高中数学新课程创新教学设计案例-对数函数

1、12 对 数 函 数教材分析对数函数是一类重要的函数模型，它与指数函数互为反函数教材是在学生学过指数函数、对数及其运算的基础上引入对数函数的概念的须要说明的是，这里与传统的教材有所不同，即没有先学习反函数，这对学生学习对数函数的概念、图像及性质有较大影响，使指数函数的知识点不能直接应用于对数函数的知识点，但从对数的定义中知道：指数式与对数式可互化因此，在某些方面，如在画对数函数ylog2x的图像列表时，可以把画指数函数y2x图像时列的表中的x与y的值对调这节内容的重点是对数函数的概念、图像及性质，难点是对数函数与指数函数的关系教学目标1. 通过过具体实实例，直直观了解解对数函函数模型型刻画的的

2、数量关关系，初初步理解解对数函函数的概概念，并并能画出出具体对对数函数数的图像像，掌握握对数函函数的图图像和性性质2. 知道道指数函函数yax与对数数函数yyloogax互为为反函数数（a0且aa1）3. 能应应用对数数函数的的性质解解有关问问题任务分析首先复习指指数函数数、对数数的定义义及对数数的性质质，这也也是学习习本节内内容的基基础解解析式xxloogay是函函数，叫叫作对数数函数，为为了符合合习惯，常常写成yyloogax这这些内容容学生较较难理解解，教学学时要引引起重视视教学学中，要要注意从从实例出出发，使使学生从从感性认认识提高高到理性性认识；要注意意运用对对比的方方法；要要结合对

3、对数函数数的图像像抽象概概括对数数函数的的性质注意：不要求求讨论形形式化的的函数定定义，也也不要求求求已知知函数的的反函数数，只须须知道对对数函数数与指数数函数互互为反函函数教学设计一、问题情情境同指数函数数中的细细胞分裂裂问题，即即：某种种细胞分分裂时，由由1个分分裂成22个，22个分裂裂成4个个，4个个分裂成成8个1个个这样的的细胞分分裂x次次后，得得到的细细胞的个个数为yy我们已经知知道，个个数y是是分裂次次数x的的函数，解解析式是是y22x形式式上是指指数函数数（这里里的定义义域是NN）思考：在这这个问题题中，细细胞分裂裂的次数数x是不不是细胞胞分裂个个数y的的函数？若是，这这个函数数

4、的解析析式是什什么？x也是y的的函数，由由对数的的定义得得到这个个新函数数是xlogg2y其其中，细细胞的个个数y是是自变量量，细胞胞分裂的的次数xx是函数数二、建立模模型1. 学生生讨论（1）函数数xllog22y与指指数函数数y22x有何关关系？（2）函数数llog22y中的的自变量量、字母母与我们们以前所所学的函函数有何何区别？结论：问题题（1）：两函数数中的xx表示的的都是细细胞分裂裂的次数数，y表表示的都都是细胞胞分裂的的个数，对对应法则则都是以以2为底底数，一一个是取取对数，一一个是取取指数，正正好相逆逆注意：这里里不能说说它们互互为反函函数，因因为还没没有学习习反函数数的概念念问

5、题（2）：这里的的自变量量所用字字母是yy，以前前学习的的函数的的自变量量常用字字母x，即即这里的的用法不不合习惯惯2. 教师师明晰定义：函数数xllongg2y，（aa0，且且a11）叫作作对数函函数，它它的定义义域是（00，），值值域是（，）由对数函数数的定义义可知，在在指数函函数yax和对数数函数xxloogay中，xx，y两两个变量量之间的的关系是是一样的的不同同的只是是在指数数函数yyaxx里，xx是自变变量，yy是因变变量，而而在对数数函数xxloogay中，yy是自变变量，xx是因变变量习习惯上，我我们常用用x表示示自变量量，y表表示因变变量，因因此，对对数函数数通常写写成ylo

6、ggay，（aa0且且a11，x0）3. 练习在同一坐标标系中画画出下列列函数的的图像（1）ylonng2x（22）y解：列表：表12-1思考：上表表中的xx，y的的对应值值与指数数函数中中所列表表的对应应值有何何关系？描点，画图图：4. 观察察上面的的函数图图像，结结合列表表，仿照照指数函函数的性性质，归归纳总结结出对数数函数的的性质（1）定义义域是（00，），值值域是（，）（2）函数数图像在在y轴的的右侧且且过定点点（1，00）（3）当aa1时时，函数数在定义义域上是是增函数数，且当当x11时，yy0；当0 x11时，yy0当0a1时，函函数在定定义域上上是减函函数，且且当x1时，yy0；

