高中数学必修+选修全部知识点精华归纳总结新课标人教A

1、高中数学必修 +选修学问点归纳必修 1 数学学问点 第一章：集合与函数概念 1.1.1 、集合1、 把争论的对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合；集合三要素：确定性、互异性、无序性；2、 只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合相等；3、 常见集合：正整数集合：* N 或 N,整数集合：Z ,有理数集合：Q ,实数集合：R . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. 1.1.2 、集合间的基本关系1、 一般地,对于两个集合 A、B,假如集合 A中任意一个元素都是集合 B 中的元素,就称集合 A 是集合 B 的子集；记作 A B . 2、 假如集合 A B,但存在元素 x B,且 x

2、 A,就称集合 A 是集合 B 的真子集 . 记作： A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集 . 记作：. 并规定：空集合是任何集合的子集 . n n4、 假如集合 A 中含有 n 个元素,就集合 A 有 2 个子集, 2 1 个真子集 . 1.1.3 、集合间的基本运算1、 一般地,由全部属于集合A 或集合 B 的元素组成的集合,称为集合A 与 B 的并集 . 记作：AB. 2、 一般地,由属于集合A且属于集合B 的全部元素组成的集合,称为A 与 B 的交集 . 记作：AB. 3、全集、补集？C Ax xU,且xU 1.2.1 、函数的概念1、 设 A、B是非空的数集,假如依据某种确定

3、的对应关系Bf ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合 B 中都有惟一确定的数fx和它对应,那么就称f :A为集合 A到集合 B的一个函数, 记作：yfx,xA. 2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域 就称这两个函数相等 . 1.2.2 、函数的表示法. 假如两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一样,1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法 . 1.3.1 、单调性与最大（小）值 1、留意函数单调性的证明方法：1 定义法：设2x 、x2a,b,x 1x2那么fx 1fx20fx 在a,b上是减函数 . fx 1fx0fx 在 a ,b上是增函数；步骤：取值作差变形定

4、号判定格式：解：设x 1,x2ya,b且x 1x2,就：fx 1fx 2=,就fx 为增函数； 2 导数法：设函数ff x在某个区间内可导,如fx 0如fx0,就x为减函数 . 1.3.2 、奇偶性1、 一般地,假如对于函数fx的定义域内任意一个x ,都有ffxfx,那么就称函数fx为偶函数 .偶函数图象关于y 轴对称 . 的定义域内任意一个x ,都有xfx,那么就称函数fx为奇函数 .2、 一般地,假如对于函数fx奇函数图象关于原点对称. 学问链接：函数与导数1、函数yfx在点0 x 处的导数的几何意义：- 1 - 函数yfx在点x 处的导数是曲线yfx在Px0,fx 0处的切线的斜率fx0

5、,相应的切线方程是yy 0fx 0 xx 0. 2、几种常见函数的导数C0 ；xnnxn1；sinxcosx； cosxx sinx；. ；exex；logax x1a；ln1axaxlnalnx3、导数的运算法就（1）uvu v . （2）uv u v uv . （ 3）u u v2uv0vvv4、复合函数求导法就复合函数yf g x 的导数和函数yf u ug x 的导数间的关系为y xy uu x,即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积 . . 解题步骤 : 分层层层求导作积仍原5、函数的极值 1极值定义：fxfx 0,就fx0是函数fx 的极大值；极

6、值是在x 邻近全部的点,都有,就0是函数的微小值 . 极值是在x 邻近全部的点,都有 0fxfx0fxfx 2 判别方法：假如在x 邻近的左侧f x0,右侧f x0,那么fx0是极大值；假如在x 邻近的左侧f x0,右侧f x 0,那么图a10a1fx0是微小值 . 6、求函数的最值象 1 求yf x 在 , a b 内的极值（极大或者微小值）性2 将yf x 的各极值点与f a ,f b 比较,其中最大的1 定义域： R （2）值域：（0, +）一个为最大值,最小的一个为微小值；质（3）过定点（ 0,1）,即 x=0 时, y=1 注：极值是在局部对函数值进行比较（局部性质）；最值（4）在

7、R 上是增函（4）在 R上是减函数是在整体区间上对函数值进行比较 整体性质 ；数其次章：基本初等函数（）5xx0,axax1; 5x0,0 x 0, aax1; n0, 01x1 2.1.1 、指数与指数幂的运算,1nN. 1、 一般地,假如xna,那么 x 叫做 a的 n 次方根；其中2、 当 n 为奇数时,nana；当 n 为偶数时,nana. 3、 我们规定：anmana0,m ,nN* m1；an1n0；man4、 运算性质：arasarsa0,r,sQ； arsarsa0 ,r,sQ； abrarbra,0b0 ,rQ. - 2 - 2.1.2 、指数函数及其性质0a11、记住图象：

