2021年高考理科数学(全国I卷)试题及答案

1、 6/62021年高考理科数学(全国I卷)试题及答案 理科数学试题 第1页（共9页） 绝密启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1设1i 2i 1i z -= +，则|z = A 0 B

2、 12 C 1 D 2已知集合2|20A x x x =-，则A =R e A |12x x -U D |1|2x x x x - 3某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番. 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是 A 新农村建设后，种植收入减少 B 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C 新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 理科数学试题 第2页（共9页） 4记n S 为等差数列n a 的前n 项和. 若3243

3、S S S =+，12a =，则5a = A 12- B 10- C 10 D 12 5设函数32()(1)f x x a x ax =+-+. 若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的 切线方程为 A 2y x =- B y x =- C 2y x = D y x = 6在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =uu r A 3144A B A C -uu u r uu u r B 1344AB AC -uu u r uu u r C 3144AB AC +uu u r uu u r D 1344 AB AC +uu u r uu u r

4、 7某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图. 圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表 面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧 面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A B C 3 D 2 8设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过点(2,0)-且斜率为2 3 的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?uuu r uuu r A 5 B 6 C 7 D 8 9已知函数e ,0, ()ln ,0,x x f x x x ?=? ()()g x f x x a =+. 若()g x 存在2个零点，则a 的 取值范围是 A 1,0)- B 0,)+ C

5、 1,)-+ D 1,)+ 10下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成，三个 半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ABC 的三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为. 在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则 A 12p p = B 13p p = C 23p p = D 123p p p =+ 理科数学试题 第3页（共9页） 11已知双曲线2 213 x C y ：-=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的 两条渐近线的交点分别为M ，N . 若OMN 为直角三角形，则

6、|MN = A 32 B 3 C D 4 12已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方 体所得截面面积的最大值为 A B C D 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13若x ，y 满足约束条件220,10,0,x y x y y -? -+? 则32z x y =+的最大值为 . 14记n S 为数列n a 的前n 项和. 若21n n S a =+，则6S = . 15从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的 选法共有 种.（用数字填写答案） 16已知函数()2sin sin 2=+f x x x ，则()f x 的

7、最小值是 . 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必 考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17（12分） 在平面四边形ABCD 中，90ADC =?，45A =?，2AB =，5BD =. （1）求cos ADB ； （2 ）若DC =BC . 18（12分） 如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把DFC 折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF . （1）证明：平面PEF 平面ABFD ； （2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值 .

8、 理科数学试题 第4页（共9页） 19（12分） 设椭圆2 212 x C y +=：的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的 坐标为(2,0). （1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB =. 20（12分） 某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品. 检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验. 设每件产品为不合格品的概率都为(01)p p 的解集； （2）若(0,1)x 时不等式()f x x 成

9、立，求a 的取值范围. 理科数学试题 第5页（共9页） 绝密启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案 一、选择题 1C 2B 3A 4B 5D 6A 7B 8D 9C 10A 11B 12A 二、填空题 136 1463- 1516 16 三、解答题 17解： （1）在ABD 中，由正弦定理得sin sin BD AB A ADB = . 由题设知， 52 ,sin 45sin ADB =? 所以sin ADB = 由题设知，90ADB ；当(0.1,1)p 时，()0f p ，故应该对余下的产品作检验. 21解： （1）()f x 的定义域为(0,)+，222 1

10、1 ()1a x ax f x x x x -+=-+=-. （）若2a ，则()0f x ， 当且仅当2a =，1x =时()0f x =，所以()f x 在(0,)+单调递减. （）若2a ，令()0f x = 得，x = x = 当)x +U 时，()0f x . 所以()f x 在 ，)+ 单调递减，在单调递增. 理科数学试题 第8页（共9页） （2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a . 由于()f x 的两个极值点1x ，2x 满足210 x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x . 由于 121212212121212 22 ()()ln ln ln ln 2ln 1 122f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x =-+=-+=-+， 所以