶偏导数判定极值13二元函数条件极值的简单判别法14 HYPERLINK l bookmark132 o Current Document 4.3极值判定的改进17第五章二元函数极值的理论应用举例195.1二元函数极值的理论应用195.2极值的实际应用21总结24致谢25参考文献26 第一章引言极值是函数的一个重要特征，而且在解决实际问题中是非常有现实意义的。为了获得生活或经济中的最佳方案，也常常通过用函数极值来解决

8、我们需要解决的问题。函数极值在数学研究中占重要地位，而且应用性非常广泛。无论是在科学研究，还是实际工程，经济管理中，都存在最优化问题，将这些经济和生活问题转化为函数问题具有现实意义。为了使我们所学到的函数极值理论更好的应用在实际生活中，就需要我们更加系统的总结有关函数极值理论知识。通过这些问题的解决，函数极值会为我们的生活提供最合理的解决方案，所以极值理论在我们的现实生活中是不可或缺的，也是很具有现实意义的。函数是很多学科的基础，也有很多人对函数极值进行了更深层次的探究，并且学术性论文中都发表了不少独到见解关于函数极值问题，并不断地对其存在的缺陷进行改进，同时在后来的时间里对此问题进行了更透彻

9、的分析和补充。通过本文，我们将更透彻的全面的了解二元函数极值的理论与实际意义。第二章二元函数的无条件极值理论二元函数无条件极值的定义定义一，设函数f在P(X,y)的某个邻域U(P)内有定义，若该邻域0000内的任一点P(x,y)eU(P)，成立不等式f(P)f(P)(或f(P)f(0,0)=0然而y=一x上的点有f(x,-x)=-x20时，f(x,y)在(x,y)处取得极值，同时当A0时00取极小值，A0时取得极大值。当ACB20，又A0，所以函数在(1,0)处有极小值f(1,0)=5；在点(1,2)处，AC-B2二12x(-6)0，所以f(1,2)不是极值；在点(-3,0)处，AC-B2二(

10、-12)x60，又A0，所以函数在(-3,2)处有极大值f(-3,2)=31。二元函数极值的求解方法首先求偏导数f(x,y)=0，f(x,y)=0，A=f(x,y)，B=f(x,y)，xyxxxyC=f(x,y)；yy其次求解方程组Jfx(x,y)=0，求出驻点；If(x,y)=0y求出不可导点；(4)分别求出在驻点和不可导点处A,B,C的值，然后判断A=AC-B2的符号，以及A的符号，据此判断极值点的存在;(5)根据定理2的结论可以知道f(x,y)是否能取极值，是取极小00值还是取极大值。例2.4.1求一兀函数f(x,y)=x4+y42x22y2+4xy的极值。解：解方程组fx=4x3一4x

11、+4y=0解得驻点If=4y3-4y+4x=0yfx=0 x=V2fx=-V2Iy1=0y=-迈Iy=Q1v2v3判定驻点是否为极值点：A=f=12x2-4，B=f=4，C=f=12y2-4。xxxyyy在点(0,0)处，A=-4,B=4,C=-4，且AC2=0，无法判断是否为极值点。但是由于在直线y=x上，f(x,y)=2x4在x=0取极小值；而在直线y=-x上，f(x,-x)=2x4-8x2在x=0取极大值，所以点(o,o)不是函数f(x,y)的极值点。在点(-0,B=4,C=20,AC-B2=3840，故得出f(-巨)=-8是f(x,y)的极小值。在点(2迈)处，由于A=200,B=4,

12、C=20,AC-B2=3840，故得出f(-Q,J2)=-8是f(x,y)的极小值。 第三章二元函数条件极值理论二元函数条件极值的定义以上我们所定义的无条件极值，除了其极值点的搜索范围目标函数的定义域外，没有其他条件的限制。但是，在实际生活问题中，我们还会碰到另一类极值问题，它会受到一些约束条件的限制，因此条件极值就是求解带有约束条件的极值问题。例如，要设计一个容量V的矩形孔水箱，那么当水箱的长、宽、髙各等于多少时，其表面积最小？设水箱的长度为X、宽度为y、髙度分别为z，因此表面积为S(x,y,z)=2(xz+yz)+xy-根据题意知，上述表面积函数的自变量不仅要符合定义域的要求，而且还需要满