8、yaxa,0 a112、性质：o 2.2.1 、对数与对数运算1、指数与对数互化式：axNxlogaN ；MlogaMlog2、对数恒等式：alog a NN . 3、基本性质：log a10,logaa1. 4、运算性质：当a0 ,a,1M0 ,N0时：logaMNlogaMlogaN；logaN5、换底公式：logablogcba0 ,a,1c0,c,1b0. 0a1logac6、重要公式：loganm bmlogab1. n17、倒数关系：logab1aa0 ,a,1b,0blogba 2.2.2、对数函数及其性质1、记住图象：ylogaxa,0a12、性质：yy=log ax图1111

9、00象0a1质（ 3）过定点（ 1,0）,即 x=1 时, y=0 2.3 、幂函数（ 4）在 （0,+）上是增函数5 x ,1 log a x 0；0 x ,1 log a x 0（4）在（ 0, +）上是减函数5 x ,1 log a x 0；0 x ,1 log a x 01、几种幂函数的图象：第三章：函数的应用 3.1.1 、方程的根与函数的零点1、方程fx0有实根函数yfx的图象与 x 轴有交点函数yfx有零点 . - 3 - 2、 零点存在性定理：假如函数yfx在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有faxfb0,那么函数yfx在区间a,b内有零点,即存在ca,b,使得fc

10、0,这个 c 也就是方程f0的根 . 3.1.2 、用二分法求方程的近似解 1、把握二分法 . 3.2.1 、几类不同增长的函数模型 3.2.2 、函数模型的应用举例 1、解决问题的常规方法：先画散点图,再用适当的函数拟合,最终检验 . 必修 2 数学学问点 第一章：空间几何体1、空间几何体的结构 常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球；棱柱：有两个面相互平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱；棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的多面体叫做棱台；2、空间几何体的三视图和直

11、观图 把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影,中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照耀下的投影 叫平行投影,平行投影的投影线是平行的；3、空间几何体的表面积与体积圆柱侧面积；S 侧面2rl圆锥侧面积：S侧面SrlV锥体RlSh；V 台体1S 上S上S 下S 下hrl圆台侧面积：S侧面h；1体积公式：V柱体33y球的表面积和体积：其次章：点、直线、平面之间的位置关系 1、公理 1：假如一条直线上两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内；2、公理 2：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面；3、公理 3：假如两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线；4、公理 4：

12、平行于同一条直线的两条直线平行 . 5、定理：空间中假如两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补；6、线线位置关系：平行、相交、异面；7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交；8、面面位置关系：平行、相交；9、线面平行：判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,就该直线与此平面平行（简称线线平行,就线面平行）；性质：一条直线与一个平面平行,就过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（简称线面平行,就线线平行）；- 4 - 10、面面平行：判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,就这两个平面平行（简称线面平行,就面面平行）；性质：假如两个平行平面同

13、时和第三个平面相交,那么它们的交线平行（简称面面平行,就线线平行）11、线面垂直：定义：假如一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那么就说这条直线和这个平面垂直；判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,就该直线与此平面垂直（简称线线垂直,就线面垂直）；性质：垂直于同一个平面的两条直线平行；12、面面垂直：定义：两个平面相交,假如它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面相互垂直；判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线,就这两个平面垂直（简称线面垂直,就面面垂直）；性质： 两个平面相互垂直,就一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面；（简称面面垂直, 就线面垂直）；第三章：直线与方程

14、1、倾斜角与斜率：ktany2y1x2x12、直线方程：点斜式：yy0kxx0斜截式：ykxbByC0两点式：yy 1y 2y 1截距式：xy1一般式：Axxx 1x 2x 1ab3、对于直线l1:yk 1xb 1,l2:yk2xb2有：l1/l2k 1k2；1l 和2l 相交k 1k ；b 1b 21l 和2l重合k 1k2；l1l2k1k21. b 1b 24、对于直线：l1:A 1xB 1yC 12,0l2:A 2xB 2yC0C 1C22有：l 1/l2A 1B 2A 2B 1；1l 和2l相交A 1B2A2B 1；B 1C 2B 2C 11l 和2l重合A 1B 2A 2B 1；l1

15、l2A 1A 2B 1B20. B 1C2B 2C 15、两点间距离公式：P 1P 2x2x12y2y 126、点到直线距离公式：dAx 0ABy02C2B7、两平行线间的距离公式：1l ：AxByC10与2l ：AxByC20平行,就dA2B- 5 - 第四章：圆与方程 1、圆的方程：标准方程：xa2yb2r2其中圆心为 , a b ,半径为 r . r1D2E24F . 一般方程：x2y2DxEyF0. 其中圆心为 D,E,半径为2222、直线与圆的位置关系直线AxByC0与圆xa2ryb2r2的位置关系有三种: ；相交0. dr相离0; d相切0; dr弦长公式：l2r2d21k2x 1

