自动控制原理七课件

1、第7章 状态空间分析设计方法线性系统理论的两大分支经典控制论现代控制论数学基础拉普拉斯变换线性代数、矩阵分析系统模型传递函数状态空间表达处理域频域时域应用对象SISO系统MIMO系统本章主要内容现代控制论的重要分支：状态空间设计方法系统模型 状态空间模型的建立、与传递函数描述之间的相互转化；系统分析 状态空间运动分析；能控性和能观性的基本概念与判据、能控、能观标准形及结构分解；系统综合 基于状态空间模型的控制系统设计方法极点配置和观测器设计。第一节 线性系统的状态空间数学模型 7.1.1 系统状态空间表达的基本概念 7.1.2 线性系统的状态空间描述 7.1.3 由机理分析建立状态空间表达式

2、7.1.4 由微分方程建立状态空间表达式 7.1.5 由传递函数建立状态空间表达式 7.1.6 状态空间表达式与传递函数矩阵7.1.1 系统状态空间表达的基本概念表示系统在过去、现在和未来时刻的状况状态能够完全描述系统行为的最小一组变量，只要给定了当前时刻的这组变量以及未来时刻作用在系统上的输入，那么系统在未来任意时刻的行为就可以完全确定。 状态变量选取的不唯一性以完全表征系统的状态变量为元构成的向量就是状态向量 状态向量以n个状态变量为基底所构成的n维空间就称为状态空间，状态空间中的一点就代表系统在某一特定时刻的状态。 状态空间7.1.2 线性系统的状态空间描述外部描述传递函数：不表征系统的

3、内部结构和内部变量，只反映外部变量组输入与输出间的因果关系内部描述状态空间，能够完全表征系统的一切动力学特征：不完全描述完全描述（1）状态方程：输入作用引起系统状态发生变化，通常为动态过程，可以采用微分方程来表示：（2）输出方程：状态和输入的改变决定了输出的变化，通常属于变量之间的相互转换，可用一般的代数方程表示：系统状态空间描述的结构示意图 7.1.3 由机理分析建立状态空间表达式建立状态空间表达式的方法:一是机理分析，选择适当的状态变量，建立其状态空间表达式；二是由其他已知的系统数学描述转化得到状态空间表达式。例：试列写下面两种简单系统电路系统和力学系统的机理方程，选择适当的变量作为状态变

4、量，并建立相应的状态空间表达式。 解：(1)弹簧-质量-阻尼器系统，外加拉力Fi为输入，质量单元的位移y为输出，根据牛顿第二定律可得:其中合力： 整理得：选定变量：得到状态方程：(2) RLC电路，设ei为输入，电压ec为输出，根据基本电路定律有：选择状态变量为 ，可推导出2个一阶微分方程组： 写成状态方程： 再根据输出 ，可得相应的输出方程为： 值得注意的是：状态变量选择的不同，得到的状态空间表达式也是不同的，这点与传递函数所代表的外部描述不同，对于一个系统，如果输入和输出确定，那么传递函数就是唯一确定的，而状态空间描述则根据状态变量选择的不同而不同，同一个系统可以具有不同的状态空间表达式。

5、问题：例如上面例题中提到的RLC电路，如果以作为一组状态变量， 则状态空间表达为.?系统的不同的状态空间描述就是同一个系统在不同的坐标系下的表征代数等价：给定一线性定常系统 ，如果引入一非奇异变换： 其中P是非奇异矩阵，经过状态变换后，系统可以写成 那么就称这两个状态空间描述是代数等价的。由于坐标系的选择带有人为的性质，而系统的特性却带有客观性，因此系统在坐标变换下的不变性和不变属性就反映出系统的固有特征。 7.1.4 由微分方程建立状态空间表达式仅限于单输入单输出线性定常系统：引入微分算子 ，则系统可以写成:分情况讨论：Case1：当mn时 则系统方程 可以改写为：引入中间变量：选取状态可以

