24.1.4圆周角练习教师版

1、课后巩固.如图，点A, B, C在二0上，匚AOB=72。，则2ACB等于()A. 28 B. 54 C. 18 D. 36【分析】根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于同弧所对圆心角的一半即可求解.【解答】解：根据圆周角定理可知，二 A0B=2 匚 ACB=72。，即二 ACB=36,故选D.【点评】本题主要考查了圆周角定理，正确认识二ACB与二AOB的位置关系是解题关键.如图，在二O 中，物BC,点 D 在匚0 上，匚CDB=25。，51iJJA0B=()A. 45 B. 50。 C. 55。 D. 60【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论.【解答】解：二在二O中，福丽，点D在二O上，EC

2、DB=25%二二 A0B=2 二 CDB=500.故选B.【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧 所对的圆心角的一半是解答此题的关键.如图，AB是二O的直径，点D是弧标的中点，二ABC=52。，则二DAB等于（）A. 58 B, 61 C. 72 D. 64【分析】如图连接BD.在Rt二BDA中，求出二ABD即可解决问题.【解答】解：如图连接BD.二 CD=AD，ZZCBD=ZABD,二二 ABC=52。，二二 ABD=26。，二AB是直径， 二二 BDA=90。,ZDAB=90 - 26=64,故选D.【点评】本题考查圆周角定理、直径的性

3、质等知识，解题的关键是记住直径的性质，圆周角定理，属于基 础题，中考常考题型.如图，以原点0为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y轴的正半轴于点C, D为第一象限内二O上的 一点，若二DAB=25。，则二OCD的度数是（）A. 45 B. 60 C. 65 D. 70【分析】根据圆周角定理求出二DOB,根据等腰三角形性质求出二OCD=：ODC,根据三角形内角和定理求 出即可.【解答】 解：连接OD.二二 DAB=20。,二二 BOD=2 二 DAB=40。,ZZCOD=90-40=50%二OC=OD,ZZOCD=ZODC=i (180。- ZCOD) =65。，2故选c.【点评】本题考查了圆周角

4、定理，等腰三角形性质，三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力, 题目比较典型，难度适中.如图中二BOD的度数是()A. 150 B, 125 C. 110 D. 55【分析】连接OC根据二BOC=2匚BAC,二COD=2二CED即可解决问题.【解答】解：如图，连接OC.二二BOC=2 二BAC=50。，二 COD=2 二CED=60。,二二 BOD=：BOC+二 COD=110。，故选C.【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型.如图，AB是二O的弦，点C在二0上，匚ACB=40。，点P在二O的内部，且点C、点P在AB同侧，则ZAPB的角度是（）A.

5、大于40。B.等于40。C.小于40。D.无法确定【分析】延长AP交二O于E,连接BE,根据圆周角定理得到匚E=：ZC,由三角形的外角的性质得到二APBZE,于是得到结论.【解答】解：延长AP交二O于E,连接BE,则二 E=CC,二二 APB 二 E,二二 APB 二 ACB,ZZACB=40,二二 APB40。,故选A.【点评】本题考查了圆周角定理，三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.如图，在 Rt匚ACB 中，二ACB=90。，AC=6, BC=8, D, E 分别在 AC, BC 上，且 DE=6,以 DE 为直径的二O交AB于点M, N,则弦长MN的最大值为（）A. 2

6、.4 B. 4.8 C. 5 D. 6【分析】根据题意有C、0、G三点在一条直线上0G最小，MN最大，根据勾股定理求得AB,根据三角 形而枳求得CF,然后根据垂径定理和勾股定理即可求得MN的最大值.【解答】解：过0作0G二AB于G,连接0C,连接0M,作CF：AB于F,二 DE=6,Z0C=3,只有C、0、G三点在一条直线上0G最小，0M=3,二只有0G最小，GM才能最大，从而MN有最大值，匚G和F重合时,MN有最大值,二二 C=90。，BC=6, AC=8,=ab=/xC2+BC2=10,二 JLacbcabcf,22二 CF=4.8,g二 OG=4.8-3工5T,则 MN=2MG=4.8,