16、x 224 x x 1 2r3、两圆位置关系：dO 1O 2Rr；相交：RrdR外离：dRr；外切：d内切：dRr；内含：dRr. z 12x2x 12y2y12z 23、空间中两点间距离公式：P 1P 2必修 3 数学学问点第一章：算法1、算法三种语言：自然语言、流程图、程序语言；2、流程图中的图框：起止框、输入输出框、处理框、判定框、流程线等规范表示方法；3、算法的三种基本结构：次序结构、条件结构、循环结构当型循环结构直到型循环结构次序结构示意图：语句 n （图 1）语句 n+1 条件结构示意图：满意条件？否语句 2 IF-THEN-ELSE 格式：是语句 1 （图 2）IF-THEN 格

17、式：是 满意条件？否语句（图 3）循环结构示意图：满意条件？循环体循环体否当型（ WHILE型）循环结构示意图：（图 4）是满意条件？图 5 否是- 6 - 直到型（ UNTIL 型）循环结构示意图：4、基本算法语句：输入语句的一般格式：INPUT“ 提示内容”；变量输出语句的一般格式：PRINT“ 提示内容”；表达式赋值语句的一般格式：变量表达式（“ =” 有时也用“ ”）. 条件语句的一般格式有两种：IF THENELSE语句的一般格式为：IF 条件 IFTHENTHEN语句的一般格式为：（图 3）（图 2）语句 1 IF 条件 THEN语句ELSE 语句 2 END IF 循环语句的一般

18、格式是两种：当型循环（ WHILE）语句的一般格式：直到型循环（ UNTIL）语句的一般格式：（图 4）WHILE 条件（图 5）DO 循环体循环体WEND LOOP NTIL 条件算法案例：辗转相除法结果是以相除余数为 0 而得到利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：）：用较大的数 m除以较小的数 n 得到一个商 S 和一个余数 R ；）：如 R 0,就 n 为 m,n 的最大公约数； 如 R 0,就用除数 n 除以余数 R 得到一个商 S 和一个余数 R ；）：如 R 0,就 R 为 m,n 的最大公约数；如 R 0,就用除数 R 除以余数 R 得到一个商 S 和一个余数R ； 依次运算直

19、至 R 0,此时所得到的 R n 1 即为所求的最大公约数；更相减损术结果是以减数与差相等而得到利用更相减损术求最大公约数的步骤如下：）：任意给出两个正数；判定它们是否都是偶数；如是,用2 约简；如不是,执行其次步；）：以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与所得的差比较,并以大数减小数；连续这个操作,直到所得的数相等为止,就这个数（等数）就是所求的最大公约数；进位制十进制数化为k 进制数除k 取余法 k进制数化为十进制数其次章：统计 1、抽样方法：简洁随机抽样（总体个数较少）系统抽样（总体个数较多）分层抽样（总体中差异明显）留意：在N个个体的总体中抽取出n 个个体组成样本,每个个体被抽到的机

20、会（概率）均为n ；N2、总体分布的估量：一表二图：频率分布表数据详实频率分布直方图分布直观频率分布折线图便于观看总体分布趋势 注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为 1；茎叶图：茎叶图适用于数据较少的情形,从中便于看出数据的分布,以及中位数、众位数等；个位数为叶,十位数为茎,右侧数据依据从小到大书写,相同的数据重复写；- 7 - 3、总体特点数的估量：平均数：xxx 1nx2x3xn；2,p n,就其平均数为x1p1x2p2x npn；n取值为x 1,2,x的频率分别为p 1,p留意：频率分布表运算平均数要取组中值；方差与标准差：一组样本数据x 1,x 2,xnn1x ix 2注：方差与标

21、准差越小,说明样本数据越稳固；方差：s21inxix2；标准差：s1in1n平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳固水平；线性回来方程 变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；制作散点图,判定线性相关关系n线性回来方程：ybxa（最小二乘法）bix y inx y留意：线性回来直线经过定点x ,y ；1anx2nx2ii1bxy第三章：概率 1、随机大事及其概率：大事：试验的每一种可能的结果,用大写英文字母表示；必定大事、不行能大事、随机大事的特点；随机大事A 的概率：PA m, 0P A 1. n2、古典概型：基本领件：一次试验中可能显现的每一个基本结果；古典概型的特点：全部的基本

22、领件只有有限个；每个基本领件都是等可能发生；古典概型概率运算公式：一次试验的等可能基本领件共有n 个,大事 A 包含了其中的m个基本领件,就大事A发生的概率P A m. n3、几何概型：几何概型的特点：全部的基本领件是无限个；每个基本领件都是等可能发生；几何概型概率运算公式：P A d 的测度；其中测度依据题目确定,一般为线段、角度、面积、体积等；D的测度4、互斥大事：不行能同时发生的两个大事称为互斥大事；假如大事A 1,A 2,A n任意两个都是互斥大事,就称大事A 1,A 2,A n彼此互斥；PABPA PB 假如大事A,B 互斥,那么大事A+B发生的概率,等于大事A, B发生的概率的和,