6、得到系统的状态空间描述： Case2：当mn时 首先将系统方程有理分式严格真化：按照上面的算法可以转换成状态空间形式，经过中间变量 的作用，上式可以写成下面的形式：选择与mn情况下相同的状态变量：上述严格真有理分式按照上面的算法可以转换成状态空间形式，状态是一样的，得到的状态方程表达形式也是一样的，唯一不同的就是输出方程中比mn情况多了一项 ：状态方程为：优点：利用控制系统的微分方程系数 直接列写出系统的状态空间表达式。 举例：写出下列系统的状态空间表达解：上述两个系统分属于m0，通过0,t1段有限时间区间内所测得的输出y(t)可以确定出系统的初始状态x(t0)，那么就把x0称作是可观测状态。

7、如果状态空间中所有的非零状态都是可观测的，那么就称系统是完全能观测的。线性定常系统的能控性判定 1格拉姆矩阵判据 线性定常系统完全能控的充分必要条件是存在这样一个时刻t10，使得格拉姆矩阵 是非奇异的 注意：格拉姆矩阵判据主要应用于理论分析，这是因为在实际应用中，首先要计算出矩阵指数函数eAt，而当A的维数较大时并非易事，利用格拉姆矩阵判据可以推出一个较为实用的能控性判据，即秩判据。 由格拉姆矩阵求将状态转移到原点所需的控制输入：根据运动分析，系统的状态响应为 对于能控系统总可以找到t1时刻及作用在t0,t1上的容许控制u(t)，使得系统在t1时刻转移到零点，即根据格拉姆矩阵判据，格拉姆矩阵的

8、逆必定存在，于是就可以这样选取控制输入：解释：无论系统的初始状态x0位于状态空间中的何处，都可以按照上述公式中控制作用的选取方法，使得在t1时刻能够将系统状态从初始点转移到状态空间零点。这种控制的选择又称为按能控性格拉姆矩阵方式选取。一般来说，如果系统是能控的，能够把系统由初始状态x0转移到原点的输入控制有很多种，这是因为能控性对状态转移的轨迹没有任何要求。但相比较而言，在所有可以完成同一状态转移目的的控制输入中，按格拉姆矩阵方式选取的控制输入最好，它的耗能是最小的。 2秩判据线性定常系统完全能控的充分必要条件是称矩阵 为系统的能控性判别阵3PBH秩判据 线性定常系统完全能控的充分必要条件是对

9、矩阵A的所有特征值 ，均有下式成立：即 是左互质的。 4PBH特征向量判据 线性定常系统完全能控的充分必要条件是A不能有与B的所有列相正交的非零左特征向量，即对A的任一特征值 使同时满足的特征向量 5约当规范型判据 线性定常系统完全能控的充分必要条件是Case1:当A矩阵的特征根两两相异时，在导出的对角线规范型中，矩阵 不包含元素全为零的行。 Case2:A的特征值为时，导出的约当规范型那么矩阵 中对应每个约当块的最后一行行向量是线性无关的。换句话说，矩阵中对应每个约当块的最后一行行向量中无零行，且对应同一特征根的这些行分别是线性无关的。举例:给出了约当标准型 标准型中一共有三个约当块，系统是

10、完全能控的，必须保证B矩阵中对应每个约当块的最后一行非零，即是b3,b5,b6是非零的行向量，对应同一特征根 的这些行b3,b5分别是线性无关的。 例1：若 ，则系统是能控的若 ，则x1,x2,x4不能控，x3能控例2：给出线性定常系统,判断其能控性 解：1、秩判据:因此系统是完全能控的。2、PBH判据：首先计算出特征值 ，分别计算 是否都等于n， 线性定常系统的能观测性判定1格拉姆矩阵判据 线性定常系统完全能观测的充分必要条件是存在这样一个时刻t10，使得格拉姆矩阵 是非奇异的。和时变系统一样，定常系统的格拉姆矩阵判据主要应用于理论分析，这是因为在实际应用中，首先要计算出矩阵指数函数eAt，

