2023年北京数学考试说明分为三部分(理科)

1、第29页 共29页2023年普通高等学校招生全国统一考试北京卷数学考试说明理科考试性质普通高等学校招生全国统一考试考试是合格的高中毕业生和具有同等学力的考生参加的选拔性考试高等学校根据学生考试成绩，按已确定的招生方案，德、智、体全面衡量，择优录取。因此，高考应具有较高的信度、效度，必要的区分度和适当的难度试卷结构全卷包括两局部：一、选择题，二、非选择题全卷20题，分为选择题、填空题和解答题三种题型选择题是四选一型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不要求写出计算过程或证明过程；解答题包括计算题、证明题、应用题等，要求写出文字说明、演算步骤或证明过程三种题型的题目个数分别为8、6、6；分值分

2、别为40、30、80试卷由容易题、中等难度题和难题组成，并以中等难度题为主，总体难度适当考试内容及要求一、考核目标与要求数学科高考注重考查中学数学的根底知识、根本技能、根本思想方法，考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及分析问题和解决问题的能力根据普通高等学校对新生文化素质的要求，依据教育部2003年公布的?普通高中课程方案(实验)?和?普通高中数学课程标准(实验)?，以及?北京市普通高中新课程数学学科教学指导意见和模块学习要求(试行)?，确定必修课程、选修课程系列2和系列4中的4-4的内容为理工类高考数学科的考试内容关于考试内容的知识要求和能力要求的说明

3、如下：1.知识要求对知识的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次，分别用A，B，C，D表示，且高一级的层次要求包含低一级的层次要求了解、理解、掌握是对知识的根本要求详见考试范围与要求层次，灵活和综合运用不对应具体的考试内容1了解A：对所列知识内容有初步的认识，会在有关的问题中进行识别和直接应用2理解B：对所列知识内容有理性的认识，能够解释、举例或变形、推断，并能利用所列的知识解决简单问题3掌握C：对所列知识内容有深刻的理性认识，形成技能，并能利用所列知识解决有关问题4灵活和综合运用D：系统地把握知识的内在联系，并能运用相关知识分析、解决比拟综合的问题 2.能力要求能力是指空间

4、想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及分析问题和解决问题的能力1空间想象能力：能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中根本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变形2抽象概括能力：能在对具体的实例抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中，概括出一些结论，并能将其应用于解决问题或作出新的判断3推理论证能力：会根据的事实和已获得的正确数学命题来论证某一数学命题正确性4运算求解能力：会根据概念、公式、法那么正确对数、式、方程、几何量等进行变形和运算；能分析条件，寻求与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计

5、，并能近似计算 5数据处理能力：会依据统计中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题6分析和解决问题的能力：能阅读、理解对问题进行陈述的材料；能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述；能选择有效的方法和手段对新颖的信息、情境和设问进行独立的思考与探究，创造性地解决问题3.个性品质要求考生能以平和的心态参加考试，合理支配考试时间，以实事求是的科学态度解答试题，树立战胜困难的信心，具有锲而不舍的精神4.考查要求1对数学根底知识的考查，既全面又突出重点，注重学科的内在联系和知识的综合2数学思想和方法是数学知识在更

6、高层次上的抽象和概括对数学思想和方法的考查与数学知识的考查结合进行，考查时，从学科整体意义和思想含义上立意，注重通性通法，淡化特殊技巧3对数学能力的考查，以抽象概括能力和推理论证能力为核心，全面考查各种能力强调探究性、综合性、应用性突出数学试题的能力立意，强化对素质教育的正确导向4注重试题的根底性、综合性和层次性合理调控综合程度，坚持多角度，多层次的考查二、考试范围与要求层次考试内容要求层次ABC集合与常用逻 辑用语集合集合的含义集合的表示集合问的根本关系集合的根本运算常用逻辑用语“假设p,那么q形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题 四种命题的相互关系 充要条件简单的逻辑联结词 全称量词与存

