文科概率和统计基础知识

1、本文格式为Word版，下载可任意编辑 文科概率和统计基础知识 概率与统计 一、统计 1 1 三种抽样方法的对比 类别 共同点 特点 相互联系 适用范围 简 单 随 机抽样 抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等；每次抽出个体后不再放回，即不 放回抽样. 从总体中逐个抽 取. 总 体 个 数较少. 系统抽样 将总体平均分成几部分，按预先制定的规矩在各 部分中抽取 1 个个体. 系统：在 起始部分取样时，采用简单随机抽样，其余部分等距抽。 分层：各层抽样时，采用简单随机抽样或系统抽样（层的容量大时可用系统抽样）. 总 体 个 数较多. 分层抽样 将 总 体 分 成 几层，按各层个体 数之比抽取. 总

2、体由差 异 明 显 的几 部 分 组成. 2 2 常用的统计图表：一表（频率分布表）；两图（频率分布直方图和茎叶图） (1) 频率分布直方图 小长方形的面积=组距频率组距=频率； 各小长方形的面积之和等于 1； 小长方形的高=频率组距，所有小长方形的高的和为1组距 【注意】直方图的纵轴（小长方形的高）一般是） 频率除以组距的商（而不是频率），横轴一般是 数据的大小，小长方形的面积表示频率 (2)茎叶图 在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好 3 3 用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数 数字特征 样本数据 频率分布直方图 众数 出现次数最多的数据 取最高的小长方

3、形 底边中点 的横坐标 中位数 将数据 按大小依次排列，处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数） 把频率分布直方图划分成 左右两个面积相等的 分界限与 x 轴交点的横坐标 平均数 样本数据的 算术平均数 每个小长方形的面积乘以小长方形 底边中点的横坐标之 和 (2)平均数1 21( )nx x x xn 方差2 2 2 21 21( ) ( ) ( ) ns x x x x x xn 标准差2 2 21 21( ) ( ) ( ) ns x x x x x xn 【提醒】标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定 4 变量间的相关关系 知识点分析 1、线性回归方程： a x b

4、 y （ x 叫做解释变量， y 叫做预报变量） 线性回归方程系数公式： （ 公式说明： 回归直线过样本的中心点 ) ( y x ， ，也就是平均值点.） 2、相关系数公式 3、几个结论： （1）回归直线过样本的中心点 ) ( y x ， . （2） b b 0 0 时， y 与 x 正相关，散点图呈上升趋势； b b 0 0 时， y 与 x 负相关，散点图呈下降趋势. （3）斜率 b 的含义（举例）： 假如回归方程为 y =2.5 x +2， 说明 x 增加 1 个单位时， y 平均增加 2.5 个单位； 假如回归方程为 y =2.5 x +2，说明 x 增加 1 个单位时， y 平均减少

5、 2.5 个单位. （4）相关系数 r 表示变量的相关程度。 范围： 1 r ，即 1 1 r r 越 大，相关性越 强。 0 r 时， y 与 x 正相关； 0 r 时， y 与 x 负相关. （5）相关指数2R 表示模型的拟合效果。范围： 1 0 2， R 2R 越 大，拟合效果越 好， ，（这时：残差平方和越小，残差点在带状区域内的分布对比均匀，带状区域宽度越窄，拟合精度越高）. 2R 表示解释变量 x 对于预报变量 y 变化的贡献率。 例如： 64 . 02 R ，说明 x 解释了 64%的 y 变化，或者说 y 的差异有 64%是由 x引起的。 （6）线性回归模型 e a bx y

6、， 其中 e 叫做 随机误差。（ y 是由 x 和 e 共同确定的） 二、概率 1 1 概率的五个基本性质 (1)随机事件 A 的概率：0 ( ) P A 1 (2)必然事件的概率为 1 (3)不可能事件的概率为 0 (4)假如事件 A 与事件 B 互斥（不可能同时发生），则 ( ) ( ) ( ) P A B P A P B (5)假如事件 A 与事件 B 互为对立事件（不会同时发生，但一定有一个发生），那么( ) ( ) ( ) 1 P A B P A P B ，即 ( ) 1 ( ) P A P B 对立必互斥，互斥未必对立 2 2 古典概型 (1)特点：有限性，等可能性 (2)概率公式

7、： ( )AP A 事件 中所含的基才能件数试验的基才能件总数 3 3 几何概型 (1)特点：无限性，等可能性 (2)概率公式：( )( )( )AP A 构成事件 的区域长度 面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度 面积或体积 三 、独立性检验 （一） 知识点分析 1 1 、 2 22 列联表：统计 被调查者的两种状态， 每种状态又分两种状况的调查结果表.对于 性别变量，其取值为男和女两种，这种变量的不同值表示个体所属的不同类别，像这类变量称为 分类变量。 2 2 、卡方统计量：为了研究事件 X 与 Y 的关系，经调查得到一张 22 列联表，如下表所示： Y 1 Y 2 合计 X 1 a

8、b a + b X 2 c d c + d 合计 a + c b + d n = a + b + c + d 独立性检验原理：也叫） 假设性检验（类似反证法原理），一般状况下， 假设分类变量 X和 Y 之间 没有关系，通过计算2K 值，然后 查表对照相应的概率 P P， 发现这种假设正确的概率 率 P P 很小，从而 推翻假设，结果得出 X 和 Y 之间 有关系的可能性为(1P),也就是X X 和 和 Y Y有关系.（表中的 k 就是2K 的观测值，即2K k ） 统计量2K （读做 卡方），它的表达式是：) )( )( )( () (22d b c a d c b abc ad nK 独立性

9、检验临界值表 P P( ( k k 2 2 k k ) ) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 （表中的 K K 是理论值，2K 是实际观测值，2K 越 大，说明变量间越 有关系） （二） 独立性检验举例 例 例 1 1、某高校统计初步课程的教师随机调查了选该课的一些学生状况，具体数据如下表： 非统计专业 统计专业 男 13 10 女 7 20 为了检验主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，查对临界值 P P( ( k k 2 2 k k ) ) 0.10 0.05 0.025 0.010 k k 2.706 3.841 5.024 6.635 根据表中数据，得到 。所以有 的把握认为主修统计专业与性别有关系。 例 例 2 2、某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节 目观众的抽样调查中，随机抽取了 100 名电视观 众，相关的数据如表所示： （1）由表中数据分析，收看新闻节目的观众是 否与年龄有关？ （2）用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5 名，大于 40 岁的观众应当抽取几名？ （3）在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名