18讲十八答案第四

1、第四讲特的绝对风险回避指数： R (w) u (w)1的是-au(w)由题设可知： u(w) abebw ； u (w) ab2ebw 则 R (w) u (w) bau(w)2未必，其实 1 题就是一个很好的反例，其实，这是老生常谈的数学问题：一个函数的原函数是无穷多的；R (w) u (w) cau(w)u(w)u(w)du(w)du(w)u(w)1 c ；即u(w) c dw则dwlnu(w) c w C1两边积分du(w) C ecw2dwu(w) C2 ecw C u(w) Cecw C3c（ C1 、C2 、C3 与C 为任意常数）在这里，要再次强调：在消费者偏好时，只要求消费者能

2、对所有的消费组合按偏好次序作出一致的排列，效用值本身不没意义，通过单调变化，就出同一消费者的各种效用函数，所以，消费者的效用函数不是唯一的；E(w) 1 900 4 100 260455由题意： u(w) 1 2w ； u (w) 2 则3-特的绝对风险回避指数：4-9-112/13/2005 5:47:34 PMu(w)至于此人的效用函数，由题设可知，在同样的效用水平，其期望收入小于确定值收入；也就是说，当期望收入等于确定值收入时，期望收入所带来的效用水平大于确定值收入所带来的效用水平，由此可知此人 为风险者；其效用函数只要满足u (w) 0就行，如u(w) w2 等。www12u(Ew)

3、u(w2 )u(w1 )u (w)24 2Ra (w) u(w)； R (w) 1 2wa(1 2w)20 ，由此可知，-特的绝对风险回避指数是的严格增函数。特的绝对风险回避指数： R (w) u (w) 是否小于零5的是-au(w)（1） R (w) u (w) 1 ； R (w) 1 0au(w)w a(w )2（2） R (w) u (w) 0 ；u(w)a（3） R (w) u (w) 1 ； R (w) 1 0au(w)w a(w )2（4） R (w) u (w) 2 ； R (w) 2 0au(w)waw26Eu 9 160000 1 90000 40000 3851020当此人

4、保险时，他的标准为投保后的期望效用不小于之前的期望效用；即： R 385R 11004由上可知，消费者愿意提供的最大金额为 11004 元。4-9-212/13/2005 5:47:34 PMu(w)假定两场火灾是否发生是相互独立的，而且无论哪一场火灾发生，消费u(w)者只能一份保险，此消费者的主要 u(Ew)的标准为效用。但这主明的是，这时消费者先有投保的要求，而保险公司开始并没有提出索价。所以，消费者只能根据自己的期望效用来确定自己所能放弃的最大金额，而不是根据损失金额和火灾出现的概率的乘积的金额来做标准。ww上图中的绿箭头为消费者愿意提供的最大金额，蓝箭头为保险公司的公平保险金额。紫箭头

5、为保险公司所得的利润。如果保险公司提供公平保险价格，整个社会得到了效用改进。进一步提问：如何求解方程？首先，方程改为： R 385当放大方程左边时，即把 R 7620 看成 R 时，方程变为：160000 R 385 ；R 11775 ；此时，出：而当缩小方程左边时，即把 R 看成 R 7620 时，方程变为：160000 7620 R 385 ；R 4155 ；4155 R 11775 ；由上可知， R 的取值范围：现在，“异想天开”的认为：R* 0.1 4155 0.9 11775 11013当把 R* 11013 代入方程得：0.1 160000 7620 R * 0.9 160000

6、R * 384.988通过不断的捣鼓（其中一个简便的办法是把根号取整）；会得到其；9 根据十八讲的 P58-59 的内容，可为 A,B,C,D 构造期望效用函数，有条件可知，C 0.08 A 0.92Du( A) 1;u(B) 0.4;u(C) 0.08;u(D) 07 设 U1 U (10000) ；U2 U (1000) ；U3 U (0)1 严格偏好于 2：U1 9U2 2U1 6U2 2U3 ；3U2 U1 2U33 严格偏好于 4： 2U1 6U2 92U3 U1 9U2 90U3 ；3U2 U1 2U3可知他的选择不是一致的；由此，12 如果此人参赌，那么他的期望效用最少要与不参赌

7、时的效用一致，这是他的 ln(w x) (1 ) ln(w x) ln w； 1 对参赌额进行求导：w xw xx 2 w wx 0当 1 时，此人的参赌额为：24-9-312/13/2005 5:47:34 PM另一种做法：此消费者追求最大化 VNM 函数，其中 x x( ) ，从第一种做法，可知参赌额与获胜概率之间是存在联系的；这时，他是追求期望效用最大化，而不是只要才是他的最优选择：Max ln(w x( ) (1 ) ln(w x( )设W w x ；则 w x W 2x ；原式变为：Max ln(W 2x( ) (1 ) ln(W )“保本”；这对求一阶导，得：ln(W 2x( )

8、2x( ) ln(W ) 0W 2x( )2WdxlnW 2x( )W 2x d1ln W 2x( ) dx dW 2x( )2W ) 1W 2x( )W 2x(ddx 两边积分：ln2W122c lnW 2x 122c lnw x 把W w x 代入得：122c lnx w因为当 0 时，消费者不会参赌， x 0 ，当 1时，消费者会把全部都赌上，x w 代入上式都不能解出c ，这是因为题目中没有给出初始值，所以在这里保留c或令c 1，则分别得出：12122c ln2lnx w ； x w当 1 时，代入得：212122c2x w ； x w 1.7 wln 1ln 1224-9-412/1