23、即：假如大事A 1,A 2,A n彼此互斥,就有：P A 1A 2A nP A 1PA 2PA n对立大事：两个互斥大事中必有一个要发生,就称这两个大事为对立大事；大事 A 的对立大事记作APA PA ,1PA 1PA 对立大事肯定是互斥大事,互斥大事未必是对立大事；- 8 - 必修 4 数学学问点第一章：三角函数 1.1.1 、任意角1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2 k ,kZ. 2、 与角终边相同的角的集合： 1.1.2 、弧度制1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角 . 2、1lRl. r3、弧长公式：lnRR. 4、扇形面积公式：SnR2. 3602180 1

24、.2.1 、任意角的三角函数1、 设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点Px,y,那么：sin3y,cosx,tanTxyx2、 设点A x,y为角终边上任意一点,那么：（设rx2y2）yPsiny, cosx, tany, cotxrrxy. 2OMA3、sin, cos, tan在四个象限的符号和三角函数线的画法正弦线： MP; 余弦线： OM; 正切线： AT 5、 特殊角的三角函数值. 0 64322 33 42sincostan 1.2.2 、同角三角函数的基本关系式1、 平方关系：sin2cos21.2 、 商数关系：tansin. kZ）,.cos 1.3 、三角函数的诱导公式（

25、概括为“ 奇变偶不变,符号看象限”sin2 ksin,sinsin,1、诱导公式一：cos2 kcos, 2 、 诱导公式二：coscos,tan2ktan.tantan.（其中：kZ）sin,sinsin,2sin3、诱导公式三：coscos, 4、诱导公式四：coscos,tantan.tantan.cos, 6 、诱导公式六：sincos5、诱导公式五：sin2cos2sin.cos2sin- 9 - 1.4.1 、正弦、余弦函数的图象和性质1、记住正弦、余弦函数图象：y=sinx y325374x-4y=cosx-2-3-2y2325374x-7-3-51-4-7-3-5-2-3-21

26、 o-1222222o-122222222、能够对比图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 上的五个关键点为：（ ,）（,2,）（,）（,3,）（,2,）.3、会用五点法作图. ysinx 在x0, 2 2 1.4.3 、正切函数的图象与性质yy=tanx-32- 2o232x1、记住正切函数的图象：2、能够对比图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性 . 周期函数定义：对于函数 f x,假如存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有f x T f x,那么函数 f x 就叫做

27、周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期 . 图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质ysinxycosxytanx图象定义域RRx|x2k,kZ值域x2k2-1,1 x2k,k-1,1 在 k2,TR上单调递增最值2,kZ时,y max1Z时,y max1无x2kx2k,kZ时,y min12,kZ 时,ymin1周期性T2T2奇偶性在 2k奇在 2k,2偶k奇,2k2上单调递增,2k上单调递增单调性2在2k在 2kk上单调递减kZ,2k3上单调递减22- 10 - 对称性对称轴方程：xk2对称轴方程：x2k无对称轴k, 0kZ对称中心 k, 0对称中心对称中心 k,02 1.5 、函

28、数yAsinx的图象1、对于函数：yAsinxB A0,0有：振幅 A,周期T2,初相,相位x,频率fB1 T2. 2、能够讲出函数ysinx的图象与AsinxByAsinxB 的图象之间的平移伸缩变换关系. 先平移后伸缩：ysinx平移 | 个单位ysinx横坐标不变y（左加右减）纵坐标变为原先的A 倍Asinx纵坐标不变yAsinx平移 |B 个单位y横坐标变为原先的|1|倍（上加下减）Asinx先伸缩后平移：ysinx横坐标不变yAsinx纵坐标不变ysinx纵坐标变为原先的A 倍横坐标变为原先的|1|倍平移个单位yAsinx平移 |B 个单位yA（左加右减）（上加下减）3、三角函数的周

29、期,对称轴和对称中心函数ysinx,xR及函数ycosx,xRA,为常数,且A 0 的周期Tk2k|；函数|ytanx,xk2,kZ A, ,为常数,且A 0 的周期T|. . 对于yAsinx和yAcosx来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系求函数yAsinx图像的对称轴与对称中心,只需令xk2kZ 与xZ解出 x 即可 . 余弦函数可与正弦函数类比可得. 4、由图像确定三角函数的解析式利用图像特点：Ay max2ymin,Bymax2ymin. . 要依据周期来求,要用图像的关键点来求. 1.6 、三角函数模型的简洁应用要求熟识课本例题- 11 - 第三章、三角恒等变换12sin

30、coscostan3 3.1.1 、两角差的余弦公式记住 15 的三角函数值：6426224 3.1.2 、两角和与差的正弦、余弦、正切公式sincossin1、sinsincoscossin 2、sin3、coscoscossinsin 4、coscoscossinsin5、tantantan. 6、tantantan. 1 tantan1 tantan 3.1.3 、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、sin22 sincos,变形：sincos1 2sin 2. 1 21cos 22、cos2cos2sin22cos2112sin2. 升幂公式：1cos22cos2降幂公式：cos2变形如下

