贵州省黔东南苗族侗族自治州东南州名校2023学年高三最后一卷数学试卷（含解析）

1、2023学年高考数学模拟测试卷注意事项1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知实数满足，则的最小值为（ ）ABCD2已知集合，则（）ABCD3已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（ ）ABCD4九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问

2、次一尺各重几何?”意思是：“现在有一根金箠， 长五尺在粗的一端截下一尺，重斤；在细的一端截下一尺，重斤，问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设，假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是（ ）A斤B 斤C斤D斤5已知函数，其中，记函数满足条件：为事件，则事件发生的概率为ABCD6已知正四面体的棱长为，是该正四面体外接球球心，且，则（ ）ABCD7抛物线的焦点为，点是上一点，则（ ）ABCD8已知,则 ()ABCD9在正方体中，点，分别为棱，的中点，给出下列命题：；平面；和成角为.正确命题的个数是（ ）A0B1C2D310已知椭圆内有一条以点为中点的弦，则直线的方程为(

3、)ABCD11已知函数，则（ ）ABCD12马林梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p1作了大量的计算、验证工作，人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2P1（其中p是素数）的素数，称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是（ ）A3B4C5D6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知无盖的圆柱形桶的容积是立方米，用来做桶底和侧面的材料每平方米的价格分别为30元和20元，那么圆桶造价最低为_元.14将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的最大值为_.15

4、若函数为奇函数，则_.16如图，从一个边长为的正三角形纸片的三个角上，沿图中虚线剪出三个全等的四边形，余下部分再以虚线为折痕折起，恰好围成一个缺少上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底，则所得正三棱柱的体积为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）如图，在三棱柱中，平面平面，侧面为平行四边形，侧面为正方形，为的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的大小.18（12分）在三角形中，角，的对边分别为，若.（）求角；（）若，求.19（12分）如图，在正四棱锥中，点、分别在线段、上，（1）若，求证：；（2）若二面角的大小为，求线段的

5、长20（12分）如图1，在边长为4的正方形中，是的中点，是的中点，现将三角形沿翻折成如图2所示的五棱锥.（1）求证：平面；（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.21（12分）已知函数.（1）若对任意x0，f（x）0恒成立，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2（x1x2），证明：.22（10分）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面为正三角形，且面面，分别为棱的中点.（1）求证：平面；（2）（文科）求三棱锥的体积；（理科）求二面角的正切值.2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的

6、四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【答案解析】所求的分母特征，利用变形构造，再等价变形，利用基本不等式求最值.【题目详解】解：因为满足，则，当且仅当时取等号，故选：【答案点睛】本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.2、A【答案解析】根据对数性质可知，再根据集合的交集运算即可求解.【题目详解】，集合，由交集运算可得.故选：A.【答案点睛】本题考查由对数的

7、性质比较大小，集合交集的简单运算，属于基础题.3、D【答案解析】分别求出球和圆柱的体积，然后可得比值.【题目详解】设圆柱的底面圆半径为，则，所以圆柱的体积.又球的体积，所以球的体积与圆柱的体积的比，故选D.【答案点睛】本题主要考查几何体的体积求解，侧重考查数学运算的核心素养.4、B【答案解析】依题意，金箠由粗到细各尺重量构成一个等差数列，则，由此利用等差数列性质求出结果【题目详解】设金箠由粗到细各尺重量依次所成得等差数列为，设首项，则，公差，.故选B【答案点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5、D【答案解析】由得，分别以为横纵坐标建立如图所示平面直角坐标系，

8、由图可知，.6、A【答案解析】如图设平面，球心在上，根据正四面体的性质可得，根据平面向量的加法的几何意义，重心的性质，结合已知求出的值.【题目详解】如图设平面，球心在上，由正四面体的性质可得：三角形是正三角形，在直角三角形中，因为为重心，因此，则，因此，因此，则，故选A.【答案点睛】本题考查了正四面体的性质，考查了平面向量加法的几何意义，考查了重心的性质，属于中档题.7、B【答案解析】根据抛物线定义得，即可解得结果.【题目详解】因为，所以.故选B【答案点睛】本题考查抛物线定义，考查基本分析求解能力，属基础题.8、B【答案解析】利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可【题目详解】，本题

9、正确选项：【答案点睛】本题考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力9、C【答案解析】建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数.【题目详解】设正方体边长为，建立空间直角坐标系如下图所示，.，所以，故正确.，不存在实数使，故不成立，故错误.，故平面不成立，故错误.，设和成角为，则，由于，所以，故正确.综上所述，正确的命题有个.故选：C【答案点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法，考查运算求解能力，属于中档题.10、C【答案解析】设，则，相减得到，解得答案.【题目详解】设，设直线斜率为，则，相减得到：，的中点为，即，故，直线

10、的方程为：.故选：.【答案点睛】本题考查了椭圆内点差法求直线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.11、A【答案解析】根据分段函数解析式，先求得的值，再求得的值.【题目详解】依题意，.故选：A【答案点睛】本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题.12、C【答案解析】模拟程序的运行即可求出答案【题目详解】解：模拟程序的运行，可得：p1，S1，输出S的值为1，满足条件p7，执行循环体，p3，S7，输出S的值为7，满足条件p7，执行循环体，p5，S31，输出S的值为31，满足条件p7，执行循环体，p7，S127，输出S的值为127，满足条件p7，执行循环体，p9，S511，输出S的值为

