21-22版 第1课时　不等关系与不等式

1、第1课时不等关系与不等式第二章2.1等式性质与不等式性质1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.初步学会作差法比较两实数的大小.学习目标大家知道，相等关系与不等关系是数学中、也是日常生活中最基本的关系.比如说：长与短、远与近的比较；比如说：同学们之间高与矮、轻与重的比较；比如说：国家人口的多少、面积的大小的比较；再比如说：新冠疫情传播速度的快与慢的比较.正所谓：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”.导语随堂演练课时对点练一、用不等式(组)表示不等关系二、作差法比较大小三、重要不等式内容索引一、用不等式(组)表示不等关系问题1生活中，我们经常看到下列标志，你知道它们的意思吗？你能用一个数

2、学式子表示下列关系吗？提示最低限速50 km/h，v50；限制质量10 t,010；限制高度3.5 m,0h3.5；限制宽度3 m,0 x3；时间范围7：3010：00,7.5t10.问题2你能用不等式或不等式组表示下列问题的不等关系吗？(1)某社会团体成员要求，男性成员人数m应不多于50人，女性成员人数n不少于10人.(2)某大学生应聘某公司，要求月薪不低于3 000；提示设月薪为x元，则x3 000；(3)若小明身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮；提示xy；(4)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；(5)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短(如图).提示CD注

3、意点：(1)仔细审题，尤其注意同一个题目的单位是否一致；(2)用适当的不等号连接；(3)多个不等关系用不等式组表示.例1某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组).解设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，反思感悟用不等式(组)表示不等式关系的步骤(1)审清题意，明确表示不等式关系的关键词语：至多、至少、大于等.(2)适当的设未知数表示变量.(3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式.此类问题的难点是如何正确地找出题中

4、的隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围.跟踪训练1用不等式或不等式组表示下面的不等关系.(1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位：m)从地面算起不能超过4 m；解0h4；(2)a与b的和是非负实数；解ab0；(3)如图，在一个面积小于350m2的矩形地基中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L(单位：m)大于宽W(单位：m)的4倍.二、作差法比较大小问题3在初中，我们知道由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系，具体是如何规定的呢？提示设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，ab.知

5、识梳理基本事实依据ab_ab_a0ab0ab0，2x25x3x24x2.反思感悟作差法比较两个实数大小的基本步骤跟踪训练2比较(x3)(x7)和(x4)(x6)的大小.解因为(x3)(x7)(x4)(x6)(x210 x21)(x210 x24)30，所以(x3)(x7)2ab.当直角三角形变为等腰直角三角形，即ab时，正方形EFGH缩为一个点，这时有a2b22ab.于是就有a2b22ab.证明a2b22ab(ab)2.因为a，bR，(ab)20，当且仅当ab时，等号成立，所以a2b22ab0.因此，由两个实数大小比较的基本事实，得a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立.例3已知a0，b0.

6、(1)求证：a23b22b(ab)；证明a23b22b(ab)a22abb2(ab)20，当且仅当ab时，等号成立，a23b22b(ab).(2)求证：a3b3ab2a2b.证明因为a3b3(ab2a2b)a3b3ab2a2ba3ab2b3a2ba(a2b2)b(b2a2)(a2b2)(ab)(ab)(ab)2，因为a0，b0，所以(ab)(ab)20，当且仅当ab时，等号成立，所以a3b3(ab2a2b)0，所以a3b3ab2a2b.反思感悟比较两个数的大小关系，最基本的方法是利用作差法，通过因式分解或配方的方法，把“差”转化成几个因式乘积的形式，通过逻辑推理得到每一个因式的符号，从而判定两

7、个数的大小关系，通过逻辑推理进行证明.跟踪训练3已知a0，求证：a 2.证明方法一利用a2b22ab.当且仅当a1时，等号成立.1.知识清单：(1)用不等式(组)表示不等关系.(2)作差法比较大小.(3)重要不等式.2.方法归纳：作差法.3.常见误区：实际问题中变量的实际意义.课堂小结随堂演练1.某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为A.v120 km/h且d10 mB.v120 km/h或d10 mC.v120 km/hD.d10 m1234解析v的最大值为120 km/h，即v120 km/h，车间距d不得小于10

8、m，即d10 m.12342.完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是A.5x4yN B.MNC.Mb，则a2ab_bab2.(填“”或“b，所以(ab)20.课时对点练基础巩固1234567891011121314151.下面能表示“a与b的和是非正数”的不等式为A.ab0C.ab0 D.ab0解析a与b的和是非正数，即ab0.162.李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元，计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元.设x个月后他至少有400元，则可以用于计算

9、所需要的月数x的不等式是A.30 x60400 B.30 x60400C.30 x60400 D.30 x4040012345678910111213141516123456789101112131415163.某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式(组)表示就是解析“不低于”即“”，“高于”即“”，“超过”即“”，x95，y380，z45.123456789101112131415164.若xR，yR，则A.x2y22xy1 B.x2y22xy1C.x2y20，所以x2y22xy1.123456789101112131

10、4155.已知0a11,0a21，记Ma1a2，Na1a21，则M与N的大小关系是A.MNC.MN D.MN16解析0a11,0a21，1a110，1a210，MN.123456789101112131415166.(多选)下列说法正确的是A.某人月收入x不高于2 000元可表示为“xy”C.某变量x至少为a可表示为“xa”D.某变量y不超过a可表示为“ya”解析对于A，x应满足x2 000，故A错；BCD正确.123456789101112131415167.某商品包装上标有重量5001克，若用x表示商品的重量，则该商品的重量可用含绝对值的不等式表示为_.|x500|1解析某商品包装上标有重

11、量5001克，若用x表示商品的重量，则1x5001，|x500|1.123456789101112131415168.若x(a3)(a5)，y(a2)(a4)，则x与y的大小关系是_.xy解析因为xy(a3)(a5)(a2)(a4)(a22a15)(a22a8)70，所以x1.5，身高不足1.2米可表示为h1.5h5时，y1y2；当ny2，所以，当单位去的人数为5时，两辆车收费相同；多于5时，选甲车队更优惠；少于5时，选乙车队更优惠.123456789101112131415综合运用1611.足球赛期间，某球迷俱乐部一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A，B两个出租车队，A队比B队

12、少3辆车.若全部安排乘A队的车，每辆车坐 5 人，车不够，每辆车坐 6 人，有的车未坐满；若全部安排乘B队的车，每辆车坐 4 人，车不够，每辆车坐 5 人，有的车未坐满.则A队有出租车A.11辆 B.10辆 C.9辆 D.8辆12345678910111213141516解析设A队有出租车x辆，则B队有出租车(x3)辆，而x为正整数，故x10.12345678910111213141516因为a11，a21，所以a110,1a20，13.四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示.盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半.设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是12345678910111213141516A.h2h1h4 B.h1h2h3C.h3h2h4 D.h2h4h1解析根据四个杯的形状分析易知h2h1h4或h2h3h4.12345678910111213141516PRQPR.PRQ.拓广探究1234567891011121314151615.已知a，bR，若ab1，则a2b2的最小值是_，当且仅当ab_，取得最小值.21解析根据a2b22ab(ab)20，故a2b22ab2，当且仅当ab0即