31、：1cos22sin211cos 2sin21 23、tan212tan2. 4、tansin21cos2cos2sin 2tan 3.2 、简洁的三角恒等变换1、 留意正切化弦、平方降次. bcosxa2b2sinxb . 2、帮助角公式yasinx（其中帮助角所在象限由点 , a b 的象限打算 , tana其次章：平面对量 2.1.1 、向量的物理背景与概念1、 明白四种常见向量：力、位移、速度、加速度 . 2、 既有大小又有方向的量叫做向量 . 2.1.2 、向量的几何表示1、 带有方向的线段叫做有向线段,有向线段包含三个要素：起点、方向、长度 . 2、 向量 AB 的大小,也就是向量

32、 AB 的长度（或称模） ,记作 AB ；长度为零的向量叫做零向量；长度等于 1个单位的向量叫做单位向量 . 3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）. 规定：零向量与任意向量平行 . 2.1.3 、相等向量与共线向量1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 . 2.2.1 、向量加法运算及其几何意义1、 三角形加法法就和平行四边形加法法就 . 2、a ba b . 2.2.2 、向量减法运算及其几何意义1、 与 a 长度相等方向相反的向量叫做 a 的相反向量 . 2、 三角形减法法就和平行四边形减法法就 . 2.2.3 、向量数乘运算及其几何意义1、 规定：实数 与向量 a

33、 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘 . 记作：a ,它的长度和方向规定如下： a a , 当 0时 , a 的方向与 a 的方向相同；当 0时 , a 的方向与 a 的方向相反 . 2、 平面对量共线定理：向量 a a 0 与 b 共线,当且仅当有唯独一个实数,使 b a . 2.3.1 、平面对量基本定理1、 平面对量基本定理：假如 e 1,e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内任一向量 a ,有且只有一对实数 1, 2,使 a 1 e 1 2 e 2 . 2.3.2 、平面对量的正交分解及坐标表示、a ix y j x , y . 2.3.3 、平面对量的坐标运算1

34、、 设ax1x 1,y 1,b2,x2,y2,就：aabx 1x2,y 1. y 2,aby2x 1x2x2,y 1y2,2、 设A,y 1,Bxy2,就：x 2x 1, y 1,a/bx 1y 1. ABx 1,y 2y 1 2.3.4 、平面对量共线的坐标表示1、 设Ax 1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3,就线段 AB中点坐标为x 1x 2,y 1y 2,y3. 22 ABC的重心坐标为x 1x2x3,y 1y233 2.4.1 、平面对量数量积的物理背景及其含义1、a2baabcos. 2aa、 a 在 b 方向上的投影为：acos. 3、2. 5、abab0. 2a. 4 2.4.

35、2、平面对量数量积的坐标表示、模、夹角1、 设ax 1,y 1,b,x2,y2,就：abx 1x2y 1y 22aa2 x 1y2 10aba b0 x x 2y y 20 x2a/ / bbx y 2x y 1x 12y2. ABy 12、 设Ax1,y 1,Bx2y2,就：2 x 1x x2y y2cosa b a b3、 两向量的夹角公式y12x22y224、点的平移公式平移前的点为P x y （ 原坐标 ）,平移后的对应点为Px y（ 新坐标 ）,平移向量为PP , h k 就xx hyy k .ykf xh.函数yf x 的图像按向量a , h k 平移后的图像的解析式为- 3 -

36、2.5.1 、平面几何中的向量方法 2.5.2 、向量在物理中的应用举例学问链接：空间向量空间向量的很多学问可由平面对量的学问类比而得 归纳 . 1、直线的方向向量和平面的法向量. 下面对空间向量在立体几何中证明,求值的应用进行总结直线的方向向量：如 A、B 是直线 l 上的任意两点,就 AB 为直线 l 的一个方向向量；与 AB 平行的任意非零向量也是直线 l 的方向向量 . 平面的法向量：如向量 n 所在直线垂直于平面,就称这个向量垂直于平面,记作 n,假如n,那么向量 n 叫做平面 的法向量 . 平面的法向量的求法（待定系数法）：建立适当的坐标系设平面 的法向量为 n , , x y z

37、 求出平面内两个不共线向量的坐标 a a a 2 , a 3 , b b b b 3 n a 0依据法向量定义建立方程组 . n b 0解方程组,取其中一组解,即得平面 的法向量 . （如图）2、 用向量方法判定空间中的平行关系线线平行设直线l1,l 的方向向量分别是a、 ,就要证明1l 2l ,只需证明 a b ,即akb kR . 即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线；线面平行（法一）设直线l 的方向向量是a ,平面的法向量是 u ,就要证明 l ,只需证明 au ,即a u0. . 即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外（法二） 要证明一条直线和一个平面平

