专升本辅导第讲不定积分市公开课获奖课件

1、一、复习要求（1）理解原函数与不定积分概念及其关系，掌握不定积分性质，理解原函数存在定理（2）纯熟掌握不定积分基本公式（3）纯熟掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（限于三角代换与简朴根式代换）（4）纯熟掌握不定积分分部积分法（5）会求简朴有理函数不定积分 第5讲 不定积分第1页第1页1原函数和不定积分概念二、内容提纲假如存在一个函数对该区间上每一点都有或则称函数是函数在该区间上一个原函数（1）原函数定义：设是定义在某区间上已知函数，有原函数，则它必有无穷多个原函数阐明：a若所有原函数都表示为形式（C为任意常数） 是一个原函数，则b若第2页第2页（2）不定积分定义：函数所有原函数，称为不定积

2、分，记作若是一个原函数，则有注意：假如漏写这个任意常数C，那就只表示一个原函数可见，原函数和不定积分关系是个体与全体关系求已知函数不定积分实质是求出它一个原函数，再加上任意常数C其中C称为积分常数第3页第3页（4）不定积分几何意义：普通地，函数图象是一条曲线，（3）原函数存在性：假如函数则在此区间必有原函数在某个区间连续，轴平移）曲线族，其中每一条曲线在同一个横坐标形状相同仅位置高低不同（沿处有相同斜率图象是一个含有无数条第4页第4页（5）不定积分性质 它表明：若对一个函数求导或微分后再求不定积分，两者作用互相抵消不定积分导数等于，即a导数（或微分）不定积分与相差一个常数，即b第5页第5页c被

3、积函数中不为零常数因子可提到积分号前面，即d两个函数和（差）不定积分，等于函数不定积分和（差），即第6页第6页2基本积分公式第7页第7页3直接积分法（1）把只应用不定积分性质和基本积分公式求积分办法叫做直接积分法（2）在计算积分之前，往往需对被积函数进行简朴恒等变换，常见恒等变换有： a代数式恒等变换（如加减某一项、把被积函数分成两部分、把根式部分写成份数指数形式等）； b三角函数恒等变换（3）直接积分法是最基本积分办法，是换元积分法和分部积分法基础，务必纯熟掌握 第8页第8页4第一换元积分法（凑微分法）实际应用形式是令 能够不必把写出来，直接计算 可微，则有（1）法则：若已知第9页第9页（2

4、）阐明：第一类换元积分法是用得最多一个主要积分法其基本思想是，为了计算积分这样与 复合函数即使这个积分不属于基本公式，但被积表示式能分解成两部分之积一部分能凑成一个可微函数微分某基本积分公式中函数 ，必要时再添加常数；另一部分是属于第10页第10页（3）常见凑微分形式有：第11页第11页5第二类换元积分法（2）作用：第二类换元积分法主要用来消去被积函数中根号，这类积分被积函数看来简朴，但难于计算换元后被积函数有理化就便于计算了 ，则，若单调可微，且（1）法则：设其中是反函数第12页第12页（3）惯用代换形式b被积函数含有根式，作三角代换c被积函数含有根式，作三角代换d被积函数含有根式，作根式代

5、换，作三角代换a被积函数含有根式，称为正弦代换，称为正切代换，称为正割代换第13页第13页（4）注意变量还原用上述代换消去根号后，求得不定积分中常含有变量函数，这就需要设法把它们用变量函数代回来对于三角代换，这个回代过程可借用一个直角三角形来完毕第14页第14页6分部积分法或简写为：都是可微函数，且及都有原函数，则有（1）法则：设第15页第15页和（2）部分积分法关键在于选择其普通选择原则是：b原函数容易求出导数比a使本身简朴容易计算 c使积分第16页第16页（3）适宜用部分积分法计算不定积分主要类型有：与指数函数乘积，简称指数幂积型，这时普通设a被积函数是幂函数乘积，简称三角幂积型，这时普通

6、取或b被积函数是幂函数与三角函数（如正、余弦函数等）第17页第17页c被积函数是幂函数与对数函数乘积，简称对数幂积型，这时普通设e被积函数是幂函数与反三角函数乘积，简称反 三角函数型，这时普通设或d被积函数是指数函数与三角函数乘积，简称三角指数型，这时可任意设第18页第18页6简朴有理函数不定积分，可用换元法计算（1）形如，可通过配办法或拆项法计算 （2）形如第19页第19页1基本概念是全体原函数，即不定积分是一族曲线，它们共同点是曲线上点切线斜率都是三、例题及阐明，则一个原函数，是若第20页第20页两种不同积分方法普通会得到结果，这并不矛盾， 可用导数来检验例1 设，求（1）全体原函数；或通

7、过恒等变形来检查（2）把代入不定积分，得则所求一个原函数是时一个原函数（2）满足条件：当，也能够用凑微分法解 （1）第21页第21页2基本积分公式和性质利用（2）（3）（4）（5）（6）例1 求（1）第22页第22页解 （1）原式（2）原式（3）原式第23页第23页（4）原式（5）原式（6）原式第24页第24页3第一换元法（凑微分）（2）（3）（4）（5）（6）例1 求（1）第25页第25页解 （1）原式（2）原式（3）原式第26页第26页（4）原式（5）原式（6）原式第27页第27页4第二换元法（2）（3）（4）例1 （1）第28页第28页解 （1）设，则原式（2）设，则原式 第29页第29页（3）设，则原式 （） 第30页第30页（4）设，则原式第31页第31页5分部积分法（2）（3）例1 求积分（1）解 （1）设，则于是第32页第