13、足条件xyz=V.所需要解决的这种带有约束条件的极值，就是条件极值。二元函数条件极值的求解方法1.代入消元法“代入消元法”是二元函数的一种常用方法。实际是通过消元法将条件极值转化为无条件极值。方法如下：由约束方程申(x,y)=0解得x=9-i(y)或y=p(x)，之后代入一兀函数z=f(x,y)，转化为一兀函数z=f(y)或z=f(x)例3.2.1求函数f(x,y)=x2+2y2在圆周上x2+y2=1上的最大值和最小值。解：将y2=1-x2代入函数f(x,y)=x2+2y2可得：f=2一x2。在-1x1上，比较函数在驻点x=0以及区间端点x=-1,x=1的函数值，可知函数在x=0处取得最大值，

14、在x=1处取得最小值。拉格朗日乘法求z=f(x,y)在约束条件下申(x,y)=0下的极值的拉格朗日乘数法：构造拉格朗日函数：L(x,y,九)=f(x,y)+冷(x,y)，其中九为待定系数,称为拉格朗日乘数，把条件极值问题转化为三元函数F(x,y,九)的无条件极值问题。由极值存在的必要条件，令L=f+九甲=0 xxxL=f+九甲=0yyy、厶严(x,y)=0解此联立方程组，得出可能的极值点(x,y)。由实际问题来确定这样的点(x,y)是否是极值点，然后计算出要求的极值。由于拉格朗日乘数法，引入了新的函数，增加了变量九，从而使问题简化，解题变得更加简单。同样例1也可以用此方法来解答。解法如下：首先

15、与出拉格朗日函数L(x,y,九)=x2+2y2+k(1x2y2)。有：令咯=2x-2xX=0,亶=4y-2yX=2x-2x九=0,4y-2yX=0,1-x2-y2=0.解得可能的极值点(0,1),(1,0)，即Ix0或Ix土1，并且f(0,1)二2,f(1,0)二1，通过比较知，f在圆周Iy=1Iy=0 x2+y2=1上的最大值是f(0,1)二2,最小值是f(1,0)二1。拉格朗日乘法与一元函数判定的综合应用法此方法综合了两种求条件极值的方法，使得求二元函数条件极值的应用更加广泛。具体步骤如下：构造拉格朗日函数：L(x,y,九)=f(x,y)+九申(x,y)L=f+九Q=0由极值存在的必要条件

16、，令|lx二f+九/二0解此联立方程组，得yyyLa二Q(x,y)二0J入到几组解(x,y,九),(x,y,九)(x,y,九)，并且(x,y),(x,y)(x,y)1122nn1122nn都是z二f(x,y)在约束条件下q(x,y)二0下的驻点。由|；=/:得出|f匚第nfx-fyQx=0yyyyyy4)于是f(x,y)+f(x,y)y=0而F=f(x,y)+f(x,y)yxyxxxyx因此(x,y),(x,y)(x,y)都是z=f(x,y)在约束条件下q(x,y)=01122nn下的驻点，即：zyx=f(x,y)+f(x,y)yx.y.x=x.xy=儿=0，(i=1,2n)。x=xixy=y

17、i判别(x,y)(九=1,2n)是否是极值点，设z=f(x,y)有连续的一阶,ii二阶偏导数，y对x的一阶，二阶导数存在。z=f+fy+(f+f)y+fy=f+2fy+f(y)2+fyxxxxxyxyxyyxyxxxxxyxyyxyxx由一元函数极值的第二判别法知：当zx=x.0时，z二f(x,y)在约束条件下申(X,y)二0下有极小值,xxy=y.且极小值为zx=X.=f(X,y)Oxxy=y.ii例3.2.2已知当x2+y2=4，求z=f(x,y)=2xy的极值。解：构造拉格朗日函数：L(x,y,九)=2xy+九(x2+y24)解方程组L=f+XpxxxL=f+Xpyyy=2y+2Xx=0

18、=2x+2Xy=0，L=p(x,y)=x2+y24=0X消去九得到几组驻点有x=J2x=J2x=J2、y=V2y=V?y=-V2=0，且根据f=2y,f=0,f=2,f=2x,fxxxxyyyypyxxy3将此代入z=f+fy+(f+f)y+fy=f+2fy+f(y)2+fy可得xxxxxyxyxyyxyxxxxxyxyyxyxxx1zxx=(2+)yy2因此，在x=f或x二迈一处取得极小值，并且极小值为4；在x込y=迈y=-U2y=迈或|x=2处取得极大值，为4。y=724.换元法换元法也是二元函数求条件极值的一种常用方法。对于约束条件是圆，椭圆等圆锥曲线的约束条件，可用此方法来求解条件极值