7、在量词 考试内容要求层次ABC函数概念与指 数函数对数函 数、幂函数函数函数的概念与表示映射单调性与最大(小)值奇偶性指数函数有理指数幂的含义实数指数幂的意义幂的运算指数函数的概念、图象及其性质对数函数对数的概念及其运算性质换底公式对数函数的概念、图象及其性质指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数(a0且a1)幂函数幂函数的概念幂函数的 图象及其性质函数的模型及其应用函数的零点二分法函数模型的应用三角 函数、三角恒等 变换、解三角形三角函数任意角的概念和弧度制弧度与角度的互化任意角的正弦、余弦、正切的定义 用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦和正切 诱导公式 同角三角函数的根本关系

8、式 周期函数的定义、三角函数的周期性 函数y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象和性质函数y=Asin(x+)的图象用三角函数解决一些简单的实际问题 三角恒等变换两角和与差的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式简单的恒等变换考试内容要求层次ABC解三角形正弦定理、余弦定理解三角形数列数列的概念数列的概念和表示法等差数列、等比数列等差数列的概念等比数列的概念 等差数列的通项公式与前n项和公式等比数列的通项公式与前n项和公式 不等式一元二次 不等式解一元二次不等式简单的线性规划用二元一次不等式组表示平面区域简单的线性规划问题根本不等式：(a,b0)用根本不等式解决简单的最大 (

9、小)值问题推理与证明合情推理 与 演绎推理合情推理归纳和类比演绎推理直接证明与间接证明综合法分析法反证法数学归纳法数学归纳法平面向量平面向量平面向量的相关概念向量的线 性运算向量加法与减法 向量的数乘 两个向量共线 平面向量的根本定理及坐标 表示平面向量的根本定理 平面向量的正交分解及其坐标表示 用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 用坐标表示的平面向量共线的条件平面向量 的数量积数量积 数量积的坐标表示 考试内容要求层次ABC平面向量平面向量 的数量积用数量积表示两个向量的夹角用数量积判断两个平面向量的垂直 关系 向量的应用用向量方法解决简单的问题导数及其应用导数概念及其几何意义导数的概

10、念 导数的几何意义 导数的运算根据导数定义求函数 的导数 导数的四那么运算 简单的复合函数(仅限于形如 )的导数 导数公式表 导数在研究函数中的应用利用导数研究函数的单调性(其中多项式函数不超过三次)函数的极值、最值(其中多项式函数不超过三次)利用导数解决某些实际问题 定积分与微积分根本定理定积分的概念 微积分根本定理 数系的扩充与 复数的引人复数的概 念与运算复数的根本概念，复数相等的条件 复数的代数表示法及几何意义 复数代数形式的四那么运算 复数代数形式加减法的几何意义 立体几何初步空间 几何体柱、锥、台、球及其简单组合体 三视图 斜二侧法画简单空间图形的直观图 球、棱柱、棱锥的外表积和体

11、积 点、直线、 平面间的 位置关系空间线、面的位置关系 公理1、公理2、公理3、公理4、 定理*线、面平行或垂直的判定 线、面平行或垂直的性质 考试内容要求层次ABC空间向量与立 体几何空间直角 坐标系空间直角坐标系 空间两点间的距离公式 空间向量 及其运算空间向量的概念 空间向量根本定理 空间向量的正交分解及其坐标表示 空间向量的线性运算及其坐标表示 空间向量的数量积及其坐标表示 运用向量的数量积判断向量的共线 与垂直空间向量的应用直线的方向向量 平面的法向量 线、面位置关系 线线、线面、面面的夹角 平面解析几何初步直线与方程直线的倾斜角和斜率 过两点的直线斜率的计算公式 两条直线平行或垂直

12、的判定 直线方程的点斜式、两点式及一般式 两条相交直线的交点坐标 两点间的距离公式、点到直线的距 离公式 两条平行线间的距离 圆与方程圆的标准方程与一般方程 直线与圆的位置关系 两圆的位置关系 圆锥曲线与方程圆锥曲线椭圆的定义及标准方程 椭圆的简单几何性质 抛物线的定义及标准方程抛物线的简单几何性质 双曲线的定义及标准方程 双曲线的简单几何性质 直线与圆锥曲线的位置关系曲线与方程曲线与方程的对应关系算法初步算法及其 程序框图算法的含义程序框图的三种根本逻辑结构考试内容要求层次ABC算法初步根本算法语句输入语句、输出语句、赋值语句、 条件语句、循环语句计数原理加法原理、 乘法原理分类加法计数原理