11、而当A的维数较大时并不容易2秩判据线性定常系统完全能观测的充分必要条件是我们称矩阵Qo为系统的能观测性判别阵，这个结论完全是由线性定常系统能观测性的格拉姆矩阵的非奇异性推导而来，与格拉姆矩阵判据是完全等价的。 3PBH秩判据 线性定常系统完全能观测的充分必要条件是对矩阵A的所有特征值 ，均有下式成立：即sI-A和C是右互质的。 4PBH特征向量判据 线性定常系统完全能观测的充分必要条件是A不能有与C的所有行相正交的非零右特征向量，即对A的任一特征值 使同时满足 的特征向量 。5约当规范型判据线性定常系统完全能观测的充分必要条件是Case1 当A矩阵的特征根两两相异时，在导出的对角线规范型中，矩

12、阵 不包含元素全为零的列。 Case2:A的特征值为时，导出的约当规范型那么由矩阵 中对应每个约当块的第一列列向量是线性无关的。换句话说，矩阵中对应每个约当块的第一列列向量中无零列，且对应同一特征根的这些列分别是线性无关的。举例：给出了约当标准型 标准型中共有三个约当块，要保证系统是完全能观测的，则C矩阵中对应每个约当块的第一列非零，即c1,c4,c6是非零的列向量，对应同一特征根的这些列分别是线性无关的，即对应特征根 的列c1,c4是线性无关的。例：给出线性定常系统试用上述判据来判定给定系统的状态能观测性。解：秩判据：系统是完全能观测的。PBH判据：首先计算出特征值 ，分别计算 是否都等于n

13、， 给定线性定常系统 ：则它的对偶系统 为： 对偶原理 能控性和能观测性无论是从概念上还是从判据的形式上都是对偶的，这种对偶关系反映了系统的能控问题与估计问题之间的对偶性 对偶系统定义给定系统和对偶系统的方块图是对偶的 对偶系统又称为伴随系统，可以看出给定系统和对偶系统之间的状态维数一致，而给定系统的输入，输出维数分别等于对偶系统的输出和输入维数。对偶原理： 给定系统和对偶系统在能控性和能观测性上具有以下对应关系： 给定系统的完全能控性等价于对偶系统的完全能观测性，给定系统的完全能观测性等价于对偶系统的完全能控性。可根据能控性和能观测性的秩判据对上述对偶原理进行证明。 7.3.3 单输入单输出

14、系统的能控规范型和能观测规范型 对于完全能控或是完全能观测的线性定常系统，如果单从能控性或是能观测性这两个基本特性出发构造出一个非奇异变换，那么就可以把系统的状态空间描述在这一线性变换下，转化成只有能控系统或能观测系统才具有的标准形式。通常把这种标准形式的状态空间描述称为能控规范型，能观测规范型。 能控性规范型 给定系统 ，且系统是完全能控的，有特征多项式为 定义常数构造变换矩阵在变换 下，可以导出系统的能控标准型 其中举例：给定系统特征多项式为： 非奇异变换矩阵： 以及构造常数 得到系统的能控性标准型： 能观测规范型 对上述给定系统，矩阵A的特征多项式及常数定义不变，利用能观测性与能控性的对

15、偶关系，可以定义非奇异变换矩阵则利用变换关系 ，导出系统的能观测规范型： 其中讨论：1.能控性规范型和能观测规范型是通过一种简单的，明显的方式把系统的状态空间描述与反应系统结构特性的特征多项式联系起来，这对于讨论系统的综合控制及观测器设计问题给予了很大的方便，如讨论极点配置问题上，利用规范型中系统矩阵与特征多项式之间的关系可以轻易的写出经过配置后的能控规范型，与原始系统加以比较就可以很容易的找到相应的控制输入u，其他一些控制问题，如镇定，跟踪等都可以转化为适当的极点配置问题，另外观测器的设计也是基于能观规范型提出的。2.代数等价系统的能控性与能观测性保持不变。此外，对于完全能控（观测）的两个等

