理论力学两体问题

1、理论力学两体问题第1页，共27页，2022年，5月20日，16点58分，星期四这样，两体问题分解为两个单粒子问题。第2页，共27页，2022年，5月20日，16点58分，星期四3.2 有心力场中单粒子的运动第3页，共27页，2022年，5月20日，16点58分，星期四运动方程第4页，共27页，2022年，5月20日，16点58分，星期四第5页，共27页，2022年，5月20日，16点58分，星期四运动定性讨论第6页，共27页，2022年，5月20日，16点58分，星期四讨论粒子在吸引势 U = - a / r3中的运动情况解：粒子的有效势能：Ueff = L2 / 2mr2 - a / r3曲

2、线渐近行为 r ， Ueff 0； r 0， Ueff - 。(2)曲线零点： Ueff = 0r = ro = 2ma/L2 (3)曲线极值：dUeff / dr = 0 r = rm = 3ma/L2 (Ueff )max = L6 / 54 m3 a2 - a / r3L2 / 2mr2OE(Ueff )maxrUeffrmror1r2第7页，共27页，2022年，5月20日，16点58分，星期四3.3 与距离成反比的有心力场 吸引势：U(r) = - a / r有效势能：Ueff = L2 / 2mr2 - a / rr 0 ，Ueff + ； r ， Ueff 0。(2)曲线极值：d

3、Ueff / dr = 0 r = rm = L2 / ma(Ueff )min = m a2 / 2L2(3)曲线零点： Ueff = 0r = ro = L2 / 2ma- a / rL2 / 2mr2OE(Ueff )maxrUeffrmror1r2第8页，共27页，2022年，5月20日，16点58分，星期四比耐公式轨道方程第9页，共27页，2022年，5月20日，16点58分，星期四比耐公式轨道方程第10页，共27页，2022年，5月20日，16点58分，星期四例：已知引力作用 F(r) = - GMm / r2 ro ， 求运行轨迹。解：比耐公式 h2 u2 (d2u /d2 +

4、u ) = GM/r2 = GMu2 d2u /d2 + u = / h2 (= GM )轨迹方程: u = 1 / r = C1 cos+ C2 sin+ / h2 齐次解 非齐次解取近日点( r 极小值)的为零. r 极小值条件: dr/d= 0 , d2r /d2 0 . d(1/u)/d= - (1/u2) du/d=0 = (1/u2) ( C1 sin- C2 cos)=0 = 0 C2 = 0 r = ( C1 cos + / h2 ) -1 = p /( 1+ e cos)第11页，共27页，2022年，5月20日，16点58分，星期四 r = p /( 1+ e cos)其中

5、 p = h2 /(正焦弦长度一半), e = C1 h2 /(偏心率)。这是一原点在焦点上的圆锥曲线，力心位于焦点上。 e 1 双曲线抛物线双曲线椭圆第12页，共27页，2022年，5月20日，16点58分，星期四第13页，共27页，2022年，5月20日，16点58分，星期四第14页，共27页，2022年，5月20日，16点58分，星期四补充作业:求 e 与能量 E 的关系， 即证明：并讨论 E 与圆锥曲线型的关系.第15页，共27页，2022年，5月20日，16点58分，星期四3.4 有心力场中粒子运动轨道的稳定性轨道闭合与轨道稳定轨道稳定的含义: 由于初始条件的微小变化或势场本身的扰动

6、，使粒子偏离原轨道ro变为 r 。若r 始终保持在ro附近作小振动，则称此种轨道是稳定的；反之，若随着时间增加，r 偏离ro 越来越大，则称此种轨道是不稳定的。第16页，共27页，2022年，5月20日，16点58分，星期四3.4 有心力场中粒子运动轨道的稳定性设粒子在势场U(Z)中的轨道为 u = uo，轨道偏离： u = uo + （ 为小量）第17页，共27页，2022年，5月20日，16点58分，星期四3.4 有心力场中粒子运动轨道的稳定性若A=0， 随 ( 从而随 t ) 线性增加；若A 0， 作简谐振动，轨道稳定。轨道稳定条件：第18页，共27页，2022年，5月20日，16点58

7、分，星期四讨 论U = a / r，A = 1 0，轨道稳定。U = - a / r3， A = 1 6ma / r L2 = 1 - 3 rm / r 轨道稳定条件 A 0 变为 r 3 rm (3) U = k r2，A = 1 + 6mk r4 / L2 0 轨道永远稳定条件。圆形轨道稳定性条件为：(Ueff = L2 / 2mr2 + U)dUeff /dr = 0， dUeff /dr 03 dU/dr + d2U/dr2 0或 - 3 F - dF/dr 0第19页，共27页，2022年，5月20日，16点58分，星期四OAo3.6 粒子散射问题 设有心力场的力心在 O 点，由于有

8、心力场对力心是中心对称的，所以轨道对OA是轴对称的。设无穷远处质点速率为 v ，瞄准距离为。第20页，共27页，2022年，5月20日，16点58分，星期四OAo第21页，共27页，2022年，5月20日，16点58分，星期四 散射要考虑一束速度相同的全同粒子群。假设粒子束在其截面内密度均匀，而各个粒子有不同的瞄准距离，相应有不同的散射角 。d 假定 n 为单位时间内通过垂直于束的单位截面积的粒子数，单位时间内落入散射角到+d内的粒子数为 dN ，则定义散射的有效截面为 d= dN/n ， dN个粒子可能来自() 到() + d() 区间内的粒子。第22页，共27页，2022年，5月20日，16点58分，星期四 假定 n 为单位时间内通过垂直于束的单位截面积的粒子数，单位时间内落入散射角到+d内的粒子数为 dN ，则定义散射的有效截面为 d= dN/n ， dN个粒子可能来自() 到()+ d() 区间内的粒子，即 dN = 2nd，所以 d= 2d = 2d/ dd到+ d对应的立体角为 d=2sind 因而 d=(/sin)d/ ddd第23页，共27页，2022年，5月20日，16点58分，星期四试求粒子在半径为 a 的刚性上散射的有效截面第24页，共27页，2022年，5月20日，16点58分，