13、、分步乘法计数原理 用分类加法计数原理或分步乘法计 数原理解决一些简单的实际问题 排列与组合排列、组合的概念 排列数公式、组合数公式 用排列与组合解决一些简单的实际问题 二项式定理用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 统计随机抽样简单随机抽样 分层抽样和系统抽样 用样本估计总体频率分布表，直方图、折线图、茎叶图 样本数据的根本的数字特征(如平均数、标准差)用样本的频率分布估计总体分布， 用样本的根本数字特征估计总体的根本数字特征 变量的相关性线性回归方程 概率事件与概率随机事件的概率 随机事件的运算 两个互斥事件的概率加法公式 古典概型古典概型 几何概型几何概型 概率取有限值的离散型随机

14、变量及其分 布列 超几何分布 条件概率 事件的独立性 n次独立重复试验与二项分布 取有限值的离散型随机变量的均值、方差 正态分布 坐标系与参数 方程极坐标系用极坐标表示点的位置极坐标和直角坐标的互化考试内容要求层次ABC坐标系与参数 方程参数方程直线的参数方程 圆的参数方程 椭圆的参数方程 *公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。公理2：经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理4：同平行于一条直线的两条直线互相平行.定 理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，

15、那么这两个角相等或互补.参考样题一、选择题：在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.【试题1】2003年理工类第1题 设集合A=x|x2-1 0，B=x|log2x 0，那么AB等于 (A)x|x1 (B)x|x0 (C)x|x-1 (D)x|x1【答案】 A【说明】此题主要考查集合、交集的概念，一元二次不等式的解法，对数函数的性质此题难度为0. 98.【试题2】2023年理工类第2题假设复数在复平面内对应的点在第二象限，那么实数a的取值范围是A，1 B，1C1，+ D1，+【答案】 B【说明】此题考查复数的概念与运算因为，复数在复平面内对应的点在第二象限，所以，解得：，应选B.此题难

16、度为0. 94.【试题3】2006年理工类第3题 在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有 (A) 36个 (B) 24个 (C) 18个 (D)6个【答案】 B【说明】此题考查排列、组合的根底知识，考查推理能力. 经分析可知要从1，2，3，4，5中取三个数，使其和为奇数，只有取一个奇数两个偶数或三个奇数才符合要求，于是可得满足条件的三位数的个数共有此题难度为0.75.【试题4】2004年理工类第3题 设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面给出以下四个命题：假设m，n，那么mn；假设，ma，那么m；假设m，n，那么mn假设，那么. 其中正确命题的

17、序号是 (A)和 (B)和 (C)和(D)和【答案】 A【说明】 此题主要考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系，并考查把符号语言、文字语言、图形语言进行转换的能力，以及空间想象能力，此题难度为0. 90.【试题5】2023年理工类第7题如图，函数的图象为折线，那么不等式的解集是(A)(B)(C)(D)【答案】 C【说明】此题考查函数的图象及其变换，考查函数不等式，考查数形结合的思想方法.当时，当时，当时，所以不等式的解集是.所以选C.此题难度0.74.【试题6】2023年理工类第6题设m，n为非零向量，那么“存在负数，使得m=n是“mn0的A充分而不必要条件B必要而不充

18、分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】 A【说明】此题考查平面向量的线性运算、数量积和充分必要条件假设，使，那么充分性得证取非零向量和，那么m=n当且仅当但此方程组无解所以必要性不成立所以选A此题难度为0.73【试题7】2023年理工类第6题设是等差数列. 以下结论中正确的是(A)假设，那么(B)假设，那么(C)假设，那么(D)假设，那么【答案】 C【说明】 此题主要考查等差数列的概念及其性质，考查不等式及其性质，考查学生推理论证能力假设，那么，.所以选C此题难度为0.85.【试题8】2023年理工类第3题执行如下图的程序框图，输出的值为A2BCD【答案】 C【说明】此题考查程序

19、框图框图所表示的是连分数的运算，算法执行过程如下：k初值0123结束循环s初值1 输出s值所以选C此题难度为0. 96.【试题9】2023年理工类第7题某三棱锥的三视图如下图，该三梭锥的外表积是(A) 28+6(B) 30+6(C) 56+ 12(D) 60+12【答案】 B【说明】 此题考查三视图的阅读理解，在从三视图复原直观图的过程中考查考生空间想象能力、逻辑推理和计算能力.根据题目条件，三棱锥P-ABC的直观图如右图所示，其中PCA和RtACB的面积都是. 在RtPPA，RtPPC中分别求得PA=，PC= =5=AC.因此RtPCB的面积为，等腰ACP中底边PA上的高CM=.在RtBCM

