高中数学函数的性质单调性奇偶性最值

1、函数的单调性和奇偶性经典例题透析.证明函数类型一、函数的单调性的证明.证明函数上的单调性证明： 在（0， + ）上任取 x1、x2（x1x2）， 令 x=x 2-x10 x10，x20，上式 0， y=f(x 2)-f(x 1) 0上递减 .总结升华：证明函数单调性要求使用定义；如何比较两个量的大小？ （作差 ）如何判断一个式子的符号？ （对差适当变形 ）举一反三：【变式 1】用定义证明函数上是减函数 .思路点拨： 本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径证明： 设 x1，x2 是区间上的任意实数，且 x1 x2，则0 x1 x21 x1-x20，0 x1x210 x1

2、x2 0 x1f(x2)上是减函数 .总结升华：可以用同样的方法证明此函数在 上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象类型二、求函数的单调区间. 判断下列函数的单调区间；上递减，(1)y=x 2-3|x|+2 . 判断下列函数的单调区间；上递减，(1)y=x 2-3|x|+2 ； (2)解： (1)由图象对称性，画出草图在 上递增.(2)图象为f(x) 在上递增举一反三：【变式 1】求下列函数的单调区间：(3)y=|x+1| ； (2)(3)解： （1） 画出函数图象，函数的减区间为 ，函数的增区间为 （-1， + ）；（2）定义域为（2）定

3、义域为其中 u=2x-1 为增函数，在（-， 0）与（0，+ ）为减函数，则上为减函数；（3）定义域为 （-， 0）（0，+），单调增区间为： （-， 0），单调减区间为（0，+）.总结升华：数形结合利用图象判断函数单调区间；关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关 .复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数； 利用已知函数的单调性解决 .关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化 复合函数为减函数 .类型三、单调性的应用 （ 比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小 值）3. 已知函数 f（x） 3. 已知函数 f（x）

4、在（0，+ ）上是减函数，比较f(a 2-a+1)与的大小 .解：又 f（x） 在（0，+ ）上是减函数，则； 1)x 5，10； 2)x(-3，-2)(-2，1)；y=x 2-2x+3 ； 1)x-1，1； 2)x-2，2. 思路点拨： (1) 可应用函数的单调性； (2)数形结合 .2 个单位，再上移 2 个单2 个单位，再上移 2 个单解：(1)1)f(x)在5，10上单增， 2)画出草图1)yf(1) ， f(-1) 即2，6；2)举一反三：变式 1】已知函数 (1)判断函数 f(x) 的单调区间；(2)当 x1，3时，求函数 f(x)的值域 .但对解析式稍作处理， 即思路点拨： 这个

5、函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间，但对解析式稍作处理， 即可得到我们相对熟悉的形式，第二问即是利用单调性求函数值可得到我们相对熟悉的形式域.解：(1)上单调递增，在 上单调递增；(2) 故函数 f(x)在 1，3上单调递增 x=1 时 f(x) 有最小值， f(1)=-2x=3 时 f(x) 有最大值x1，3时 f(x)的值域为5. 已知二次函数f(x)=x 25. 已知二次函数f(x)=x 2-(a-1)x+5 在区间上是增函数，求：(1)实数 a 的取值范围； (2)f(2) 的取值范围解： (1)对称轴是决定 f(x) 单调性的关键，联系图象可知只需(2) f(2)=2 2-2(a

6、-1)+5=-2a+11 又 a 2， -2a-4 f(2)=-2a+11 -4+11=7类型四、判断函数的奇偶性. 判断下列函数的奇偶性：(1)(2)(3)f(x)=x 2-4|x|+3. 判断下列函数的奇偶性：(1)(2)(3)f(x)=x 2-4|x|+3(4)f(x)=|x+3|-|x-3|(5)(7)(6)(7)思路点拨： 根据函数的奇偶性的定义进行判断解： (1) f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此 f(x)为非奇非偶函数；不关于原点对称， f(x) 为非奇非偶函数；(2)x-10， 不关于原点对称， f(x) 为非奇非偶函数；对任意 x R，都有 -x R，且 f(-x)=