38、行,也可在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可面面平行如平面的法向量为 u ,平面的法向量为 v ,要证,只需证 u v ,即证 uv . 即：两平面平行或重合两平面的法向量共线；3、用向量方法判定空间的垂直关系线线垂直设直线l1,l 的方向向量分别是a、 ,就要证明l1l ,只需证明 ab ,即a b0. 即：两直线垂直两直线的方向向量垂直；线面垂直（法一）设直线l 的方向向量是a ,平面的法向量是 u ,就要证明 l,只需证明 a u ,即 au . （法二）设直线a ,平面、 ,如a m0, 0就l.l 的方向向量是内的两个相交向量分别为ma n- 4 - 即：直线与平面垂

39、直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直；面面垂直如平面的法向量为 u ,平面的法向量为 v ,要证,只需证 uv ,即证u v0. 即：两平面垂直两平面的法向量垂直；4、利用向量求空间角求异面直线所成的角已知a b 为两异面直线,A, C与 B, D分别是a b 上的任意两点,a b 所成的角为,就 cosAC BD.AC BD求直线和平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角求法：设直线l 的方向向量为a ,平面的法向量为 u ,直线与平面所成的角为,a 与 u 的夹角为的补角的余角 . 即有：s

40、 incosa u a u.,就为的余角或求二面角定义： 平面内的一条直线把平面分为两个部分,其中的每一部分叫做半平面；从一条直线动身的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面二面角的平面角是指在二面角l的棱上任取一点O,分别在两个半平面内作射线A AOl,BOl,就AOB为二面角l的平面角 . 如图：B l B 求法：设二面角l的两个半平面的法向量分别为m、 ,再设 m、 的夹角为,二面角l的平面角为,就二面角为 m、 的夹角或其补角.O O A 依据详细图形确定是锐角或是钝角： 假如是锐角,就 coscosm n,即arccosm n；m nm n

41、假如是钝角,就 coscosm n,即arccosm n. m nm n5、利用法向量求空间距离点 Q到直线 l 距离 如 Q为直线 l 外的一点 , P 在直线 l 上, a 为直线 l 的方向向量,b = PQ ,就点 Q到直线 l 距离为 h 1| a | b | 2 a b 2| a |点 A 到平面 的距离 如点 P为平面 外一点,点 M为平面 内任一点,平面 的法向量为 n ,就 P 到平面 的距离就等于 MP 在法向量 n 方向上的投影的确定值 . 即 d MP cos n MPn MP n MPMPn MP n- 5 - 直线 a 与平面之间的距离当一条直线和一个平面平行时,直

42、线上的各点到平面的距离相等；即dnMP.由此可知,直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离,即转化为点面距离； 两平行平面,之间的距离n.nMP利用两平行平面间的距离到处相等,可将两平行平面间的距离转化为求点面距离；即dn 异面直线间的距离设向量 n 与两异面直线a b 都垂直,Ma Pb 就两异面直线a b 间的距离 d 就是 MP 在向量 n 方向上投影的确定值；即dnMP n.6、三垂线定理及其逆定理 三垂线定理：在平面内的一条直线,假如它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直推理模式：PO,OaPA概括为：垂直于射影就垂直于斜线. PPAaAaOA 三垂线定理

43、的逆定理：在平面内的一条直线,假如和这个平面的一条斜线垂直,PO,OA1ACOa那么它也和这条斜线的射影垂直推理模式：PAAaAOa,aAPB概括为：垂直于斜线就垂直于射影. 7、三余弦定理设 AC是平面内的任一条直线,AD是的一条斜线AB 在内的射影,D且 BDAD,垂足为 D.设 AB与 AD 所成的角为1, AD 与 AC所成的角为2,2AB与 AC所成的角为就coscos1cos2. 8、 面积射影定理已知平面内一个多边形的面积为S S原,它在平面内的射影图形的面积为S S射,平面与平面所成的二面角的大小为锐二面角,就cos S=S 射.S 原S9、一个结论长度为 l 的线段在三条两两

44、相互垂直的直线上的射影长分别为l1、 、2l3,夹角分别为1、2、3, 就有l2l2l2l22 cos12 cos22 cos312 sin12 sin2sin232 . 123（立体几何中长方体对角线长的公式是特例）- 6 - 必修 5 数学学问点第一章：解三角形ABC 外接圆的半径）,sinCc;bBcC2R（其中 R 为1、正弦定理：aAsinsinsina2 RsinA b2RsinB c2RsinC ;sinAa,sinBb2R2R2Ra b csinA:sinB:sinC.用途：已知三角形两角和任一边,求其它元素；已知三角形两边和其中一边的对角,求其它元素；2、余弦定理：a 2b2

45、c 22 bccos ,cosAb2c2a2,2bcb 2a2c 22 accos ,cosBa2c2b2,2acc 2a2b 22 abcos .cosCa2c2.b22ab用途：已知三角形两边及其夹角,求其它元素；已知三角形三边,求其它元素；做题中两个定理常常结合使用 .3、三角形面积公式：S ABC1absinC1bcsinA1acsinBA2 C2A2AB . 2224、三角形内角和定理：在 ABC中,有ABCCABC2A2B25、一个常用结论：在ABC中,absinAsinBAB ;sinBB 不成立；如 sin 2Asin 2 ,就AB或AB2.特殊留意,在三角函数中,sin其次章