16、价系统来讲，虽然自身的状态空间表达不一样，但是他们的能控（观测）规范型完全一样。 7.3.4 结构分解 本节从系统动态方程角度来讨论不完全能控或不完全能观测系统的结构特性，即把状态方程按照能控性或能观测性或同时按照二者进行结构分解。把系统的结构以明显的方式区分成能控的，不能控的，或是能观测，不能观测，或者分解成能控且能观测部分，能控但不能观测部分，不能控但能观测部分以及不能控又不能观测四部分。研究系统的结构分解，一方面是为了了解系统的结构特性，另一方面可以看出状态空间描述与输入输出描述之间的本质差别。 对线性系统加以结构分解是基于结论：两个代数等价系统或是说对系统进行线性非奇异变换，并不会改变

17、系统的能控性与能观测性，也不改变系统的不完全能控及不完全能观测程度。 按能控性分解 不完全能控系统 ， 在n个状态中只有k个是能控的，其余n-k个状态是不能控的，按能控性进行结构分解就是找到这k个能控的状态，并写出能控子系统与不能控子系统分别对应的状态方程，采用的方法就是线性非奇异变换。 非奇异变换矩阵的构造从 中任意选取k个线性无关列，记作 ，此外在从n维实数空间中任意选取n-k个线性无关列向量 ，并保证这n-k个列向量与原来的k个列向量都是线性无关的，这样就组成了非奇异变换矩阵： 通过非奇异变换 ，就可以把原系统按能控性进行结构分解： 注意：非奇异变换矩阵P任意的，所以结构分解后得到的系统

18、总体形式上虽然都一样，但矩阵中具体的元素值是不同的，唯一确定不变的是 (能控部分系统矩阵)是k维的，（不能控部分系统矩阵）是n-k维的。 在这样的分解规范表达式中，系统被明显的分解成能控部分和不能控部分。能控部分的k维方程为：n-k维不能控子系统： 方块图：举例:重新排序： 讨论： 不能控部分是系统内部完全不受外加作用控制的。 经线性非奇异变换后，系统特征值不变，即系统特征值被分成两部分，能控振型，不能控振型。经非奇异变换后，系统的传递函数保持不变，即：可见系统的传递函数是一种不完全的描述,只能反应出系统能控部分的特征值。按能观测性分解 不完全能观测系统 ， 在n个状态中只有k个是能观测的，其

19、余n-k个状态是不能观测的，按能观测性进行结构分解就是找到这k个能观测的状态，并写出能观测子系统与不能观测子系统分别对应的状态方程，采用的方法就是线性非奇异变换。 非奇异变换矩阵的构造从 中任意选取k个线性无关行，记作 ， 再从n维实数空间中任选n-k个线性无关行向量 并保证这n-k个行向量与原来的k个行向量都是线性无关的，这样就组成了非奇异变换矩阵： 通过非奇异变换 ，就可以把原系统按能观测性进行结构分解： 注意：非奇异变换矩阵Q是任意的，所以结构分解后得到的系统总体形式上虽然都一样，但矩阵中具体的元素值是不同的，唯一确定不变的是 (能观测子系统矩阵)是k维的， （不能观测子系统矩阵）是n-

20、k维的。 在这样的分解规范表达式中，系统被明显的分解成能观测部分和不能观测部分，其中能观测部分的k维方程为：n-k维不能观测子系统：讨论： 系统的输出完全体现了可测状态，而不能观测部分没有输出与之对应。经线性非奇异变换后，系统特征值不变，即系统特征值被分成两部分：能观测和不能观测特征值。经非奇异变换后，系统的传递函数保持不变，即：可见系统的传递函数只能反应出系统能观测部分的特征值，是一种不完全的描述。规范分解 如果系统是不完全能控且不完全能观测的，那么单纯对系统进行一次分解（按能控性或是能观测性）并不可能对整个系统的结构有完全的了解，这时必须进行二次分解，在能观测性分解的基础上进行能控性分解，

