全等三角形的判定方法

1、第 页全等三角形的判定方法【考点精讲】一般三角形全等的判定如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为(SSS)；如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为(SAS)；如果两个三角形的两角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为(ASA)；如果三角形的两角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为(AAS)。直角三角形全等的判定斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”THL”证明三角形全等的思路我夹角已知两边找直角、找另一边已知一边一角边为角的对边时，找另一角找夹角的另一边边为角的邻边时找

2、夹边的另一角、找边的对角已知两角找任意一边注：1.判定三角形全等必须有一组对应边相等；判定三角形全等时不能错用“SSA”“AAA”来判定。【典例精析】例题1如图所示，ZE=ZF=90，ZB=ZC，AE=AF，结论：EM=FN；CD=DN:ZFAN=ZEAMACNAABM。其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个思路导航：因为ZE=ZF=90，ZB=ZC，所以ZEAB=ZFAC,又因为AE=AF，所以AEBAFC，所以AC=AB。在AACN和AABM中，因为ZB=ZC，AB=AC，ZCAB=ZCAB，所以ACN9AABM,正确；因为/EAB=/FAC，所以ZEAB_ZCAB=ZFAC-Z

3、CAB，即ZEAM=ZFAN，正确；在AEAM和AFAN中,ZEAM=ZFAN，AE=AF，ZE=ZF=90，所以EAMFAN，所以EM=FN，正确；由已知条件不能判断出CD=DN，故正确的个数是3个。答案：C点评：此类问题一般从结论出发，一一进行判断，找出相应的一对三角形，看看是否能根据已知信息，寻求到三角形全等的条件。例题2如图,一个含45角的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合,过E点作EF丄AE交ZDCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由。思路导航：寻找线段AE与EF的数量关系，可将AE、EF分别放到AHAE和ACEF中去考虑，根据条件可推导出

4、这两个三角形两角和一边对应相等，从而可证出HAE竺ACEF,进而得到AE=EFO答案：AE=EFoVAHBE是一含45。角的直角三形，:.ZH=ZHEB=45,HB=EB，又四边形ABCD为正方形，:.ZB=ZDCB=ZDCE=90，AB=CB。:.HB-AB=EBCB，即HA=CE。:EF丄AE,:.ZAEF=90=ZB，VZHAE=ZB+ZAEB，ZCEF=ZAEF+ZAEB，:.ZHAE=ZCEF，又(，平分ZDCE:.ZECF=1ZDCE=45=ZH，.HAEACEF(ASA)o:.AE=EF。点评：本题实际考查全等三角形的判定，学生要能把已知条件进行适当转换，从中找到可以证明全等的条

5、件，从而判定两三角形全等，得出结论。例题3如图，已知RtAABCRtADE，ZABC=ZADE=90，BC与DE相交于点F，连接CD，EBo图中还有几对全等三角形，请你一一列举；求证：CF=EFo思路导航(1)要找出全等三角形，可以从条件出发，根据图形特征进行猜想，先找小三角形的全等，再找大三角形的全等，关键是能否找出符合三角形全等的条件；(2)本小题是构造全等三角形的过程，可以把要证明的线段放在相应的三角形中，由三角形全等得到证明。答案(1)ADC竺ABE,CDF竺EBF。(2)证法一：如图，连接CE。JRtABCRtADE，:.AC=AEO.ZACE=ZAECo又:RtABC竺RtADE,

6、AZACB=ZAEDo.ZACE-ZACB=ZAEC-ZAEDo即ZBCE=ZDECo:CF=EF。证法二：如图。JRtABCRtADE，:.AC=AE，AD=AB，ZCAB=ZEAD，AZCABZDAB=ZEADZDAB，即ZCAD=ZEAB。:.ACDAEBoACD=EB，ZADC=ZABEo又JZADE=ZABC，:.ZCDF=ZEBFo又JZDFC=ZBFE，:.CDFEBFo：CF=EFo证法三：如图，连接AFoAJRtNABCSRtADE,:.AB=AD,BC=DE,ZABC=ZADE=90o又.AF=AF,RtNABF竺RtADFo:BF=DF。又:BC=DE,；BCBF=DED

