经济数学基础(上)导数与微分笔记整理

1、10/1310/13经济数学基础（上）数学笔记整理第二章导数与微分（P49）目录一、导数的符号要清楚1二、导数的几何意义1三、可导与连续的关系1四、导数的基本公式与练习题1五、切线方程问题4六、复合函数的求导5七、隐函数的导数9八、高阶导数10九、微分11十、可微、可导和连续、极限的关系12导数的符号要清楚（P51,52都有），最简单的就是y导数的几何意义P55)函数y=f（X）在点九处的导数就是曲线y=f（X）在点（“儿）处切线的斜率，k=f心，切线的方程为ymEd可导与连续的关系P56，可导与连续的关系P56，2.1.)5定理2.1和注意可导=连续（充分条件）y=f（x）的图像在点处出尖，

2、则f（x）在口处不可导。例：y=图像如下,此时,四、导数的基本公式与练习题(P6566,2.2.6的四、导数的基本公式与练习题(P6566,2.2.6的1.，2.，3.，）就记书上的前8个就行了，其他的不用记再多记2个：笫）再多记2个：笫）1【练习1:求导】y=5x2+-2X4-4cosx+ln7丿x解：有分式，商的导数不好算，可以先化简丫二打丄一S.v-2-Iuosx1117=個-9.-2皿+4（-曲）+（）【注意山7为常数，常数的导数为0哦！】10 x-2xln2-4sinx%y=(1+2x)(血-恋+1)解决此题有2种方法，方法一是直接求。方法二是先打开，再求。你觉得怎么简单就怎么来。一

3、般情况是先打开再做比较容易，有时是怎么做都一样的。方法一：直接求。要用到乘积的导数。(先打开再做就用不着乘积的导数，看过程就知道哪个方法简单了。)y=(1+2x)(5x2-3x+1)+(1+2x)(5%2-3x4-1)=2(5,_3x+1)+(1+2x)(10 x3)=10T2-6x+2+10 x-3+20 x2-6x=30-_2乂_1方法二：先打开，再求导。y=(1+2x)(5%2-3x4-1)二5,-3x+1+10 x3-6x2+2x=10X3-%2-X+1y=3Ox2-2x-1【练习2:求导】y-.S.v-5x+In(j解：丫=12丁-；5【注意：应为常数，导数也为0哦！】y-4c+.i

4、sinx-Su(is解.丫二I:+r)UC：SX+.sillX2y二解:y=2x-2+x2-2ln2y=:xsixInx解：y=sinx+xcosx+解：容易能看出来二题必须要化简了。你要是想用商的导数来求的话，是够麻烦的了4X+1y解：丁4x-x+)x1这题就不能化简了,怎么着都是麻烦。商的导数会背吗？要用了。注意所有公式都必须要会背哦！,(%2-2x)(x+1)-(%2-2x)(x+1)(x+1)2解：y(x+1)2(2x-2)(x+1)-(/一2x)(x+1)22%+2%-2【书上的题P75,3,4】P75,3.求导但是为了简单，我们的习惯就这题就是怎么做都行,你想用乘积的方法做就直接挑

5、战吧。是先打开,再求导。但是为了简单，我们的习惯就y=x(2+Q=22+x24)此题也可以直接，前提是你必须会背两个公式。4)此题也可以直接，前提是你必须会背两个公式。如果这两个公式知道的话，就直接求导。若不知道，就要化成指数的形式。方法一：直接求导ii解：+x若并不会背那两个公式，你也可以解题的。先把它化成指数的形式再求导就行了。y=2u=sinvw子+1分别求导：y=yCu）-u分别求导：y=yCu）-u3将导数相乘：(x)=cosv-2xIt4把中间变量（u、v）代回来:【如果不知道余切公式，可以不用化成余切】中级：省掉了分解函数的步骤，一步一步的求导解：解：-cos(x2+1)-2x=

6、sinx+1)6/136/13=2x-cotx2+1高级：你懂的rCOS（X2+1）解：y=n，2xsin（x+1）=2x-cotx2+1例2:y=sin（2.J+x）你应该知道初级你应该知道初级:一切从分解复合函数开始解：1分解：=/n=siiiv,v=2“+xF2解：1分解：=/n=siiiv,v=2“+xF22分别求导.（=2u,u（v）=cosv,v（x）=6x+1rrr23将导数相乘:y=4把中间变量（u、v）代回来:y=2sin（2%3+x）-cos（2x3+x）（6x2+1）=sin2（zJ+x）-（6疋+1）【如果不会二倍角公式，这步可以不写】=讪（4护+2x）-（6x2+1）