21、这样才可能对系统的结构有更好的了解。把同时按照能控性和能观测性进行结构分解称为规范分解。注意：规范分解时必须先按能观测性进行分解，然后再进行能控性分解，而不能先对系统按能控性进行分解，然后再分别对能控子系统和不能控子系统按能观测性分解，其原因就在于按能控性分解后得到的能控性子系统的输出和不能控子系统的输出之和才是整个系统真正的输出，系统的能观测性反映的是输出对状态的观测能力，它与子系统的输出和对状态的观测能力是不同的，所以分别对能控子系统和不能控子系统再按能观测进行结构分解，得到的结果可能是错误的。 首先进行能观测性分解得： 能观测和不能观测状态中同时都包括能控和不能控的两部分，为此要对能观测

22、子系统和不能观测子系统再按照能控性进行分解：系统传递函数为只反应出能控且能观测那部分的特征值，而不能控或是不能观测那部分的特征值模态再传递函数中并没有体现。这些不能控或是不能观测的模态代表了系统的内部特征，在有关文献中被称为隐藏模态。所以说状态空间描述要比输入输出描述全面，它不光能够反应出系统的外部特征，同时也可以体现系统的内部特征。本节开始讨论线性系统的综合问题，其研究内容是已知系统的结构，参数以及所期望得到的系统运动形式或是其他某些特征，需要确定施加于系统的外加输入作用，也就是控制律。反馈是系统综合设计的主要方法。由于在经典控制论中系统采用传递函数描述，只能是采用输出量作为反馈变量，而现代

23、控制理论由于采用系统内部的状态变量来描述系统，因此除了输出反馈形式以外，还常常采用状态反馈。 7.4 线性系统的状态反馈与极点配置 7.4.1 状态反馈与输出反馈控制作用u一般是依赖于系统的实际响应，也就是说控制作用u可以表示成系统状态或输出的一个线性向量函数：简称状态反馈或输出反馈,其结构图如下：状态反馈与输出反馈的构成：状态反馈输出反馈闭环状态空间描述闭环传递函数矩阵 显然两种反馈都改变了系统的系数矩阵，但并不能说这两种反馈形式在改变系统结构属性和实现性能指标方面具有相同的功效。事实上，在改善系统性能方面，状态反馈的效果要远远优于输出反馈，而输出反馈的作用要远远小于状态反馈。状态、输出反馈

24、对系统性能的影响结论1：状态反馈的引入不改变系统的能控性，但可能改变系统的能观测性。结论2：输出反馈的引入能够同时不改变系统的能控性和能观测性注意：系统经过反馈之后，能控性（或能观测性）不发生改变，包含两部分的意义：对于完全能控（或完全能观测）的系统来讲，反馈系统仍旧是完全能控的（或完全能观测的）；另外对于不完全能控（或不完全能观测）的系统来讲，反馈后系统能控（或能观测）子空间及不能控（或不能观测）子空间的维数保持不变。 例：给定系统1）判断能控性和能观测性（完全能控，完全能观）2）引入反馈：K=0 4，可得反馈系统：判断反馈系统能控性和能观测性（完全能控，不完全能观测）：3）引入反馈：K=0

25、 5，可得反馈系统：判断反馈系统能控性和能观测性（完全能控，完全能观测）：状态反馈与输出反馈的比较从反馈信息性质的角度比较：状态反馈所反馈的信息是系统的状态，是一种可以完全表征系统结构的信息，所以状态反馈又称为完全的系统信息反馈。而输出反馈所反馈的信息是系统输出，这是一种不完全的系统信息反馈。一般来说要想是系统获得良好的动态性能，必须采用完全的信息反馈，也就是状态反馈。从改善系统性能上比较：状态反馈要比输出反馈强，但也不是说就不再用输出反馈。要想使输出反馈也能达到满意的性能，就应该引入串联补偿器和并联补偿器，构成一个动态的输出反馈系统。通常情况下，补偿器是阶次较低的线性系统，它的引入提高了整个