7、当0 x11时，yy0三、解释应应用例题1. 求下下列函数数的定义义域（1）ylogg2x2（2）yylooga（4x）（33）y解：（1）xxx0（2）（，44）（33）（00，1）2. 比较较下列各各组数的的大小（1）loog23与llog223.55（2）looga5.11与looga5.99，（aa0且且a11）（3）loog67与llog776解：（1）考考查对数数函数yyloog2x21，它在（00，）上是是增函数数又33.5，log223llog223.55（2）当aa1时时，looga5.11looga5.99；当0a1时，llogaa5.11looga5.99（3）loog6

8、711loog76总结：本例例是利用用对数的的单调性性比较两两个对数数的大小小，当底底数与11的大小小不确定定时，要要分类讨讨论；当当不能直直接进行行比较时时，可在在两个数数中间插插入一个个已知数数间接比比较两个个数的大大小3. 溶液液的酸碱碱度是通通过pHH值来刻刻画的，ppH值的的计算公公式为ppHlgH+，其其中HH+表示示溶液中中氢离子子的浓度度，单位位是moolLL（1）根据据对数函函数性质质及上述述pH值值的计算算公式，说说明溶液液的酸碱碱度与溶溶液中氢氢离子的的浓度之之间的变变化关系系（2）已知知纯净水水中氢离离子的浓浓度为H+110-77mollL，计计算纯净净水的ppH值解：

9、（1）根根据对数数的性质质，有pHllgHH+llgHH+11lgg，所以溶液中中氢离子子的浓度度越大，溶溶液的酸酸度就越越小（2）当H+110-77时，ppHlg110-777，所所以，纯纯净水的的pH值值是74. 设函函数f（xx）llg（aaxbx），（aa1b00），问问：当aa，b满满足什么么关系时时，f（xx）在（11，）上恒恒取正值值？解：当x（1，）时时，lgg（axxbx）00恒成立立axbx1恒恒成立令g（x）axbxa1b00，g（x）在在（0，）上上是增函函数，当x11时，gg（x）g（11）aab，当abb1时时，f（xx）在（11，）上恒恒取正值值练习1. 求函函数

10、y的定义义域2. 比较较logg0.550.22与loog0.50.3的大大小3. 函数数yllg（xx22xx）的增增区间是是 _ 4. 已知知a00，且aa1，则则在同一一直角坐坐标系中中，函数数yaa-x和yylooga（xx）的图图像有可可能是（）5. 大西西洋鲑鱼鱼每年都都要逆流流而上220000m，游游回产地地产卵研究鲑鲑鱼的科科学家发发现，一一岁鲑鱼鱼的游速速可以表表示为函函数，单单位是mms，其其中Q表表示鲑鱼鱼的耗氧氧量（1）当一一条鲑鱼鱼的耗氧氧量是227000个单位位时，它它的游速速是多少少？（2）计算算一条鲑鲑鱼的最最低耗氧氧量四、拓展延延伸1. 作出出对数函函数ylo

11、ggax，（aa1）与与yllogaax，（00a1）的的草图2. 说出出指数函函数与对对数函数数的关系系以指数函数数y22x与对数数函数yyloog2x为代代表加以以说明（1）对数数函数yyloog2x是把把指数函函数y2x中自变变量与因因变量对对调位置置而得出出的教师明晰：当一个个函数是是一一映映射时，可可以把这这个函数数的因变变量作为为一个新新的函数数的自变变量，而而把这个个函数的的自变量量作为新新的函数数的因变变量我我们称这这两个函函数互为为函数函数yyf（xx）的反反函数记记作：yyf-1（xx）对数函数yyloog2x与指指数函数数y22x互为反反函数（2）对数数函数yyloog2x与指指数函数数y22x的图像像关于直直线yx对称称（3）指数数函数与与对数函函数对照照表表12-22点评这篇案例首首先通过过细胞分分裂问题题说明了了对数函函数的意意义，这这样安排排既有利利于学生生理解对对数函数数的概念念，又有有利于学学生了解解了它与与指数函函数的关关系其其次通过过画具体体的对数数函数的的图像，归归纳总结结出对数数函数的的性质，体体现了由由特殊到到一