7、x 2-4|x|+3=f(x) ，则 f(x)=x 2-4|x|+3 为偶函数 ；xR，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x) ， f(x) 为奇函数；(5)， f(x)为奇函数；(6) x R ， f(x)=-x|x|+x f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x) ， f(x) 为奇函数；(7)，f(x)为奇函数 .举一反三：【变式 1】判断下列函数的奇偶性：(1) ； (2)f(x)=|x+1|-|x-1| ；(3)f(x)=x 2+x+1 ；(4) . 思路点拨： 利用函数奇偶性的定义进行判断 .解：(1)(2)f(-x)=|

8、-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x) f(x) 为奇函数；f(-x)=(-x) 2+(-x)+1=x 2-x+1 f(-x) -f(x)且 f(-x) f(x) f(x) 为非奇非偶函数；任取 x 0 则 -x 0， f(-x)=(-x) 2+2(-x)-1=x 2-2x-1=-(-x 2+2x+1)=-f(x) 任取 x0 f(-x)=-(-x) 2+2(-x)+1=-x 2-2x+1=-(x 2+2x-1)=-f(x) x=0时，f(0)=-f(0) xR时， f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数 .举一反三：【变式 为偶函数 .证明：2】已知 f(x)

9、，g(x)均为奇函数， 且定义域相同， 求证：f(x)+g(x) 为奇函数， f(x) g(x) 设 F(x)=f(x)+g(x) ， G(x)=f(x) g(x) 则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-f(x)+g(x)=-F(x)G(-x)=f(-x) g(-x)=-f(x) -g(x)=f(x) g(x)=G(x) f(x)+g(x) 为奇函数， f(x) g(x)为偶函数 .类型五、函数奇偶性的应用 ( 求值，求解析式，与单调性结合 )53已知 f(x)=x 5+ax3-bx-8 ，且 f(-2)=10 ，求 f(2).解： 法一： f(-2)=(-2) 5+(

10、-2) 3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10 8a-2b=-50 f(2)=2 5+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26 法二：令 g(x)=f(x)+8 易证 g(x) 为奇函数 g(-2)=-g(2) f(-2)+8=-f(2)-8 f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.f(x) 的解f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x 奇函数图象关于原点对称， x 0时， -y=(-x) 2-(-x)设定义在 -3 ， 3上的偶函数 f(x) 在0，3上是单调递增，当 f(a-1) f(a)时，求 a 的取值范围 .解： f(a-

11、1)f(a) f(|a-1|) b0，给出下列不等式，其中成立的是 . f(b)-f(-a) g(a)-g(-b) ；f(b)-f(-a) g(b)-g(-a) ；f(a)-f(-b) g(b)-g(-a).答案： .求下列函数的值域：(1) (2) (3) 思路点拨： (1) 中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；(2)由单调性求值域，此题也可换元解决； (3)单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得 到解决，需注意此时 t 范围 .解(1)已知函数 f(x)=x 2-2ax+a2-1.(1)若函数 f(x)在区间 0 ，2上是单调的，求实数 a 的取值范围；(2)当

12、 x-1，1时，求函数 f(x)的最小值 g(a)，并画出最小值函数 y=g(a)的图象 . 解： (1) f(x)=(x-a) 2-1 a0 或 a 2(2)1当 a-1时，如图 1，g(a)=f(-1)=a 2+2a22已知函数 f(x)在定义域 (0，+)上为增函数， f(2)=1 ，且定义域上任意 x、y 都 满足 f(xy)=f(x)+f(y) ，解不等式： f(x)+f(x-2) 3.解：令 x=2，y=2， f(2 2)=f(2)+f(2)=2 f(4)=2 再令 x=4 ，y=2 ， f(42)=f(4)+f(2)=2+1=3 f(8)=3 f(x)+f(x-2) 3 可转化为

13、： fx(x-2) f(8)判断函数 上的单调性，并证明证明： 任取 0 x1x2，0 x1 x2， x1-x20(1) 当时0 x1x2 1， x1x2-10 即 f(x 1) f(x 2)上是减函数(2)当 (2)当 x1，x2 (1， + )时，上是增函数 .难点： x1x2-1 的符号的确定，如何分段 .f(x) 的设 a 为实数，函数 f(x)=x 2+|x-a|+1，xR，试讨论 f(x) 的奇偶性，并求 最小值 f(x) 的解：当 a=0时， f(x)=x 2+|x|+1，此时函数为偶函数；当 a0 时， f(x)=x 2+|x-a|+1，为非奇非偶函数 .(1)当 xa 时，1