26、反馈系统的阶次，这也是它的一个主要缺点。从反馈系统的工程实现角度比较：因为输出变量是可以直接测量的，因此输出反馈显然要比状态反馈更容易在工程中实现。从这一点上来看，输出反馈要优于状态反馈。要想解决状态反馈的实现问题，就必须引入一个附加的状态观测器。带有状态观测器的状态反馈系统也存在着一个明显的缺点：大大地提高整个反馈系统的阶次。7.4.2 状态反馈极点配置 状态反馈极点配置问题就是找到这样一个反馈控制 ，使得所导出的状态反馈闭环系统 的极点达到期望极点 进行极点配置的主要原因就在于通常情况下，期望的闭环极点体现了综合问题中的一些性能指标，如时域中的过渡过程时间、超调量、调整时间以及频域中的增益

27、稳定裕度，相位稳定裕度等这些直观的系统性能指标经过转换，经验估计，可以对应系统的极点位置。进行极点配置实际上就是让系统达到所要求的性能指标。极点配置条件定理：线性定常系统可以通过线性状态反馈在S平面上任意配置其全部极点和特征频率的充要条件是系统是（A，B）完全能控的。理解：如果系统不完全能控，通过结构分解，系统可以分解成两个小子系统：能控与不能控的，取状态反馈显然状态反馈只能改变能控子系统的特征频率，而对不能控部分却丝毫不起作用，因此只有当系统完全能控时，才可以在S平面上任意配置其特征频率。单变量系统（SI）的极点配置算法判断系统是否能控，如果是，则系统可以进行极点任意配置，继续第二步，否则停

28、止。计算A矩阵的特征多项式：确定闭环系统的期望特征多项式：计算增益矩阵：计算非奇异变换矩阵P（将系统转化为能控标准型）：反馈增益矩阵：算法思路能控标准型是将状态空间表达形式与系统特征根或特征多项式联系的最简形式，而任意给定的系统通常不具有能控标准型的形式，首先采用非奇异变换 , 把系统转化成标准型：要想将此标准型的极点配置到期望值所采用的反馈为 ，即 因为所需状态反馈是针对初始状态x，而不是变换后的 ，所以对上述反馈增益矩阵要再经过一次变换才可以，即其中 就是所需要的状态反馈增益矩阵 注意：如果是低阶系统（n 3），则将线性反馈增益矩阵K直接代入期望的特征多项式，可能更为简便。例如，若n =

29、3，则可将状态反馈增益矩阵K写为 将该阵K代入期望特征多项式 ，并使令方程两端s同次幂系数相等可以确定k1，k2，k3的值例1 考虑如下线性定常系统式中希望该系统闭环极点为s = -2j4和s=-10。试确定状态反馈增益矩阵K。解：首先需检验该系统的能控性矩阵： 系统是状态完全能控的，可任意配置极点。下面用前面介绍的2种方法分别求解。方法1：采用单变量系统的极点配置算法。该系统的特征方程为：期望的特征方程为参照式 ，且系统表达本身就是能控标准形，即P为单位阵，可得方法2：设期望的状态反馈增益为并使 和期望的特征多项式相等，可得因此从中可得 显然，这两种方法所得到的反馈增益矩阵K是相同的。使用状

30、态反馈方法，正如所期望的那样，可将闭环极点配置在s = -2j4和s = -10处。注意 对于单输入单输出系统而言，状态反馈并不会改变系统的零点，但是可能会出现这种情况：引入状态反馈后，恰好把某些极点配置到与零点相同的位置上，从而产生了零极点对消，造成了被抵消的极点变成不可观测，这就是状态反馈可能引起系统能观测性发生改变的直观解释。从极点配置条件可知，只要系统是完全能控的，那么无论系统开环矩阵是否稳定，都可以通过适当选择的反馈矩阵使得系统变成稳定。而且控制作用的大小与闭环极点的位置有关。开环极点经反馈后被移动的幅度越大，那么反馈的控制作用越剧烈，反馈增益也就越大。对于给定系统和期望性能指标，状