11、511，此时，不满足条件p7，退出循环，结束，故若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是5，故选：C【答案点睛】本题主要考查程序框图，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【答案解析】设桶的底面半径为，用表示出桶的总造价，利用基本不等式得出最小值.【题目详解】设桶的底面半径为，高为，则，故，圆通的造价为解法一： 当且仅当，即时取等号.解法二：，则，令，即，解得，此函数在单调递增；令，即，解得，此函数在上单调递减； 令，即，解得，即当时，圆桶的造价最低.所以 故答案为：【答案点睛】本题考查了基本不等式的应用，注意验证等号成立的条件，属于基础题.14、【答案解析

12、】由三角函数图象相位变换后表达函数解析式，再利用三角恒等变换与辅助角公式整理的表达式，进而由三角函数值域求得最大值.【题目详解】将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则所以，当函数最大，最大值为故答案为：【答案点睛】本题考查表示三角函数图象平移后图象的解析式，还考查了利用三角恒等变换化简函数式并求最值，属于简单题.15、-2【答案解析】由是定义在上的奇函数,可知对任意的,都成立,代入函数式可求得的值.【题目详解】由题意,的定义域为,是奇函数,则,即对任意的,都成立,故,整理得,解得.故答案为:.【答案点睛】本题考查奇函数性质的应用,考查学生的计算求解能力,属于基础题.16、1【答案解

13、析】由题意得正三棱柱底面边长6，高为，由此能求出所得正三棱柱的体积【题目详解】如图，作，交于，由题意得正三棱柱底面边长，高为，所得正三棱柱的体积为：故答案为：1【答案点睛】本题考查立体几何中的翻折问题、正三棱柱体积的求法、三棱柱的结构特征等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意翻折前后的不变量三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【答案解析】（1）连接，交与，连接，由，得出结论；（2）以为原点，分别为，轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用夹角公式求出即可.【题目详解】（1）连接，交与，连接，在中，又平面，平面，所以平面；

14、（2）由平面平面，为平面与平面的交线，故平面，故，又，所以平面，以为原点，分别为，轴建立空间直角坐标系，设平面的法向量为，由，得，平面的法向量为，由，故二面角的大小为.【答案点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.18、（）（）8【答案解析】（）由余弦定理可得，即可求出A,（）根据同角的三角函数的关系和两角和的正弦公式和正弦定理即可求出.【题目详解】（）由余弦定理，所以，所以，即，因为，所以；（）因为，所以，因为，由正弦定理得，所以.【答案点睛】本题考查利用正弦定理与余弦定理解三角形，属于简单题.19、（1）证明见解析；（2）【答案解析

15、】试题分析：由于图形是正四棱锥，因此设AC、BD交点为O，则以OA为x轴正方向，以OB为y轴正方向，OP为z轴正方向建立空间直角坐标系，可用空间向量法解决问题（1）只要证明0即可证明垂直；（2）设，得M(，0，1)，然后求出平面MBD的法向量，而平面ABD的法向量为，利用法向量夹角与二面角相等或互补可求得试题解析: (1)连结AC、BD交于点O，以OA为x轴正方向，以OB为y轴正方向，OP为z轴正方向建立空间直角坐标系因为PAAB，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)由，得N，由，得M，所以，(1，1，0)因为0，所以MNAD(2) 解：因为M在PA上，可设

16、，得M(，0，1)所以(，1，1)，(0，2，0)设平面MBD的法向量(x，y，z)，由，得其中一组解为x1，y0，z，所以可取(1，0，)因为平面ABD的法向量为(0，0，1)，所以cos，即，解得，从而M，N，所以MN 考点：用空间向量法证垂直、求二面角20、（1）证明见解析；（2）.【答案解析】（1）利用线面平行的定义证明即可（2）取的中点，并分别连接，然后，证明相应的线面垂直关系，分别以，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用坐标运算进行求解即可【题目详解】证明：（1）在图1中，连接.又，分别为，中点，所以.即图2中有.又平面，平面，所以平面.解：（2）在图2中，取的中点，并分别连接，.

17、分析知，.又平面平面，平面平面，平面，所以平面.又，所以，.分别以，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，.设平面的一个法向量，则，取，则，所以.又，所以.分析知，直线与平面所成角的正弦值为.【答案点睛】本题考查线面平行的证明以及利用空间向量求解线面角问题，属于基础题21、（1）；（2）证明见解析.【答案解析】（1）求出，判断函数的单调性，求出函数的最大值，即求的范围；（2）由（1）可知， .对分和两种情况讨论，构造函数，利用放缩法和基本不等式证明结论【题目详解】（1）由，得.令.当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，.对任意恒成立，.（2）证明：由（1）可知，在上单调递增

18、，在上单调递减，.若，则，令在上单调递增，.又，在上单调递减，.若，则显然成立.综上，.又以上两式左右两端分别相加，得，即，所以.【答案点睛】本题考查利用导数解决不等式恒成立问题，利用导数证明不等式，属于难题.22、（1）见解析（2）（文） （理）【答案解析】（1）证明：取PD中点G，连结GF、AG，GF为PDC的中位线，GFCD且，又AECD且，GFAE且GF=AE，EFGA是平行四边形，则EFAG，又EF不在平面PAD内，AG在平面PAD内，EF面PAD； （2）（文）解：取AD中点O，连结PO，面PAD面ABCD，PAD为正三角形，PO面ABCD，且，又PC为面ABCD斜线，F为PC中点，F到面ABCD距离，故；（理）连OB交CE于M，可得RtEBCRtOAB，MEB=AOB，则MEB+MB