19、问题即引入第三变量t,将x,y转化为此变量t,代入原二元函数，使其转化为一元函数，然后进行求解。例3.2.3已知实数x,y满足#+y2二1，求函数f(x,y)二2x2+4xy+2y2+2x+2y的最大值。解：设x二cost,y二sint,通过换元法将x,y代入函数f(x,y)得到关于t的函数f(t)二2cos2t+4costsint+2sin21+2cost+2sint=2(cost+sint)2+2(cost+sint)，由于cost+sint=2sin(t+)724所以f(t)0，解得Z2-4Z+20。由此解出1-迈Z1+迈，则上的最大值为1+迈，最小值为1-迈。x利用不等式求条件极值不等

20、式包括重要的不等式，柯西不等式，三角函数的有界性，这些不等式在函数的极值问题中起着重要作用。例3.2.5设四边形的四边长一定，分别为a,b,c,d，问何时面积最大。解：设四边形的一组对角为a,B，面积为s，则四边形的面积为s=adsina+bcsinP，且a2+d22adcosa二b2+c22bccosp，从而F(a,P,九)=adsina+bcsinP+九(a2+d2一2adcosab2一c2+2bccosP)，解方程组F=adcosa+2ad九sina=0a20,y0时，有基本不等式x2+y22xy或x+y2X；xy成立。利用它可以证明：若两正数x,y的和一定，则当x=y时，则积xy取最大

21、值气M；若两正数x,y的积一定，则当x=y时，则x+y取最小值2話xy。例3.2.6当x0,y0时，求x+y满足logx+logy=2的最小值。所以xy=4根据不等式x+y2后=4，因此x+y得最小值为4。例3.2.7当x0,y0时，满足x2+y2=2，求Z=xp1+得最大值,并求达到最大值的x,y。解：由于Z7石2=紅2(1+y2)，且x2,1+y2为整数，利用基本不等式，求Z二xjT+y?满足约束条件X2+y2=2的条件极值。Z=xi不272(1+y2)x2+(1+y2)=3，因此满足约束条件Z二xp!不2的最大值为3。2由于取最大值时有X2=1+y2，则可得出方程组厂X2二1+y2X2+

22、y2二2x=2逅yP综上：当丿x=2迈yP时，Z=xV1+y2取得最大值为2。第四章二元函数极值的新判别方法我们在判定二元函数极值时，通常所用的方法是求二阶偏导数。但是利用此方法，计算较复杂，在某些条件的运用失效等。那么此方法中所存在的不足，就需要我们去探讨新的方法去改进，弥补不足之处，从而使二元函数极值的判定更方便，简捷，有效。一阶偏导数判定极值利用一阶偏导数可以弥补我们通用方法的两方面的不足，一是不用计算二阶偏导数；二是当=AC_B2不能判定极值是否存在时，此方法依然适用，解决极值的判定。具体方法如下：设二元函数z二f(x,y)在点Po处的8邻域内有连续偏导数，且(x,y)是邻域内一点，此

23、邻域为U(P,8)二(x,y)0*x)2+(yy)28，则有弓入00函数p(t)二f(x+1(xx),y+1(yy),(0t1)，有0000P(0)二f(x,y),P(1)二f(x,y)，00且在闭区间0,1上连续，在开区间(0,1)内可导，应用拉格朗日中值定理可得，存在一点g且(0g1)，使等式p(11_；(0)訓(g)成立，即为等式:f(x,y)-f(x0,y0)=(x_x0)fx(x1,y1)+(y_y0)fy(x1,其中x=x+g(x-x)，y=y+g(y-y)。100100又由于有0；1，因此有如下：-y0 x匕+(yy)28，00即(x,y)属于8邻域。又由于x-x二丄(x-x)，

24、y-y二丄(y-y)，则代入110g100g10下式f(x，y)-f(x0,y0)=(x_x0)fx(x1，y1)+(y_y0)fy(x1，y1)可得到:f(x,y)-f(x,y)=-(x-x)f(x,y)+(y-y)f(x,y)，00g10 x1110y11若对任意(x,y)属于5邻域有(x-x)f(x,y)+(y-y)f(x,y)0，则有0 x0yf(x,y)-f(x,y)0即可得f(x,y)0时，有f(x,y)-f(x,y)0，即可得f(x,y)f(x,y)，由(x,y)的任意性可0000得f(x,y)在f(x,y)处取得严格极小值。00例4.1.1设f=x2+y2，求此函数的极值。解：