9、3/2005 5:47:34 PM进一步提问：这个合理吗？因为的第一项为常数，当 w 大于这个常数时，则 x 为负数；此负数绝对值的大，可看出即使当 1 时，此小可理解为：表示此人不愿参赌的程度。由2人也有可能不参赌，请想现实中所发生的情况。（这道题困扰了我三天，三天之内什么书都没看进，如果直接解方程，到了 w w x x ln w x ，我无论如何都不能解出，w2 x2w x其中，如果没有想到等价代换的话，也许还得一回，好险，好险）8 由效用函数的性质可知，效用函数为消费束的非减函数，效用函数的比较可等价于期望收益的比较；设三种的期望收入的变化量为：Ew1 pA (x 2) (1 pA )(

10、2) pAx 2Ew2 0Ew3 pB (x 2) (1 pB ) 2 pB x 2由题设的三种排列序，可知 Ew1 Ew2 Ew3 。其中可知， pAx 2 0 ；pB x 2 0 ；又由0 p 1， pA pB 1，解不等式得： pA 1 2（1）能得到 pA pB ，而且能得到 pA 1 2 ；，因为 Ew1 Ew2 Ew3 由上（2）消费者为风险回避者时，他会选择参与 A 的可知， pAx 2 0 ，则 pAx 2 。进一步（1）：如果由多于两匹马的赛跑的话，重复只能得到 pA pB ，而不能得到 pA 1 2 ；：（2）消费者为风险回避者时，他会选择参与 A 的，因为 Ew1 Ew2

11、 Ew3 由上可知， pAx 2 0 ，则 pAx 2 。一、为什么不能确定其值？因为题中有三个未知数；但只有两个相关不等式，或者说只有一个含有两个未知数的不等式。二、两匹马赛跑时，当 pAx 2 时，消费者真的会参赌吗？为了充分的搞清楚这个问题，当消费者为风险回避者时首先要区分消费者的类型：4-9-512/13/2005 5:47:34 PM当消费者为风险者时大家可以画出当消费者为风险中性者时的图形。由以上分析得：u(Ew) u(0)u( pi x 2) u(0)4-9-612/13/2005 5:47:34 PM当李下注在A马上时：u (w)A在这，需要清楚（效用函数的比较可等价于期望收益

12、的比较）和（效用函数与期望收益的比2 Ew10较）之间的区别，前者只是定性分x 2析，而后者之间的值则不能等额比wu(0)较。在图中的收益变动率为零时当李下注在B马上时：即0 ，并不代表u(0) 或u(Ew 0)u (w)B等于零，而当w 0 时，并不代表一定有u(Ew 0) u(0) ，只有当u(Ew) u(0) 时，消费者才会参20赌（所以，应在图中画得尽量u(0)x 2一般化一点，以免误导）。wEw3当李下注在A马上时：u (w)当概率为零时，其期望收益为A-2；当概率为一时，其期望收益为u(0)x-2；两图的区别在其概率不同，从 20Ew1 pA x 2x 2 而导致了纵轴的移动，当概

13、率越大w 时，纵轴越靠左。由上图可知， Ew1 和当李下注在B马上时：Ew 是分布在-2 到 X-2 之间，只有3期望效用大于不赌时的效用时，他才会参赌，这取决于 P 值和 X；即当 Ewi 与 uEwi 的组合分布在蓝线段或 Ew3 与 uEw3 的组合是分布在紫线段时，他才会参赌。uB (w) 2u(0)Ew30 x 2wpi x 2（此题困扰着我长达二天之久，通过在不断写的过程中，灵感在不断的涌现。）10（1） Eu(w) 0.25ln80000 0.75ln100000 11.457139（2）根据需要函数可知，消费者为风险回避者；11 457139 94574.106 ;则消费者愿意

14、最多支付的保险金额（3）根据（1）所得；为：100000 94574.106 5425.894（4）公平保险费为25% 20000 5000 元，保险公司的纯收入为：5425.894 5000 425.89411（1）由效用函数的性质可知，效用函数为消费束的非减函数，由题设可知，当期望收益（所得货币）小于支付货币时，其期望收益（所得货币）的效用大于支付货币的效用，此时，此人为风险喜爱者。（3）消费者的主要的标准为效用:11111Eu1 (42 252 ) 3.5; Eu2 0.4 92 0.6 162 3.62Eu1 Eu2 ;所以此人偏好于第二种收益。11111另一种解法： uE1 ( 4

15、25)2 14.52 ;uE2 (0.4 9 0.6 16) 2 13.222uE1 uE2 ;所以此人偏好于第一种收益。第二种解法对吗？4-9-712/13/2005 5:47:34 PMu(w)u(w )当消费者下价值为 wo 的1uwo 时，他有 p 的概率获得w1 的；而有剩下1 p 的概率这张会打水漂；这时的期望小于的价格，而消费者却热衷于此，这说明买所带来的期望效用大于wo 所带来的效u(Ew)用；uwo 从图中，可看出，只有当消费者为风险者时，才会使得u(Ew)Eu(w)大于uwo 。w1Ewwow（2）4-9-812/13/2005 5:47:34 PM题中只能得出期望收入相等，但不能得出期望值得效用相等的结论。因为此结论中还忽略了方差的存在，即前者比后者的变化范围小，所以相对平稳，对两者的评价还要看消费者对风险的态度如何，图中可能更加一目了然。510152025在这里，首先要Eu2 (w)区分一下期望值的效用与期望效用，因为题目是让比较期望收益的效用，这等价于出去风险升水的效用曲线上的某点的效用水平，而第二种方法所得的是期望值得效用，之间的区别是存在风险生水和风险升水所带来的效49E2E1