31、态反馈矩阵K不唯一，而是依赖于期望闭环极点的位置。首先工程上要求系统都是稳定的，所以闭环极点一定选在左半平面上。另外如果系统是2阶的，那么系统的动态特性（响应特性）正好与系统期望的闭环极点和零点的位置联系起来。对于更高阶的系统，通常可以根据上升时间、超调量、回复时间等性能指标，按照主导极点的原则来选取所期望的闭环极点位置。在确定K时，最好通过计算机仿真来检验系统在几种不同矩阵（基于几种不同的所期望的特征方程）下的响应特性，并且选出使系统总体性能最好的矩阵K。 输出反馈的极点配置问题给定SISO系统，取输出反馈为闭环系统的传递函数为其中输出反馈的闭环特征方程为： 输出反馈闭环极点分布在当 时，从

32、开环极点出发到开环零点中止的这样一条轨线上，这就体现了输出反馈的局限性，即它不能任意配置系统的极点。如果在引入输出反馈的同时，适当地选取补偿器的结构和特性，那么就可以实现输出反馈系统的全部极点任意配置。 通常状态观测器也是一个动态系统，利用原系统中可以直接测量的变量，如输入变量和输出变量作为它的输入信号，并使它的输出信号 渐近等价与被观测系统的真实状态7.5 状态观测器设计 状态反馈性能上的无比优越性与物理上的不可实现性形成尖锐的矛盾 状态观测器分类 全维观测器：观测器与系统维数相同 降维观测器：观测器维数小于系统维数，即： 7.5.1 全维状态观测器的设计 考虑如下线性定常系统在有关状态观测

33、器的讨论中，用 表示被观测状态。 设计思路：利用系数矩阵(A,B,C)来对被估计系统进行直接复制，即可达到状态重构的目的。如果保证观测器的初始状态和输入与给定系统的完全相同，那么就可以实现在整个时间区域上的状态复制。这是一种完全的状态重构。一般来讲，这种开环型的观测器本身没有任何的实际价值。上述开环型的观测器很难应用，主要缺点有：一要使用此观测器必须计算出系统的初始状态，并设置观测器的初始状态与给定系统相同；二是如果系数矩阵A中包含了不稳定特征根的话，那么即使观测器和给定系统的初始状态存在微小的差异，也会随着时间的增加而无限放大。误差方程为：引入一个修正项 ，这时就利用给定系统的输入和输出构成

34、了反馈型观测器：观测器增益矩阵 起到加权矩阵的作用。修正项监控状态变量 ，使其渐近跟踪系统的真实状态。 误差动态由A - LC特征值决定。选择适当L使得误差动态特性渐近稳定且足够快，则任意误差向量e(t)都将以足够快的速度趋近于零 (原点)，称为x (t)的渐近估计或重构。观测器误差方程：可观测条件全维状态观测器的设计问题，是确定观测器增益矩阵L，使得误差动态方程以足够快的响应速度渐近稳定（渐近稳定性和误差动态方程的响应速度由矩阵A-LC的特征值决定）。因此，全维观测器的设计就归结为如何确定适当的L，使得A-LC具有期望的特征值。此时，全维状态观测器的设计问题实际上就变成了与极点配置相同的问题

35、。系统的状态观测器存在的充要条件是对偶系统完全能控或给定系统是完全能观测的。 在设计全维状态观测器时，求解如下对偶系统的极点配置问题： 如果对偶系统是状态完全能控的，则可确定状态反馈增益矩阵K，使得反馈闭环系统的系统矩阵 得到一组期望的特征值：注意到与观测器系统矩阵的特征多项式相比较，可找出L和K的关系为 因此，观测器问题与极点配置问题具有对偶关系，即解释全维状态观测器的计算 能观标准型是将状态空间表达形式与系统特征根联系的最简形式，而任意给定的系统通常不具有能观标准型的形式，所以首先采用非奇异变换 , 把系统转化成标准型：其中要想将此标准型对偶系统的极点配置到期望值所采用的增益矩阵为 ，即

