人教版高中数学高考一轮复习-数学建模与数学探究

1、数学建模与数学探究第十二章2022高中总复习优化设计GAO ZHONG ZONG FU XI YOU HUA SHE JI内容索引0102数 学 建 模数 学 探 究数 学 建 模一建立函数模型解决实际问题例1某种蔬菜从1月1日起开始上市,通过市场调查,得到该蔬菜种植成本Q(单位:元/10 kg)与上市天数t(单位:10天)的数据如下表(记1月1日的t=0.1):(1)根据上表数据求出一个合适的函数模型描述该蔬菜种植成本Q与上市天数t的变化关系.(2)利用所求的函数模型,求当该蔬菜种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.解 (1)作出散点图.以上市天数t(单位:10天)为横坐标,以种植成本Q(

2、单位:元/10 kg)为纵坐标,画出散点图(如图).求函数模型.从散点图可以看出,随着t变化,Q的值先减小后增大,所以可以建立二次函数模型.用函数模型Q=at2+bt+c描述该蔬菜种植成本Q与上市天数t的变化关系.将表格所提供的前三组数据分别代入Q=at2+bt+c,所以当t=15时,Q的最小值为10,即该蔬菜上市150天时,蔬菜种植成本最低为10元/10 kg.变式训练1某服装厂从今年1月份开始投产,并且前四个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件.由于产品质量好,款式受欢迎,前几个月的产品销售情况良好.为了使推销员在推销产品时,接受订单不至于过多或过少,需要估测以后几个

3、月的产量.厂里分析,产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程,厂里暂时不增加设备和工人.假如你是厂长,请求一个合适的函数模型,并预测6月份的产量.解 画散点图.以生产月份x为横坐标,以产量y(单位:万件)为纵坐标,画出散点图,如图所示.求函数模型.根据散点图设指数型函数y=abx+c(a,b,c为常数,a0,b0,b1),将(1,1),(2,1.2),(3,1.3)三点的坐标代入,检验模型.画出函数y=-0.80.5x+1.4的图象,如图所示.由图可知,函数模型与实际数据基本吻合.所以所求函数模型为y=-0.80.5x+1.4.求解问题.将x=6代入y=-0.80.5x+1.4,得y=-0

4、.80.56+1.41.39.所以6月份的产量估计为1.39万件.二建立统计模型进行预测例2某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费对年销售量(单位:t)的影响.该公司对近5年的年宣传费和年销售量数据进行了研究,发现年宣传费x(单位:万元)和年销售量y(单位:t)具有线性相关关系,并对数据作了初步处理,得到下面的一些统计量的值.(1)根据表中数据建立年销售量y关于年宣传费x的经验回归方程;(2)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=y-0.05x2-1.85,根据(1)中的结果回答下列问题:当年宣传费为10万元时,年销售量及年利润的预测值是多少?估算该公司应该投入多少宣传费

5、,才能使得年利润与年宣传费的比值最大.变式训练2随着网络的发展,网上购物越来越受到人们的喜爱,各大购物网站为增加收入,促销策略越来越多样化,促销费用也不断增加,下表是某购物网站18月促销费用x(单位:万元)和产品销量y(单位:万件)的具体数据:(1)根据数据绘制出散点图,根据散点图能够看出可用线性回归模型拟合y与x的关系吗?请用样本相关系数r加以说明.(系数精确到0.01)(2)建立y关于x的经验回归方程 (系数精确到0.01);如果该公司计划在9月份实现产品销量不低于6万件,预测至少需要投入促销费用多少万元.(结果精确到0.01)解 (1)根据数据绘制散点图如下,从散点图可以看出这些点大致分

6、布在一条直线附近,并且在逐步上升,所以可用线性回归模型拟合y与x的关系.数 学 探 究一用向量法研究三角形的性质探究一 向量在判断三角形的形状中的应用 A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰(非等边)三角形D.等边三角形C变式训练1已知ABC满足 ,则ABC是()A.等边三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形C探究二 向量法证明三角形的性质例2我们知道“三角形的三条高线相交于一点,这个交点叫做三角形的垂心”,试证明:三角形的三条高线相交于一点.解 如图,在ABC中,ADBC,BEAC,垂足分别为D,E,设AD,BE相交于一点I,连接CI并延长交AB于一点F,试用向量法证明CF

7、AB.证法一:因为ADBC,BEAC,证法二:以D为原点,BC,AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图.设A(0,a),B(b,0),C(c,0),I(0,y).变式训练2“三角形三边的垂直平分线相交于一点,这个交点也是三角形外接圆的圆心,叫做三角形的外心”,试证明:三角形三边的垂直平分线相交于一点.解 如图,在ABC中,D,E,F分别为边BC,AC,AB的中点,且ODBC, OEAC,垂足分别为D,E,试证明:OFAB.探究三 向量法判断三角形的性质例3在ABC中,若动点D满足 ,则点D的运动轨迹一定通过ABC的()A.外心B.内心C.垂心D.重心AD二杨辉三角的性质与应用例4设数列an是2s|sN集合中的所有的数从小到大排列成的数列,将数列an的各项按照上小下大,左小右大的原则排成类似“杨辉三角”的图形.(1)按图中箭头方向数字1,2,8,64,组成一个数列bn,求数列bn的通项公式;(2)22 005是第几行的第几个数?变式训练4一个类似“杨辉三角”的图形如图所示,第n行共有n个数,且该行的第一个数和最后一个数都是n,中间任意一个数都等于第(n-1)行与之相邻的两个数的和,an,1,an,2,an,n(n=1,2,3,)分别表示第n行的第一个数,第二个数,第n个数.求an,2