20、中，BM=由于RtACB与RtPCB全等，故AB=PB，于是等腰PBA面积为. 故三棱锥外表积为30 +60.应选B此题难度为0.65.【试题10】2006年理工类第5题 是上的减函数，那么 a 的取值范围是 A0，1 B0， C, D,1 【答案】C【说明】 此题以分段定义函数为载体，考查函数单调性的概念以及一次函数和对数函数的性质. 函数f(x)在一，1内为减函数的条件是3a-1 0.函数f(x)在1，+内为减函数的条件是0 a 1要使f(x)是一，+上的减函数，还应有3a-11+4alogal.由上可解得abc，那么a+bc是假命题的一组整数a，b，c的值依次为_.【答案】 答案不唯一【

21、分析】此题考查不等式的性质显然，但所以能够说明“设a，b，c是任意实数，假设abc，那么a+bc是假命题的一组整数a，b，c的值依次为此题难度为0.86.【试题20】2005年理工类第14题n次多项式,如果在一种算法中，计算k2，3，4，n的值需要k-1次乘法，计算的值共需要9次运算6次乘法，3次加法，那么计算的值共需要次运算下面给出一种减少运算次数的算法：k0， 1，2，n-1利用该算法，计算的值共需要6次运算，计算的值共需要次运算【答案】 n(n3) 2n【说明】此题考查学生理解运算对象，掌握运算法那么，探索运算方向的数学运算的核心素养，同时通过对算理的深入理解，引导学生关注简洁的运算途径

22、的选择此题的背景是中国古代数学中的“秦九韶算法，目的是引导学生了解中国优秀传统数学文化，潜移默化地增加学生的爱国主义情感.在第一个算法里，每步运算都是孤立的，先计算各个单项式，再求和在第二个算法的，要计算的值只需在的根底上再进行两次运算.此题难度为0. 27.【试题21】2023年理工类第9题 在极坐标系中，点(2，)到直线sin=2的距离等于 .【答案】 1【说明】此题考查极坐标与直角坐标互化，以及直角坐标系中点到直线的距离.直线sin=2的直角坐标形式为y=2点2，的直角坐标为，1所以点到直线的距离为其纵坐标之差，等于1此题难度为0. 87.三、解答题：解容许写出文字说明、演算步骤或证明过

23、程【试题22】2023年理工类第15题在ABC中，角A，B，c的对边分别为a，b，c，B=，cosA=，b=.( I)求sinC的值；()求ABC的面积【答案】因为角A、B、C为ABC的内角，且，所以.于是.由知，又因为，所以在ABC中，由正弦定理，得.于是ABC的面积【说明】此题主要考查利用三角知识解三角形和根本的运算能力.考查了三角函数中的同角三角函数的平方关系、诱导公式、两角和与差的三角函数、正弦定理及三角形的面积公式，本大题难度为0. 83.【试题23】2023年理工类第16题如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD，点M在线段PB上，PD/平面MAC

24、，PA=PD=，AB=4.求证：M为PB的中点；求二面角B-PD-A的大小；求直线MC与平面BDP所成角的正弦值。【答案】解：设，交点为，连接.因为/平面，平面平面=，所以/.因为是正方形，所以为BD中点.所以M为PB的中点.取AD的中点O，连接OP，OE.因为PA=PD，所以OPAD.又因为平面PAD平面ABCD，且OP平面PAD，所以OP平面ABCD.因为OE平面ABCD，所以OPOE.因为是正方形，所以OEAD.如图建立空间直角坐标系Oxyz，那么，.设平面BDP的法向量为，那么即令x=1，那么y=1,.于是.平面PAD的法向量为.所以.由题知二面角B-PD-A为锐角，所以它的大小为.由

25、题意知，C(2,4,0)，. 设直线MC与平面BDP所成角为，那么. 所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为.【说明】此题主要考查线线、线面、面面的位置关系，考查直线与平面、直线与平面平行的判断及性质，考查二面角、直线与平面所成的角，考查学生运用图形语言和符号语言进行交流表达的能力，考查逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养.本大题难度0.86.【试题24】2023年理工类第17题近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下