36、上述观测器增益是针对变换后的状态 ，而不是初始状态空间x，所以需对其进行变换回到原空间，即 观测器的方程为 当观测器期望极点的实部太负，使衰减太快，将导致观测器的作用接近于一个微分器，从而使频带加宽，不能避免地将高频噪声分量放大，而且也存在观测器的可实现性问题 (因为衰减速度太快，则矩阵较大)，因此进行观测器本身的极点配置时，只需使期望极点比由此组成的闭环反馈系统的特征值稍大一些即可。一般地，选择期望特征值时应使状态观测器的响应速度至少比所考虑的闭环系统快25倍。 注意，迄今为止，均假设观测器中的矩阵A和B与实际系统中的严格相同。实际上，这做不到。因此，误差动态方程不可能由 给出，这意味着误差

37、不可能趋于零。因此，应尽量建立观测器的准确数学模型，以使相应的误差小到令人满意的程度。 求观测器增益矩阵L的直接代入法与极点配置算法的情况类似，如果系统是低阶的(n=3)，可将矩阵L直接代入期望的特征多项式进行计算。例如，若x是一个3维向量，则观测器增益矩阵L可写为将该L代入期望的特征多项式通过使上式两端s的同次幂系数相等，即可确定出l1 、 l2和l3的值。如果n =1,2或3，其中n是状态向量x的维数，则该方法十分简便（虽然该方法可应用于n = 4, 5, 6, 的情况，但计算有可能非常繁琐）。最优L的选择作为对观测器动态方程修正的增益矩阵L ，通过反馈信号来考虑系统中的未知因素。如果含有

38、明显的未知因素，那么利用矩阵L的反馈信号也应该比较大。然而另一方面，如果由于干扰和测量噪声使输出信号受到严重干扰，则输出y是不可靠的。因此，由矩阵L引起的反馈信号应该比较小。在决定矩阵时，应该仔细检查包含在输出y中的干扰和噪声的影响。 应强调的是观测器增益矩阵L依赖于期望特征根1, 2, ,n的选取，通常选择几组不同的期望特征根的基础上决定L并进行仿真验证，以评估系统的最终性能。应从系统总体性能的观点来选取最好的。在许多实际问题中，最优矩阵的选取，归结为对快速响应及对干扰和噪声灵敏性之间的一种折衷。例 考虑如下的线性定常系统式中设计一个全维状态观测器，期望特征值为 解：先检验系统的能观测性，即

39、秩为2。系统是完全能观测的，并且可确定期望的观测器增益矩阵。将用2种方法来求解该问题。方法1： 由于该状态空间表达式已是能观测标准形，因此变换矩阵Q=I。由于给定系统的特征方程为观测器的期望特征方程为 故观测器增益矩阵可求得如下则观测器方程为 方法2： 直接代入法，定义则此时特征方程为期望的特征方程为 二者比较可得即无论采用什么方法，所得的都是相同的。 最小阶观测器全维观测器是重构所有的系统状态变量。实际上，有一些状态变量是可以准确量测的。对此类状态变量就不必估计了。假设状态向量x为n维向量，输出向量y为可量测的p维向量。由于p个输出变量是状态变量的线性组合，所以p个状态变量就不必进行估计，只

40、需估计n-p个状态变量即可，因此， 该降维观测器为n-p维 观测器，又称为最小 阶观测器。 设计最小阶观测器的步骤1. 判断系统是否能观测，如果是，则继续下面的设计步骤。2. 通过某线性变换 ，使得系统可测量的输出 ，即将系统的前q个状态变量可以直接用输出表示，剩余n-q个状态变量采用观测器进行估计。3. 列写剩余n-q个状态变量的状态方程与输出方程，按照全维状态观测器设计的方法，对其进行n-q维观测器的设计4. 最后将系统输出和剩余n-q个状态变量的估计值组合，写出全部状态的估计表达。(n-p)维子系统动态方程的建立设可观测被控系统动态方程为将状态x分解成两部分 ，其中 是q个直接由输出测得的状态变量，为此引入非奇异变换变换后系统动态方程为因此有将变换后系统展开得：令则v可以看作是n-p维子系统的输入向量，z可以看作是n-p维子系统的输出