7、故选：B.4女 B【点评】本题考查了垂线段最短，垂径定理，勾股定理，过0作0E垂于E,得出C、0、E三点在一条直 线上0E最小是解题的关键.如图，二0的直径AB垂直于弦CD,匚CAB=36。，贝lj二BCD的大小是()A. 18 B. 36。 C. 54 D. 72【分析】根据垂径定理推出标=丽，推出二CAB=AD=36。，再由二BCDNBAD即可解决问题.【解答】解：匚AB是直径，ABZCD,二丽=丽，二二 CAB=Z：BAD=36。，二二 BCD=CBAD,二二 BCD=36。，故选B.【点评】本题考查垂径定理、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理、圆周角定理，属于中 考常考题型

8、.如图，在二0中，AB是二O的直径，AB=10, AC=CD=DB,点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：匚二BOE=60。： 匚CED二DOB； ZDMZCE：二CM+DM的最小值是10,上述结2论中正确的个数是（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【分析】根据标=而=曲口点E是点D关于AB的对称点，求出二DOB=：COD=：BOE=60,求出二CED, 即可判断二口：根据圆周角定理求出当M和A重合时二MDE=60。即可判断二；求出M点的位置，根据圆周角定理得出此时DF是直径，即可求出DF长，即可判断一【解答】解：匚|而=植，点E是点D关于AB的对称点，ZBD=BE.

9、ZZDOB=ZBOE=ZCOD-irX 1800 =60。，二二正确：3二CED=二COD蒋X60 =30=yZD0B -二二正确： 乙乙乙二版的度数是60。，二标的度数是120%二只有当M和A重合时，OMDE=60,二二 CED=30。，二只有M和A重合时，DM二CE,二二错误;O做C关于AB的对称点F,连接CF,交AB于N,连接DF交AB于M,此时CM+DM的值最短，等于DF 长，连接CD,ZAC=CD=DB=A?.并且弧的度数都是60。，二二D=X12。=60，CFD=i-X60 =30， 乙乙ZZFCD=180 - 60 - 30=90%二DF是二O的直径，即 DF=AB=10,ZCM

10、+DM的最小值是10,二二正确；故选C.【点评】本题考查了圆周角定理，轴对称-最短问题等知识点，能灵活运用圆周角定理求出各个角的度数 和求出M的位置是解此题的关键.10.如图，已知AB是n0的直径，弦CD：AB于点E, G是定的中点，连结AD, AG, CD,则下列结论不一定成立的是（）GCA. CE=DE B. ZADG=ZGAB C. LAGD=ZADC D. ZGDC=2BAD【分析】根据圆周角定理、垂径定理以及圆心角、弧、弦的关系定理判断即可.【解答】解：匚AB是匚0的直径，弦CD二AB,二CE=DE, A 成立：二G是AB的中点，二届蓝二二ADGGGAB, B 成立：二AB是二0的直

11、径，弦CD二AB,ZAC=AD.ZZAGD=JADC, C 成立：二GDC=：BAD不成立，D不成立，故选：D.【点评】本题考查的是圆周角定理、垂径定理以及圆心角、弧、弦的关系，掌握相关的性质定理是解题的 关键.二,填空题（共6小题）11.如图，匚ABC的顶点A、B、C均在匚0上，若二ABC+二AOC=87。，则二AOC的大小是58 .ACB【分析】先根据圆周角定理得到二ABC二二AOC,由于二ABC+二AOC=87,所以二AOC+二AOC=87。，然22后解方程即可.【解答】解：匚二ABC八二AOC,2而二 ABC+2AOC=87。，二MaOC+匚 AOC=87。，2ZZAOC=58.故答案

12、是：58.【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的 圆心角的一半.12如图，二O的直径CD二AB,匚A=30。，则匚D= 30。.【分析】由二O的直径CD二AB,二A=30。，由垂径定理得同=束，然后由圆周角定理，求得二D的度数.【解答】解：二O的直径CD二AB,匚A=30。，ZAC=BC ZAOC=90 匚A=60。，二二 dBtaOC=30。.2故答案为:30。.【点评】此题考查了圆周角定理与垂径定理.注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等 于这条弧所对的圆心角的一半.13.如图，AB、CD是二O的直径，DE为匚O的一条弦，

13、己知二AOC=45。，aCDE=30,则二BDE的度数为37.5。,【分析】先求出二BDE所对弧所对的圆心角的度数，再转化成同弧所对的圆周角即可.【解答】解：如图，连接OE,E二二 CDE=30。，二二 COE=60。，二二 AOC=45。，ZZBOE=180 - OAOC -二COE=75。,二二 BDE 2二 BOE=37.5。2故答案为:37.5。,【点评】此题是圆周角定理题目，主要考查了邻补角，圆周角定理，解本题的关键是求出二BOE,此题也可 以连接AD直接用直径所对的圆周角是直角来计算.14.如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且口BAC=20。，则二D= 110【分析】连

