统计量及其抽样分布课件

1、第 6 章样本统计量的概率分布 6.1 统计量及其分布 6.2 样本均值的分布 6.3 其他统计量的分布 6.4 统计量的标准误差2008年8月学习目标样本统计量的概率分布6.1 统计量及其分布6 样本统计量的概率分布2008年8月参数和统计量参数(parameter)描述总体特征的概括性数字度量，是研究者想要了解的总体的某种特征值一个总体的参数：总体均值()、标准差()、总体比例()；两个总体参数：(1 -2)、(1-2)、(1/2)总体参数通常用希腊字母表示 统计量(statistic)用来描述样本特征的概括性数字度量，它是根据样本数据计算出来的一些量，是样本的函数一个总体参数推断时的统计

2、量：样本均值(x)、样本标准差(s)、样本比例(p)等两个总体参数推断时的统计量： (x1-x2)、(p1-p2)、(s1/s2)样本统计量通常用小写英文字母来表示 三种不同性质的分布总体分布样本分布抽样分布总体分布(population distribution)总体中各元素的观察值所形成的分布 分布通常是未知的可以假定它服从某种分布 总体样本分布(sample distribution)一个样本中各观察值的分布 也称经验分布 当样本容量n逐渐增大时，样本分布逐渐接近总体的分布 样本样本统计量的概率分布-抽样分布 (sampling distribution)是指在重复选取容量为n的样本时，

3、由样本均值的所有可能取值形成的相对频数分布是一种理论概率分布随机变量是 样本统计量样本均值, 样本比例，样本方差等结果来自容量相同的所有可能样本提供了样本统计量，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据 样本统计量的概率分布 (sampling distribution)总体计算样本统计量例如：样本均值、比例、方差样本6.2 样本均值的抽样分布容量相同的所有可能样本的样本均值的概率分布一种理论概率分布进行推断总体总体均值的理论基础2008年8月样本均值的分布(例题分析)【例】设一个总体，含有4个元素(个体) ，即总体单位数N=4。4 个个体分别为x1=1，x2=2，x3=3，x4=4

4、 。总体的均值、方差及分布如下总体分布14230.1.2.3均值和方差2008年8月样本均值的分布 (例题分析) 现从总体中抽取n2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果为3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二个观察值第一个观察值所有可能的n = 2 的样本（共16个）2008年8月样本均值的分布 (例题分析) 计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二个观察值

5、第一个观察值16个样本的均值（x）x样本均值的抽样分布1.000.10.20.3P ( x )1.53.04.03.52.02.52008年8月样本均值的分布与总体分布的比较 (例题分析) = 2.5 2 =1.25总体分布样本均值分布样本均值 分布的均值 和方差 为： 样本均值的抽样分布与中心极限定理=2.5X总体分布n = 4抽样分布Xn =2当总体服从正态分布N(,2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值X也服从正态分布，X 的数学期望为，方差为2/n。即XN(,2/n).中心极限定理(central limit theorem)当样本容量足够大时(n 30) ，样本均值的抽样分布逐

6、渐趋于正态分布中心极限定理：设从均值为，方差为 2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为、方差为2/n的正态分布一个任意分布的总体X2008年8月中心极限定理 (central limit theorem)x 的分布趋于正态分布的过程2008年8月抽样分布与总体分布的关系总体分布正态分布非正态分布大样本小样本样本均值正态分布样本均值正态分布样本均值非正态分布2008年8月样本均值的分布样本均值的期望值和方差样本均值的分布(数学期望与方差)样本均值的抽样分布(数学期望与方差)-据案例比较及结论： 1. 样本均值的均值(数学期望) 等于总体均值 2. 样

7、本均值的方差等于总体方差的1/n抽样分布的应用案例1假定长途电话的通话时间服从正态分布，总体均值为10分钟，标准差为2.5分钟，试计算：1.如果随机选取16次通话作为样本，样本均值（平均通话时间）介于9.5分钟至10.5分钟的概率；2.如果随机选取100次通话作为样本，样本均值（平均通话时间）介于9.5分钟至10.5分钟的概率；3.比较1与2的结果。案例2 从某地区统计中得知，该地区郊区平均每一家庭年收入为3 160元，标准差为800元。从此郊区抽取50个家庭为一随机样本，试据资料，计算平均每年家庭收入为以下数字的概率是多少：1）多于3 000元；2）少于3 000元；3）在3 200元到3

8、300元之间。6.3 其他统计量的分布2008年8月总体(或样本)中具有某种属性的单位与全部单位总数之比不同性别的人与全部人数之比合格品(或不合格品) 与全部产品总数之比总体比例可表示为样本比例可表示为1. 样本比例的抽样分布(proportion)2008年8月在重复选取容量为n的样本时，由样本比例的所有可能取值形成的相对频数分布一种理论概率分布当样本容量很大时，样本比例的抽样分布可用正态分布近似，即 样本比例的抽样 分布样本比例均值和方差样本成数抽样分布的应用案例某商店经理发现有60%的顾客每次在商店购买至少两件商品。如果随机挑选100名顾客，究竟介乎50%至75%的顾客购买至少两件商品的概率有多大？2008年8月2.样本方差的分布在重复选取容量为n的样本时，由样本方差的所有可能取值形成的相对频数分布对于来自正态总体的简单随机样本，则比值 的抽样分布服从自由度为 (n -1) 的2分布，即6.4 统计量的标准误差2008年8月统计量的标准误差 (standard error)样本统计量的抽样分布的标准差，称为统计量的标准误，也称为标准误差衡量统计量的离散程度，测度了用样本统计量估计总体参数的精确程度样本均值和样本比例的标准误差分别为2008年8月估计的标准误差