7、中级：解：=2sin（2J解：=2sin（2J+x_2sin（2丁+xcos2sin（2sin（2+xcos（2x3+x）（6x2+1）=sin2（=sin2（2%3+x）（6x2+1）高级：高级：_sin+2x）+1）解：=2sin（2J+x）cos解：=2sin（2J+x）cos（2x3+x）（6x2+1）=sin2（2%3+x）（6x2+1）=讪（4%3+2x）-（6x2+1）10/1310/13复合函数的导数学会了没？现在自己来做几道吧！下边的解题步骤有点高手级别了，不过基本上都是用公式做的，你应该能看懂吧。看不懂的话只能说你公式不会背哦，先把公式背会吧。考试时可是闭卷哦。【书上的题，

8、P76,7(3)(21)(6)(12)(20)(22)。前2道是课堂练习，后4道为作业题】P76,7.求导(3)y=(2x-1)J1一J(2x-l)J_/+(2x-l)2(2x-l)J_/+(2x-l)2(1-x2)-x(2x-1)cos-(21)y=3“哦，天呐，最难打的一个公式了，好小的格哦看看是有多复杂的题吧。呵呵，看的懂吗？y=3：u=cosv,v=x2TOC o 1-5 h z解：xy=31113-f-sin(-2x3).凶cos7-313ln3-2x-sin二cs4i2-3ln3-sinx二下边4道题，凡是抄过我作业的同学，你们写的过程都至少有4、5步，看不懂下边过程的，看作业上的

9、去。如果还不会的话，问我。(6)二-2x+!52.1y=x-sin(12厂乂解：解：(20)y=eLosSx解.解.(-1)-cos3x+(-3sin3x)-=(cos3x+3sin3x)rxlnx(22)=：解.y=5dllxln!5-(xlnx)i-xlrixln5-(lnx+1)i-xlrixln5-(lnx+1)练习：求导数(复合函数)练习：求导数(复合函数)O2()(2%+1)解：y=u2u=2x+120TJ：小厂解：y=u2u=2x+120TJ：小厂y=sin3(%2+4x)=sin3(乂$十现在都应该知道y二卜m(十+仇)了吧，不解释。解：yu3,u=sinv,v=x2+4x3s

10、in2(x2+4x)cosX+4x)(2x+4).cos2xy=4解：y=41J,u=v2,V=cosx4COSXln4-2cosx-(-sinx)-x.ny=解:y=ex-(一1)-sin3x+t?X3cos3x解：-sin3x+3cos3x)y=x-cos-y=2x-cos-+%2解：-sin3x+3cos3x)y=x-cos-y=2x-cos-+%2-(一sin-jX112x-cos-+sin-XX解：y=cosu,u=lnv,v=&,t=x2+4解：y=cosu,u=lnv,v=&,t=x2+4-sin(inJ,+4)=2x丫二ru(js2x解.y=ecos2x+(-2sin2x)e2

11、=(cos2x-2sin2x)七、（P62）隐函数求导的方法：（书上有P62）直接来例题试试看：例1：已知方程确定了函数y二$（X）求解：y解：y=x+i例2：已知方程+1呵=）/确定了（X）,求y；解：/+|*y=2y-y解：，1，=2y-y-y例3：已知方程/”确定了函数y=y（0,求y；解:勺/y+2x=y+_r2yy3y2-y-x-2y-y=y2-2x例4：已知方程亦+si呵二/确定了函数y=y3，求W。解：8x+8xey-y-cosy-y，8%y=e-cosy八、P66)八、Uy阶导数:y収二阶导数：y=V）三阶导数：y=（厂）二阶导数及二阶以上的导数，都叫高阶导数。n阶导数：丫例1

12、:y=+Xy=例1:y=+Xy=12x3+10%,y=36%2+10,y=y=_=y(n)=o【丫=Cy=72x,aQ-n!ny（n1）=72=y011力=】y=x2-cosx,求y“例2：7T解.丫二解.丫二Jy、：-siiixy=2cosx-2xsinx-2xsinx-%2cosx-Iin：-;：、：九、P68)九、个必须要y=f(x)在点x处，将dy记作y的微分。弱二八衣。dx记作x的微分,带着的符号。个必须要如何判断方程的左边与右边呢？有dx的就是方程的右边。求微分：求导，后边再加上dx就可以了。如下：y=sin(J+2)解.丫二2?uc：s:.厂二:.dy=.dy=2x-cosy=In(3x4