14、接BD,根据圆周角定理求出二ADB及二BDC的度数，进而可得出结论.【解答】解:连接BD,二AB是半圆的直径，ZZADB=90.二二 BAC=20。，二二 BDC=20。，ZZD=ZADB+ZBDC=90o+20=110.故答案为：110.【点评】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键.15.如图，AB是半圆O直径，点C、D在半圆上，若匚CAB=40。，则二1+匚2的度数是50。.403【分析】先用直径所对的圆周角是直角求出二ABC,再用圆的内接四边形对角互补，求出二ADC即可.【解答】解：匚AB是圆的直径，二二 BAC+二 ABC=90。，二二 CAB=40

15、。.二二 ABC=50。二点A, B, C, D四点共圆，二二 ABC+二 ADC=180。，ZZADC=180-50=130%在二ADC 中，Z 1+12=180 -匚ADC=180。- 130=50,故答窠为:50.【点评】此题是圆周角定理，主要考查了直径所对的圆周角是直角，圆的内接四边形对角互补，解本题的 关键是圆的内接四边形的对角互补的应用.16.如图，在匚ABC中，AB=AC,以AB为直径的二O与BC交于点D,与AC交于点E,连OD交BE于 点M,若BE=8且MD=2,则直径AB长为10.【分析】连接AD,设直径AB长为x,由圆周角定理得出二AEB=CADB=90。，由等腰三角形的性

16、质得出BD=CD,由三角形中位线定理得出ODIIAC, CE=2MD=4,则AE=x-4,然后在直角二ABE中由勾股定理 求出AB即可.【解答】解：连接AD,如图所示,.二以AB为直径的二O与BC交于点D.ZZAEB=ZADB=90,即 AD二BC,二 AB=AC,二 BD=CD,二 OA=OB,ZODIAC,二 BM=EM,二 CE=2MD=4.二AE=AC - CE=x - 4,二 BE=8,二 AEB=90。，Zx2= (x - 4) 2+82 解得 x=10,即直径AB长为10.故答案为：10.【点评】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理：熟练掌握圆周角定

17、 理，由三角形中位线定理求出CE是解决问题的关键.三.解答题(共8小题).如图，在口O中，弦AB与CD相交于点F,二BCD=40。，ZBFD=70%求二ADC的度数.c.B【分析】由匚BCD=40。,二BFD=70。，利用三角形外角的性质，即可求得二B的度数,然后由圆周角定理, 求得答案.【解答】解：匚二 BCD=40。，二 BFD=70。,二二 B七BFD-二BCD=30。,二二 ADC=：B=30。.【点评】此题考查了圆周角定理以及三角形外角的性质.此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用.如图，ZABC内接于二0,且AB=BC=AC, M是标上任意一点，连接MA, MB, MC,求证:M

18、A=MB+MC.【分析】如图，作辅助线，首先证明二BMN是等边三角形，进而证明nABN二二CBM,问题即可解决.【解答】解：如图，在MA上截取MN,使得MN=MB,连接BN：二二ABC是等边三角形，ZZACB=ZBAC=60：二二 BAC+二 BMC=180。，二二 BMC=180-60=120。：二MB=MN,二BMN=60。, 二二BMN是等边三角形，二BN仁BN, CMNB=60%ZZANB=180o-60c=120；在二ABN与二CBM中， /BAN:/BCM，BN=BM二二ABN二二CBM (AAS),二 AN=CM,二 MN+AN=BM+CM,即 MA=MB+MC.【点评】该命题以

19、圆为载体，以考查圆周角定理及其推论、全等三角形的判定及其性质的应用为核心构造 而成：解题的关犍是作辅助线，构造全等三角形，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答.已知：如图，BD平分匚ABC交二ABC的外接圆于D,求证：AD=CD./【分析】利用角平分线的定义得出二ABD=：CBD,进而得出AD=CD.【解答】证明：口BD平分二ABC,二二 ABD=：CBD,ZAD=SZAD=CD.【点评】此题主要考查了角平分线的定义以及圆周角定理，得出二是解题关键.如图，AB是二O的直径，弦CD：AB于点E,点P在匚O上，二1=二（2,（1）求证：CBZPD；（2）若BC=3,匚C=30。，求二O的直径.