14、2 上单调递增，上的最小值为 f(a)=a2+1.(2)当 x0 B. f(-3)-f(2) 0C. f(-2)+f(-5) 0、填空题1设奇函数的定义域为 ，若当 时， 的图象如右图， 则不等式 的解是 .2函数的值域是 .3已知，则函数 的值域是 4若函数 是偶函 数，则 的 递减 区间 是5 函数 在 R 上为奇函数，且 ，则当 ，、解答题1判断一次函数反比例函数 ，二次函数 的单调性 .2已知函数的定义域为 ，且同时满足下列条件： (1) 是奇函数；(2) 在定义域上单调递减； (3) 求 的取值范围 .3利用函数的单调性求函数的值域；4已知函数. 当 时，求函数的最大值和最小值； 求

15、实数 的取值范围，使 在区间 上是单调函数 .能力提升一、选择题1下列判断正确的是 ( )B函数是偶函C函数是非奇非偶函数B函数是偶函C函数是非奇非偶函数D函数既是奇函数又是偶函数2若函数在 上是单调函数，则 的取值范围是 ( )ACBD3函数的值域为 ( )ABCD4已知函数在区间 上是减函数，围是 ( )ABCD则实数 的取值范5下列四个命题： (1)函数在 时是增函数， 也是增函数， 所以 是增函数； (2)若函数 与 轴没有交 点，则 且 ；(3) 的递增区间为； (4)和 表示相等函数 .其中正确命题的个数是 ( ) TOC o 1-5 h z ABCD 6定义在 R 上的偶函数，满

16、足 ，且在区间 上为递增，则( )A B CD 、填空题1函数的单调递减区间是 .2已知定义在 上的奇函数 ，当 时， ，那么 时，3若函数3若函数在 上是奇函数，则 的解析式为4奇函数在区间 上是增函数，在区间 上的最大值为 8，最小值为 -1，则 .5若函数在 上是减函数，则 的取值范围为 三、解答题1判断下列函数的奇偶性(1)(2)(1)(2)2已知函数的定义域为 ，且对任意 ，都有 ，且当 时，恒成立，证明：(1)函数是 上的减函数； (2)函数是奇函数 .3设函数与 的定义域是 且 ， 是偶函数， 是奇函，求 和 的解析式 .，求 和 的解析式 .4设 为实数，函数 ，(1) 讨论的

17、奇偶性； (2) 求 的最小值 .综合探究1已知函数， ，则的奇偶性依次为( )A偶函数，奇函数C偶函数，偶函数A偶函数，奇函数C偶函数，偶函数B奇函数，偶函数D 奇函数，奇函数大小关系是 ( )BABC3 已知 ，那么4若在区间 上是增函数，则的取值范围是DC3 已知 ，那么4若在区间 上是增函数，则的取值范围是5已知函数的定义域是 ，且满足 ， ，如果对于 ，都有， (1)求； (2)解不等式.6当时，求函数 的最小值 .7已知在区间 内有一最大值 ，求 的值 .8已知函数的最大值不大于 ，又当 ，求的值.答案与解析基础达标、选择题C.B.B. 奇次项系数为D.A. 奇函数关于原点对称，左

18、右两边有相同的单调性A.A. 在 上递减， 在 上递减， 在 上递减D.二、填空题. 奇函数关于原点对称，补足左边的图象. 是 的增函数，当 时，. 该函数为增函数，自变量最小时，函数值最小；自变量最大时，函数 值最大.三、解答题1解：当， 在 是增函数，当 ， 在 是减函数；当，在是减函数，是增函数，当，在是增函数；是增函数，当 ， 在 是减函数，在是增函数，在 是减函数 .是增函数，在 是减函数 .2解：，则3解：，显然 是 的增函数，3解：，显然 是 的增函数，4 解 ： 对 称 轴(2) 对称轴当 或 时， 在 上单调 或 .能力提升一、选择题1.C. 选项 A 中的 而 有意义，非关于原点对称，选项 B 中的而 有意义，非关于原点对称，选项 D 中的函数仅为偶函数；2.C.对称轴 ，则 ，或 ，得 ，或2