25、解方程组卩x二2x二0，得到驻点(x,y)二(0,0)，则通过以上方法If二2y二0y可得到：对于任意(x,y)丰(0,0)有xf(x,y)+yf(x,y)=2x2+2y20，由以上解xy法结论可以知道f(x,y)f(0,0)，因此f(x,y)在f(0,0)处取得严格极小值。通过此例题我们可以看出，用此方法判定极值避免了计算三个二阶偏导数，而且在A=AC-B2无效时，我们也很轻松地判定了在驻点处的极值问题。二元函数条件极值的简单判别法对于二元函数求条件极值，如果我们能根据约束函数求解出隐函数g(x)，在将隐函数代入二元函数，便可将二元函数转化为一元函数求极值。但是在解决隐函数时不一定用解析式能

26、表达出来，这样求解起极值就变得麻烦起来，因此我们给出以下更简便的方法来判定条件极值。设二元函数f(x,y),申(x,y)具备以下条件:函数(x,y,九)二f(x,y)+九申(x,y)的一个稳定点的坐标为x,y,九；000所有二阶偏导数在点P(x,y)的某邻域连续；00P(x,y)主0。y00设A=f(x,y)，B二f(x,y)，C二f(x,y)，令g(x)是Q(x,y)二0在点P某xxxyyy邻域确定的隐函数，则设G=A+2Bg(x)+Cg2(x)+f(x,y)g”(x)，其中00y000有g(xo)=00QQ2-2QQQ+QQ2g(x)=x-xyyyx(x,y)。0Q300y当G0时，二元函

27、数f(x,y)在条件q(x,y)=0下在点P(x,y)取极小00值。当G0时，F(x)0，由于一元函数在充分条件下可判定F(x)0在xx处取极小值，则二元函数f(x,y)在条件p(x,y)-0下在点P(x,y)0判定F(x)在x=x处取极小大值，则二兀函数f(x,y)在条件甲(x,y)二0下在0点P(x,y)取极大值。00例4.2.2设函数f=x2+y2在约束条件x+y-1二0下的极值。000取极小值；同理当G0时，F(x)0,因此,y二元函数f(x,y)在条件申(x,y)二0下在点P(x,y)取极小值，且极小值为00(11)1(22丿24.3极值判定的改进通常我们在用=AC-B2判定极值时，

28、其中两个混合偏导数是相等的，而我们对此方法的改进就是不再要求两个混合偏导数相等，能在更弱的条件下进行使用。xx设函数f(x,y)在点P(x,y)的邻域内一阶偏导可微，A=f(x,y)，00B=fy(xy)+fyx(xy)，C二f(x,y)，则yy1)A=AC-B20时没有极值点;2)A=AC-B20时，有极值点，若A0或C0，在极值点处取极大值；若A0时，在极值点处取极小值;A=AC-B2二0，还要进一步讨论是否存在极值。证明p在某圆形领域内，对于自变量给予改变量a,p，且不全为零。0函数p(t)二f(x+ta,y+1p),te(-1,1)，有如下结论，f(x,y)在点P处是极大000值或极小

29、值点的充要条件为对于任意一组不全为零的改变量，一元函数p(t)二f(x+ta,y+1p),te(-1,1)在t=0处取得极大或极小值。并且：00P(t)=f(x+ta,y+1P)a+f(x+ta,y+1P)P，TOC o 1-5 h zx00y00从而有：p(0)=f(x,y)a+f(x+y)P=0，再求二阶偏导得：x00y00p(t)=f(x+ta,y+tp)a2+f(x+ta,y+tp)+f(x+ta,y+tp)+f(x+ta,y+tp)p2xx00 xy00 xy00 xy00因此，卩(0)二Aa2+2Bap+Cp2。根据二次型理论知：1)当&二AC-B20时，二次型Aa2+2Bap+C

30、p2=(ap)AB、a0时正定，p(0)二Aa2+2Bap+Cp20，则此时p(t)二f(x+ta,y+1p),te(-1,1)在t=0处取得极小值。同理，当A000时取得极大值。2)当A二AC-B20，也有p(0)二Aa2+2Bap+邙20),在此曲线段上求出一个使法a2b2线与原点距离最大的点。解：曲线上点(x,y)的法向量为N=Cb2x,a2y)，切向量为T=C2y,b2x)；原点到法线的距离d=凹=T方2)创。于是解决极值问题T|pb4x2+a4y2使三+兰=1(x,y0)。将问题转化为a2b2min(+)，使bx20。令L=a4x+4b2y+22(b22+ay),x2y2贝U由L=一