46、：数列S n, n1留意通项能否合并；a nS 1S n1、数列中a 与S 之间的关系：1,n2.2、等差数列：定义： 假如一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,即a an1=d ,（n2,nN）,那么这个数列就叫做等差数列；等差中项：如三数a、 、b成等差数列Aa2b*、, 也成等差数列；通项公式：ana 1n1 damnm d或anpnqp、 是常数） .前 n 项和公式：Snna1nn1dna12an2常用性质： 如mnpqm ,n,p,qN,就a manapaq； 下标为等差数列的项ak,akm,ak2m,仍组成等差数列；数列anb（,b为常数）仍为等差数列； 如

47、 an、 b n是等差数列,就 ka n、ka npb n k 、 p 是非零常数 、ap nqp qN- 7 - 单调性：a n 的公差为 d ,就：）d 0 a n 为递增数列；）d 0 a n 为递减数列；）d 0 a n 为常数列；数列 a 为等差数列 a n pn q （p,q 是常数）如等差数列 a n 的前 n 项和 S ,就 n S 、k S2 k S k、S 3 k S 2 k是等差数列；3、等比数列定义：假如一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列；a n等比中项：如三数a、G、 成等比数列G2ab （ ab同号）；反之不肯定成

48、立；通项公式：ana qn1a qn m前 n 项和公式：Sna11qna1a q n1q1q常用性质 如mnpqm ,n ,p ,qN,就a ma napa ；ak,a km,ak2m,为等比数列,公比为k q 下标成等差数列, 就对应的项成等比数列 数列a n（为不等于零的常数）仍是公比为 q 的等比数列； 正项等比数列a n；就 lg是公差为 lg q 的等差数列； 如an是等比数列,就ca n,a n2,1,a nrrZ是等比数列,公比依次是q,q2 1, ,qqr.na单调性：a 10,q1 或a 10,0q1a n为递增数列；为递减数列；a 10,0q1 或a 10,q1a nq1

49、a n为常数列；q0a n为摇摆数列；既是等差数列又是等比数列的数列是常数列；如等比数列an的前 n 项和S ,就S 、S2kS k、S 3kS 2k是等比数列 . 3、 非等差、等比数列通项公式的求法4、类型 观看法：已知数列前如干项,求该数列的通项时,一般对所给的项观看分析,查找规律,从而依据规律写出此数列的一个通项；类型公式法：如已知数列的前n 项和S 与a 的关系,求数列 nan的通项a 可用公式 na nS 1S n, n1S n1 ,n2构造两式作差求解；用此公式时要留意结论有两种可能,一种是“ 一分为二”,即分段式；另一种是“ 合二为一”,即1a 和a 合为一个表达,（要先分n1

50、和n2两种情形分别进行运算,然后验证能否统一）；- 8 - 类型累加法：f n12n1a nan1形如an1anfn型的递推数列（其中fn是关于 n 的函数）可构造：a n1an2f n. .1 a 2a 1f将上述n1个式子两边分别相加,可得：anf n1f n2. 2f1a 1,n2如f n 是关于 n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; 如f n 是关于 n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; f如f n 是关于 n 的二次函数,累加后可分组求和; an如f n 是关于 n 的分式函数,累加后可裂项求和. 类型累乘法：an1形如a n1a nf n a n1f n 型的递推数

51、列 （其中fn 是关于 n 的函数） 可构造：ffn2an1a nan2. 1a2将上述n1个式子两边分别相乘,可得：anf n1f n2 .f2f1a 1,n2a1有时如不能直接用,可变形成这种形式,然后用这种方法求解；类型 构造数列法：形如 a n 1 pa n q（其中 p q均为常数且 p 0）型的递推式：（1）如 p 1 时,数列 a 为等差数列 ; （2）如 q 0 时,数列 a 为等比数列 ; （3）如 p 1 且 q 0 时,数列 a 为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造等比数列来求 . 方法有如下两种：法一：设an1p an, 绽开移项整理得a n1panp1, 与题设

52、an1panq 比较系数 （待定系数法）得1pq1,p0an1pq1p a npq1anpq1p a n1npq1, 即anq1构成p以a 1pqaq1的通项整理可得an.为首项,以p 为公比的等比数列. 再利用等比数列的通项公式求出p- 9 - 法二：由 a n 1 pa n q 得 a n pa n 1 q n 2 两式相减并整理得 a n 1 a n p , 即 a n 1 a n 构成以 a 2 a 为a n a n 1首项,以 p 为公比的等比数列 . 求出 a n 1 a n 的通项再转化为类型（累加法）便可求出 a n .形如 a n 1 pa n f n p 1 型的递推式：当