7、Fo即CF=EFo点评：解答此类问题，首先要准确找出全等三角形，根据图形观察猜想，然后找出符合三角形全等的条件。要证明两条线段相等，通常可以先观察这两条线段是否在两个不同的三角形中，如果是，则可通过证明两三角形全等来解决。【总结提升】利用全等三角形证明线段相等或角相等时，常需要添加一些辅助线构造三角形，其目的就是将某些满足条件的全等三角形从图中直接显现出来。证明直角三角形全等的方法有五种SSS,SAS,ASA,AAS,HL,它们各自独立，解题时应注意选择合适的方法。当然，在解决一个问题时，有时会用到一种或多种三角形全等的判定方法。在寻找三角形全等的条件时，我们可以在对应的条件上作相同的标记，避

8、免重复和遗漏。（答题时间：30分钟）一、选择题1.如图，在ABC和ADCB中，若ZACB=ZDBC,则不能证明两个三角形全等的条件是（）A.ZABC=ZDCBB.ZA=ZDC.AB=DC2.如图，AB=AD,A.2对B.3对C.4对D.5对二、填空题*3.用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明ZAOBZAOB的依据是三角形全等，则判定三角形全等的依据是。*4.如图，已知Z1=Z2,AC=AD，增加下列条件：AB=AE,BC=ED，ZC=）个。*5.如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则ZABC+ZDFE=度。三、解答题6.

9、如图所示，AB=AD，BC=CD，AC，BD交于E,由这些条件你能推出哪些结论（不*7.一个风筝如图，两翼AB=AC，横骨BE丄AC于E，CF丄AB于F。问其中骨AD能平分ZBAC吗？为什么？*8.我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等。那么在什么情况下，它们会全等？（1）阅读与证明:对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等。对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）。对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下:已知：AABC、ZC=ZC。求证：abcaa1b1c1。（请你将下列证明过程补充完整。）证明：分别过点B，B1作BD丄CA于D,B

10、1D丄C1A1于D。则ZBDC=ZB1D1C1=90，VBC=B1C1，ZC=ZC1，/.bcdb1c1d1，：BD=B1D1。(2)归纳与叙述：由（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论。*9.两个大小不同的等腰直角三角板如图所示放置，图是由它抽象出的几何图形,B,C，E在同一条直线上，连接DC，（1）请找出图中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）;（2）试说明：DC丄BE。C解析：SSA不能判定三角形全等。B解析：ADE9AABE,ADCAABC,DECABECSSS解析：由作法易得OD=OQ，,OC=OC,CD=CD，,依据SSS可判定CODACOD,则ZCOD

11、9ZCOD，即ZAOB=ZAOB(全等三角形的对应角相等)。3解析：增加AB=AE,则厶ABCAED(SAS)；增加ZC=ZD,则ABCAED(ASA)；增加ZB=ZE，则ABCAED(AAS)。90解析：.ZCAB=ZEDF=90,.ABC与DEF为直角三角形，又VEF=BC,AC=DF,ABC今DEF,ZABC+ZDFE=ZABC+ZACB=90。(DADCABC；(2)AC平分ZDCB；(3)AC平分ZDAB；(4)DE=EB；(5)DB丄AC；AD能平分ZBAC；解：由Z1=Z2,得ZB=ZC，又AB=AC,故厶ABEACF,从而AE=AF,又AD=AD,故RtADFRtADE,得ZFAD=ZEAD(1)证明：分别过点B,B1作BD丄CA于DB1D丄C1A1于D1则ZBDC=ZB1D1C1=90VBC=B1C1，ZC=ZC1BCD今B1C1D1ABD=B1D1又VAB=A1B1ZBDC=ZB1D1C1=90.ABDA1B1D1.ZA=ZA1又VAB=A1B1，ZC=ZC1ABC今A1B1C1(2)归纳与叙述：由(1)可得到一个正确结论,两边及其中一边的对角分别对