20、【分析】（1）根据圆周角定理得二P二二C,而二1=二（：，则二1=：P,于是根据平行线的判定即可得到CB二PB；（2）解：连结OC,如图，有（1）得二1二=30。，再根据垂径定理得到丽=而，则利用圆周角定理得ZBOC=23P=60%于是可判断二BOC为等边三角形，所以OB=BC=3,易得二O的直径为6.【解答】（1）证明：二二P=：2C,而二 1二：ZC,ZZ1=ZPZCBZPD：（2）解:连结0C,如图，二二 1=30。，二二 P二30。，二 CD 二 AB,ZBC=BD.二二 BOC=2 二 P=60。，二二BOC为等边三角形，二 OB=BC=3,二二O的直径为&【点评】本题考查了圆周角定

21、理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的 圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.也考查了垂径 定理.如图，点A、B、C为匚O上顺次三点，AC为二O直径，CD二AB, CD=AC,连接BD交AC于点E, 交二O于点F.(1)求证：二ACF=：D；(2)若 AB-/?, BC=3,求 AC、BD 的值.【分析】(1)先根据平行线的性质得2ABD=：BDC,再根据圆周角定理得二ACF=：ABD,于是有ZACF=ZBDC：(2)根据圆周角定理，由AC为二。直径得到匚ABC=90。,则根据勾股定理可计算出AC=4,于是得到CD=4,

22、 再根据平行线的性质得二BCD=90。，然后再利用勾股定理计算BD.【解答】(1)证明：二AB二CD, 二二 ABD=CBDC,二二 ACF=：ABD,ZZACF=ZBDC；(2)解：二AC为二O直径，二二 ABC=90。，在 Rt：ZABC 中，二AB=V7，BC=3,zac=7xB2+BC2=4?二 CD=AC,二 CD=4,二 AB 二 CD.二二 BCD=90。，在 Rt：BCD 中，二BC=3, CD=4,=bd=/bc2+cd2=5-【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的 圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，9

23、0。的圆周角所对的弦是直径.也考查了勾股 定理.如图所示，在匚ABC中，AB=AC, AE=AB,以AB为直径作圆交BC于D,连接AD交CE于F点.求证：AF=FD.【分析】作DH二CE,交AB于H.先由AB为匚O直径，根据圆周角定理得出AD二BC,根据等腰三角形 三线合一的性质得出CD=BD,那么由三角形中位线定理得到BH=EH,又AEAB,于是得出AE=EH, 再由EF口DH,即可证明AF=FD.【解答】证明：作DH二CE,交AB于H.二AB为二O直径， 二 AD 二 BC,二 AB=AC,二 CD=BD,二 BH=EH,又 AE=iAB,3二 AE=EH,二 EF 二 DH,二 AF=F

24、D.CE O H【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，难度适中.准确作出辅助线是 解题的关键.如图，二ABC内接于匚O, AD平分二BAC交二0于D,连接0D交BC于H.(1)求证：0DDBC：(2)若OH=DH,求二BAC的度数: (3)若AB=6, AC=4,过B作BKZAD于K,连接HK,求HK的长.【分析】(1)如图1,证明丽=而，运用垂径定理及其推论，即可解决问题.(2)如图2,首先求出匚BOH的度数，运用圆周角定理即可解决问题.(3)如图3,作辅助线，首先证明匚BAK二二MAK,得到BK=MK,进而判断HK为二BCM的中位线，即 可解决问题.【解答】(1

25、)证明：如图1,ZAD 平分口BAC,ZBD=CD二 0D 二 BC：(2)如图2,连接OB、0C：二 OH=DH, OB=OD,二OHOB,而 OH二BH,2二二 OBH=30。，CBOH=60二二 BAC=L二 BOC=60。.2(3)如图3,分别延长BK、AC,交于点M：ZAD 平分口BAC,二二 BAK=CMAK：在二BAK与二MAK中,rAB=AM/BAK 二 N MAK， 耶二AK二二BAK二二MAK (SAS),二BK=MK, AM=AB=6；二 OD 二 BC,二 BH=HC,二HK为二BCM的中位线,【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定等知识.该题难度适中，注意掌握辅助线 的作法，注意掌握数形结合思想的应用.如图，A, P, B, C是二O上的四点，且满足二8人=二4=60。.(1)问匚ABC是否为等边三角形？为什么？(2)若匚O的半径OD二BC于点E, BC=8,求n0的半径长.【分析】（1）先根据圆周角定理得出二ABC的度数，再直接