2021-2022学年高二物理竞赛流体运动的几何描述课件

1、流体运动的几何描述 流体运动的几何描述 迹线 流线定义拉格朗日法欧拉法微分方程（t为自变量， x, y, z 为t 的函数 ）质点的运动轨迹切线与速度方向一致的假想曲线B2.3 流体运动的几何描述(x, y, z 为自变量，t为参数）例不定常流场的迹线与流线(4-1) 求： （1）质点A的迹线方程；解：此流场属无周期性的不定常流场。由上两式分别积分可得已知：设速度场为 u = t+1 ,v = 1，t = 0时刻流体质点A位于原点。(1)由欧拉迹线方程式，本例迹线方程组为（2）t = 0时刻过原点的流线方程；（3）t = 1时刻质点A的运动方向。t=0时质点A位于x=y=0，得c1=c2=0。

2、质点A迹线方程为消去参数t 可得上式表明质点A的迹线是一条以（-1/2，-1）为顶点，且通过原点的抛物线（见图）。（2）由流线微分方程式，积分可得(a)(b)例B2.3.2A不定常流场的迹线与流线(4-2)在t = 0时刻，流线通过原点x = y = 0，可得C = 0，相应的流线方程为可得C = -1/4 。（c）x = y这是过原点的，一、三象限角平分线，与质点A的迹线在原点相切（见图）。(3)为确定t = 1时刻质点A的运动方向，需求此时刻过质点A所在位置的流线方程。由迹线的参数式方程(a)可确定，t=1时刻质点A位于x=3/2，y=1位置，代入流线方程(b)例B2.3.2A不定常流场的

3、迹线与流线(4-3)讨论：以上可见，不定常流动中迹线与流线不重合；不同时刻通过某固定点的流线可以不同（见b式），通过某流体质点所在位置的流线也可以不同（见c和d式）。t = 1时刻过流体质点A所在位置的流线方程为x = 2 y1/2 (d)上式是一条与流体质点A的迹线相切于（3/2，1）点的斜直线，运动方向为沿该直线朝x, y值增大方向。例B2.3.2A不定常流场的迹线与流线(4-4)B2.3.34 脉线与流体线 流体线又称 染色线、烟线或条纹线脉线定义 相继通过某空间点的质点连线 时间线某时刻标记的一串相连的质点连线B2.3.34 脉线与流体线例B2.3.3不定常流场的迹线与脉线(3-1)解

4、：此流场是周期性变化的不定常流动。设t = 0时刻起，每隔1s从坐 标原点出发的质点依次编号为a, b, c, d, e, f，每过6s重复循 环一次。将每个质点每隔1s的位置数据列表如下，每行的数据构 成每个质点的迹线，每栏的数据构成每一时刻的脉线。 已知：设速度场为 （0t3s） t6s重复循环。（3st6s） 求： 试画出 （1）0-6s内每隔1s从坐标原点出发的迹线； （2）7-12s内每隔1s的时刻从坐标原点发出的脉线。t (s)0123456789101112a(0,0)(1,0)(2,0)(3,0)(3,1)(3,2)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)(6,4)(6,5)(

5、6,6)b(0,0)(1,0)(2,0)(2,1)(2,2)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)c (0,0)(1,0)(1,1)(1,2)(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)d(0,0)(0,1)(0,2)(0,3)(1,3)(2,3)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)e (0,0)(0,1)(0,2)(1,2)(2,2)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)f (0,0)(0,1)(1,1)(2,1)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)例B2.3.3不定常流场的迹线与脉线(3-2) 图(a)为质点a, b, c

6、, d, e, f 的迹线(0-6s)，图(b)为每隔1s时刻(7-12s)从坐标原点发出的脉线（以后重复循环）。从图中可看到迹线是每个质点的轨迹，随时间增长不断延伸；脉线是从某点依次出发的不同质点在某一瞬时连成的线。在不定常流场中，从某点发出的脉线的形状在不同时刻可以不同。本例中在7-12s内的每一瞬时的脉线均不相同，但在下一个6秒内重复出现，依次循环。例B2.3.3不定常流场的迹线与脉线(3-3)B2.3.5 流管，流束与总流流管： 流线围成的管子流束： 流管内的流体缓变流流束：流线平行或接近平行微元流束：有限截面无限小的流束总流：微元流束的总和在有效截面上取平均值，按一维流动处理B2.3

7、.5 流管，流束与总流B2.4 流体质点的随体导数 流体质点（随体）导数是质点物理量在运动中随时间的变化率。右图中质点p 的位置不断变化，位置也是t 的函数，物理量B(t)可表示为Bp = Bp xp ( t ), yp ( t ), zp ( t ), t (1)用求全导数方法得质点导数欧拉表达式(2)从物理上解释质点导数： 为固定点上物理量B 随时间变化率，称为当地变化率， 反映流场的不定常性。 为不同位置上物理量的差异引起的变化率，称为 迁移变化率，反映流场的不均匀性。B2.4 流体质点的随体导数B2.4.1 质点导数B2.4.2 加速度场1. 三维流动取 ，速度的质点导数为加速度2.