53、 f n 为一次函数类型（即等差数列）时：法一：设 a n An B p a n 1 A n 1 B ,通过待定系数法确定 A、 的值,转化成以 a 1 A B 为首项,以 p 为公比的等比数列 a n An B ,再利用等比数列的通项公式求出 a n An B 的通项整理可得 a n .法二：当 f n 的公差为 d 时,由递推式得：a n 1 pa n f n ,a n pa n 1 f n 1 两式相减得：a n 1 a n p a n a n 1 d ,令 b n a n 1 a 得：b n pb n 1 d 转化为类型求出 b ,再用类型（累加法）便可求出 a n .当 f n 为指

54、数函数类型（即等比数列）时：法一：设 a n f n p a n 1 f n 1,通过待定系数法确定 的值,转化成以 a 1 f 1 为首项, 以 p为公比的等比数列 a n f n ,再利用等比数列的通项公式求出 a n f n 的通项整理可得 a n .法二：当 f n 的公比为 q 时,由递推式得：a n 1 pa n f n ,a n pa n 1 f n 1,两边同时乘以 q 得 a q pqa n 1 qf n 1,由两式相减得 a n 1 a q p a n qa n 1 ,即 a n 1 qa n p,在a n qa n 1转化为类型便可求出 a n .法三： 递推公式为 a

55、n 1 pa n q n（其中 p,q 均为常数）或 a n 1 pa n rq （其中 p,q, r n均为常数）时,要先在原递推公式两边同时除以 q n 1,得：a nn 11 p a nn 1,引入帮助数列 b n（其中 b n a nn）,得：q q q q qb n 1 p b n 1 再应用类型的方法解决；q q当 f n 为任意数列时,可用通法：在 a n 1 pa n f n 两边同时除以 p n 1可得到 a nn 11 a nn f n n 1,令 a nn b n,就 b n 1 b n f n n 1,在转p p p p pn化为类型（累加法） ,求出 nb 之后得 a

56、 n p b . - 10 - 类型 对数变换法：q形如 a n 1 pa p 0, a n 0 型的递推式：q在原递推式 a n 1 pa 两边取对数得 lg a n 1 q lg a n lg p ,令 b n lg a 得：b n 1 qb n lg p ,化归为ba n 1 pa n q 型,求出 b 之后得 na 10 .（留意：底数不肯定要取 10,可依据题意挑选） ；类型 倒数变换法：形如 a n 1 a n pa n 1 a （ p 为常数且 p 0）的递推式：两边同除于 a n 1 a,转化为 1 1p 形式,化归a n a n 1为 a n 1 pa n q 型求出 1 的

57、表达式,再求 a ；a n仍有形如 a n 1 ma n 的递推式,也可采纳取倒数方法转化成 1 m 1 m 形式,化归为 a n 1 pa n q 型求pa n q a n 1 q a n p出1 的表达式,再求 a . a n类型 形如 a n 2 pa n 1 qa n 型的递推式：用待定系数法,化为特殊数列 a n a n 1 的形式求解；方法为：设 a n 2 ka n 1 h a n 1 ka n ,比较系数得 h k p , hk q,可解得 h k、 ,于是 a n 1 ka n 是公比为 h 的等比数列, 这样就化归为 a n 1 pa n q 型；总之,求数列通项公式可依据

58、数列特点采纳以上不同方法求解,纳、猜想、证明方法求出数列通项公式 a n .5、非等差、等比数列前 n 项和公式的求法 错位相减法对不能转化为以上方法求解的数列, 可用归 如数列 a n 为等差数列,数列 b n 为等比数列,就数列 a n b n 的求和就要采纳此法 . 将数列 a n b n 的每一项分别乘以 nb 的公比,然后在错位相减,进而可得到数列 a n b n 的前 n 项和 . 此法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法 . 裂项相消法 一般地,当数列的通项 a n c , a b b 2 , c为常数） 时,往往可将 a 变成两 an b 1 an b 2 项的差,采

59、纳裂项相消法求和 . 可用待定系数法进行裂项：设 a n,通分整理后与原式相比较,依据对应项系数相等得an b 1 an b 2c,从而可得 c= c 1 1.b 2 b 1 an b 1 an b 2 b 2 b 1 an b 1 an b 2常见的拆项公式有： 1 1 1； 1 1 1 1;n n 1 n n 1 2 n 12 n 1 2 2 n 1 2 n 1- 11 - a1ba1bab;Cm1Cm1Cm;n n.n1.n. nnn分组法求和有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,如将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和, 再将其合并即可. 一般分两步：

60、 找通向项公式由通项公式确定如何分组倒序相加法假如一个数列a n,与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和,就可用把正着写与倒着写的两个和式相加,就得到了一个常数列的和,这种求和方法称为倒序相加法；特点：a 1a na2a n1.记住常见数列的前n 项和：123.nn n1;135.2n1n2;22 12 232.n21n n12n1.6 3.1 、不等关系与不等式第三章：不等式1、不等式的基本性质（对称性）a b b a （传递性）a b b c a c（可加性）a b a c b c（同向可加性）a b , c d a c b d（异向可减性）a b , c d a c b d（可积性）a