31、+2b2x=0，L=+2a2y=0解出y=xy3由此得所求点为离为d=(ab)；a3b3。，现将此点带入d肿=3-b2励中求出最大距|Tb4x2+a4y22)极值在最小二乘法中的应用在大学教材中，最小二乘法通常适用于二元函数极值为例，在求解最小二乘法时，有总偏差最小，并且S(a,b)=(y-ax-b)2取得最小iii=1S=2工(ax+b-y)x=0值，由二元函数取极值的必要条件可以得出：TOC o 1-5 h zaiiii=i，S，=2工(ax+b-y)=0biii=1整理关于a,b得到方程组得Ja昱x2+b艺x=昱xyi=ii=iU由此可知运用二元函数a昱x+10b=Xyiii=1i=1求

32、极值的必要条件，便可进行求解。下面我们运用例题来分析：例5.1.2某企业的业务收入与广告费支出具有相关关系，该企业1998-2008年的业务收入和广告费支出的资料如下表所示：(万元)年份9899200001020304050607广告支出47912141720222527业务收入7121720232629323540利用表中数据，建立业务收入y依赖于广告费x的经验公式。解：通过建立坐标系，将数据在坐标系中标出，观察可知成散点图，图形成直线趋势，以此可建立线性方程的经验公式。设业务收入y依赖于广告费用x的经验公式为y=ax+b，a,b待定。为此计算标准方程组，即aXx2+bXx=Xxyiiiii

33、=1i=1i=1aXx+10b=iX10yii=1i=1其中的有关系数如下表，解此将表中数据代入方程组得J3013a+157b=45081157a+10b=241i12345678910Exi47912141720222527157yi7121720232629323540241x2i1649911441962894004846257293013xyii288415324032244258070487510804508a昱x2+bEx=昱xyiiiii=1i=1i=1a昱x+10b=Syiii=1i=1方程组得a=1.3214742,b=3.3528553，得到线性关系为y=1,321a+3.

34、35。5.2极值的实际应用1)在我们的生活中，常常会碰到要买两种商品，但是由于钱数固定，又要想买到令人满意的组合，这就涉及到了要如何分配定量的钱的问题，也就是为使分配方案达到最佳，从而求最值的问题。例5.2.1设小孙有200元钱，他决定来购买两种商品：电脑磁盘还有磁带，他要买电脑磁盘x张，买磁带y盒，现在我们设效用函数为U(x,y)=Inx+lny。现定价每张电脑磁盘8元，每盒磁带10元，为了达到最满意的效果，问他应该如何支配这200元钱？解：这是一个求附有约束条件的极值问题，求最佳方案，即求U(x,y)=lnx+lny在附有约束条件8x+10y=200下的极值点问题。现在我们根据拉格朗日乘数

35、法，定义拉格朗日函数为：L(x,y,九)=lnx+lny+九(8x+10y一200)，所以1L=+8九=0 xxL=+10九=0yy8x+10y-200=0解得x=12.5,y=10,由于原问题显然存在最大值，且驻点惟一，故00（12.5,10）为最大值点。根据（x,y）的实际意义，取x=12.5,y=10,如果买1200张电脑磁盘和10盒磁带的话，会使小孙达到最满意的效果。（2）在投资生产中，目的就是为了获得最大投资利润，在此给出例题分析极值在获得最大利润及最大产量中的应用。并且对于二元经济函数的优化问题，要分清是无条件极值问题还是条件极值问题。若是条件极值问题，要分清目标函数和约束条件，用

36、拉格朗日乘数法分析处理。例5.2.2设某工厂要生产甲，乙两种产品，产量为x,y千只，现有利润函数为L（x,y）=x24y2+8x+24y15假如现在有原料15000kg（不必须用完），生产每千只两种产品要消耗原材料2000kg求：（1）使利润最大时的产量x,y和最大利润；（2）如果现有总的原料为12000kg，求最大利润时产品的产量。分析（1）中原料15000kg并不要求用完，因此可以先看作无条件极值来进行求解，如果达到最优的产量对应原材料耗费超过15000kg，则可改为在约束条件下2000（x+y）=15000的条件极值问题。（2）类似的由（1）结果判断最优解对应的原料不足12000kg，则仍为无条件极值，否则为条件极值问题。解（1）由题意，令J一2x+8二0，得|L=8y+24=0yJx二4Iy二3又L=2,L二0,L=8，所以B2AC=160,A=20，因此（4,3）既xxxyyy是极大值点，也是最大值点。而此时所用原料为（4+3）x200