8、一维流动(1)沿流线s，v=v(s,t)(2)沿总流s，V=V(s,t)B2.4.2 加速度场例B2.4.2收缩喷管流动：迁移加速度(3-1) 已知：图示一圆锥形收缩喷管。长为36 cm，底部与顶部直径分 别为d0= 9 cm，d3 = 3 cm，恒定流量Q = 0.02 m 3 / s。 按一维流动处理 解：设流动方向为x轴，原点在圆锥底部。喷管内为定常流动，当地加速度为零，只有迁移加速度。按一维流动式计算求： 图示四个截面A0 ，A1 ，A2，A3上的加速度。V为管截面上的平均速度。设任意管截面与底部的距离为x，面积A与x的关系为任一截面上的平均速度和加速度为计算结果如下表8834.00

9、312.25 28.290.000710.36A 3682.0067.18 10.150.001970.24A 2128.0024.655.1900.003850.12A 136.5011.603.1440.006360.00A 0a/ms-2V /ms-1A /m2x /m截面例B2.4.2收缩喷管流动：迁移加速度(3-2)讨论：计算结果表明喷管进出口的直径比为1:3，速度比为1:9，加速度比为1:242。按牛顿第二定律流体有加速度必产生对喷管的冲击力，而且该冲击力在不同截面上数值不同。例B4.4.2将计算流体对喷管的冲击力合力。速度与加速度的变化曲线如图所示例B2.4.2收缩喷管流动：迁移

10、加速度(3-3)B2.5 一点邻域内相对运动分析B2.5.1 亥姆霍兹速度分解定理在 xy 平面流场中，M0 点邻近 M 点的速度在 x 方向的分量可分解为旋转速率线变形速率角变形速率 M0 平移速度M 相对M0的速度B2.5.1 亥姆霍兹速度分解定理B2.5.2 流体的变形1.线变形（以平面流动为例） (1)线应变率 流体面元的线尺度在 x 方向的局部瞬时 相对伸长速率(2)面积扩张率 流体面元的面积在平面内的局部瞬时相对扩张速率(3)体积膨胀率 流体体元的体积在空间的局部瞬时相对膨胀速率同理B2.5.2 流体的变形(2-1)例B2.5.2膨胀流动：线应变率与面积扩张率(3-1)解：(1)按

11、（B2.3.5a）式，因v =0, 流线微分 方程为dy = 0，积分可得流线方程为 已知：设平面流场为 （k 0，为常数）说明流线是平行于x轴的直线族。线应变率为 求： （1）流线、线应变率和面积扩张率表达式；y = c ( c为常数 ) （2） 设k =1,t =0时刻边长为1的正方形流体面abcd位于图中 所示位置,求 t = t 时刻点a(1,3)到达点a(3,3)时流体面abcd的 位置和形状。说明x方向的线元以恒速率k 伸长，y方向的线元长度保持不变。面积扩张率为 说明流场中每一点的瞬时面积相对扩张率为常数，任何单位面积的流体面均以恒速率k 扩张，通常将这种流动称为膨胀流（当k 0

12、，为常数） 求：试分析该流场的运动学特征。流场中的速度分布如图所示。由流线微分方程 k y dy = 0,积分得流线方程为 y = C (C为常数)说明流线是平行于x轴的直线族。x, y方向的线应变率和x y平面内的角变形率分别为说明一点邻域内的流体作顺时针旋转，实际上正是由于在每条流线上的所有流体元都作顺时针旋转才形成速度沿y方向的线性增加。一点邻域内的面积扩张率为说明该流场属不可压缩流动。图中四边形流体面在运动过程中面积保持不变，对角线与x轴的夹角不断减小，流体面不断拉长和变窄。说明x，y方向的线元既不伸长也不缩短，但xy平面内互相正交的线元随时间增长夹角不断变化。图中的流场相应于k 0

13、的情况，即 0，流体自左向右流动时正交线元的夹角不断减小。流体的旋转角速度为例B2.5.3线性剪切流：角变形率与旋转角速度(2-2)（弯管内流体元变形）例B2.5.3A 刚体旋转流：角变形率与旋转角速度(2-1) 解：该流场代表了盛水的圆筒绕中心轴作匀角速度旋转时的流动。若坐标系固定在圆筒轴上，流体相对于坐标系处于平衡状态，称为相对平衡（参见C1.4.2）。 已知：设平面流场为 （k 0，为常数） 求：试分析该流场的运动学特性。流场中的速度分布如图所示。由流线微分方程 -k y dy = k x dx,积分得流线方程为 x2 + y2= C (C为常数)说明流线是一簇同心圆。x, y方向的线应

14、变率和x y平面内的角变形率分别为例B2.5.3A 刚体旋转流：角变形率与旋转角速度(2-2) 说明在x,y方向无线变形，在xy平面内无角变形。面积扩张率为 说明在流动平面上流体无任何变形，象刚体运动一样。流体的旋转角速度为 说明流体象刚体一样绕中心轴作匀角速度旋转，故称为刚体旋转流动，其动力学分析可按静力学方法处理（见C1.4节）。 B2.6 流动分类B2.6.1 层流与湍流2. 雷诺数V 流速，d 特征长度，、 流体密度、粘度圆管临界雷诺数B2.6.1 层流与湍流（2-1）1.雷诺实验(1883)过渡区湍流区层流区试验装置B2.6 流动分类B2.6.1 层流与湍流3. 经典实验雷诺实验(1883)哈根实验(1839)林格伦实验