26、单位：吨：“厨余垃圾箱“可回收物箱“其他垃圾箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060试估计厨余垃圾投放正确的概率；试估计生活垃圾投放错误额概率；假设厨余垃圾在“厨余垃圾箱、“可回收物箱、“其他垃圾箱的投放量分别为其中a0，=600.当数据的方差最大时，写出的值结论不要求证明，并求此时的值.注：，其中为数据的平均数【答案】()厨余垃圾投放正确的概率约为()设生活垃圾投放错误为事件A，那么事件表示生活垃圾投放正确事件的概率约为厨余垃圾箱里厨余垃圾量、可回收物箱里可回收物量与其他垃圾箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P约为，所以PA约为()当，时，取得最大值因为，

27、所以【说明】此题考查的是概率统计的相关知识，要求考生能正确理解分类的含义，会判断总体，能理解方差刻画的是数据的离散程度，反映的是数据分布的一种规律，如果方差越大，就说明数据分布越离散，如果方差越小，就说明数据分布越集中，本大题难度为0. 66.【试题25】2023年理工类第17题某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，()，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为0123Pb()求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；()求，的值；()求数学期望.【答案】事件表示“该生第门课程取得优秀成绩

28、，=1,2,3，由题意知，I由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩与事件“是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是.II由题意知，.整理得，.由，可得，.III由题意知 =.=. =.【说明】此题主要考查对立事件的概率计算方法、离散型随机变量的分布列的意义、数学期望的计算，并与多个独立事件的概率建立联系 此题逆向设问，一般情况下给出多个独立事件的概率，来求一个离散型随机变量的分布列.此题相反，离散型随机变量的分布列，理解这个分布列中各个概率的含义，然后与根本独立事件之间建立联系本大题难度为0. 79.【试题26】2023年理工类第18题函数f(x)=ln.I求曲线y=f(x)在点

29、(0,f(0)处的切线方程;II求证:当x(0,1)时，f(x)2;III设实数k使得f(x)k QUOTE x+x33对x(0,1)恒成立,求k的最大值.【答案】I因为f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)，所以f(x)= QUOTE 11+x+11-x,f(0)=又因为f(0)=0,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=2x.II令g(x)=f(x)-2,那么g(x)=f(x)-2(1+x2)= QUOTE 2x41-x2因为g(x)0(0 xg(0)=0,x(0,1),即当x(0,1)时,f(x)2 QUOTE x+x33.III由II知,当k2时,f(x)k QUO

30、TE x+x33对x(0,1)恒成立.当k2时,令h(x)=f(x)-k QUOTE x+x33,那么h(x)=f(x)-k(1+x2)= QUOTE kx4-(k-2)所以当0 x QUOTE 4k-2k时,h(x)0,因此h(x)在区间 QUOTE 0,4k-2k上单调递减.当0 x QUOTE 4k-2k时,h(x)h(0)=0,即f(x)2时,f(x)k QUOTE x+x33并非对x(0,1)恒成立.综上可知,k的最大值为2.【说明】此题主要考查对数函数的性质和导数公式，复合函数的求导法那么；考查导数的几何意义，导数正负与函数单调性的关系考查转化与化归及分类讨论的思想方法此题难度为0

31、.43【试题27】2023年理工类第19题椭圆.= 1 * ROMANI求椭圆的离心率；= 2 * ROMANII设O为原点.假设点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OAOB，试判断直线AB与圆的位置关系，并证明你的结论.【答案】= 1 * ROMANI由题意，椭圆C的标准方程为所以a2=4，b2=2，从而c2=a2-b2=2，因此a=2，c=.故椭圆C的离心率e=.直线AB与圆x2+y2=2相切证明如下：设A，B的坐标分别为(x0,y0)，(t,2)，其中x00.因为OAOB，所以，即tx0+2y0=0，解得.当x0=t时，y0=，代入椭圆C的方程，得t=.故直线AB的方程为x=，圆心O到直线AB的距离d=.此时，直线AB与圆与圆x2+y2=2相切.当x0t时，直线AB的方程为，即y0-2