向量地极化恒等式等线地应用学生版

1、合用标准极化恒等式引例：平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型。你能用向量方法证明：平行四边形的对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.证明：不如设ABa,ADb,则ACab，DBab，2AC2222ACaba2abb（1）2DB2222DBaba2abb（2）AC222222（1）（2）两式相加得：DB2ab2ABAD结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.思虑1：若是将上面（1）（2）两式相减，能获取什么结论呢？122极化恒等式abbaba4关于上述恒等式，用向量运算显然简单证明。那么基于上面的引例，你感觉极化恒等式的几何意义是什么？几何意义：向量的数量积可以表示为以这组

2、向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差1对角线”平方差的.4122即：abACDB（平行四边形模式）4思虑：在图1的三角形ABD中（M为BD的中点），此恒等式如何表示呢？因为AC2122AM，所以abAMDB（三角形模式）4ABC中，M是BC的中点，AM3,BCuuuruuur例1.(2012年浙江文15)在10，则ABAC_.文案大全合用标准文案大全合用标准目标检测(2012北京文13改编)已知正方形ABCD的边长为，1点E是AB边上的动点，则DEDA的值为_.例2（.自编）已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则PAPB的取值范围是_.目标检测福建文11)若点

3、O和点F分别为椭圆x2y2的中心和左焦点，点P(2010431为椭圆上的任意一点，则的最大值为()OPFPC.6D.8例3.（2013浙江理7）在ABC中,P0是边AB上必然点，满足P0B1AB，且关于边ABuuuruuuruuuruuur4上任一点P，恒有PBPCP0BPC0。则()A.ABC90oB.BAC90oC.ABACD.ACBC文案大全合用标准例4.(2017全国2理科12)已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，uuuruuuruuur则PA(PBPC)的最小是（）A.234D.1B.C.23课后检测1.在ABC中，BAC60o若AB2，BC3，D在线段AC上运动

4、，DBDA的最小值为已知AB是圆O的直径,AB长为2,C是圆O上异于A,B的一点,P是圆O所在平面上任uuuruuuruuur意一点,则PAPBPC的最小值为_3在ABC中，AB3，AC4，BAC60o，若P是ABC所在平面内一点，且APuuuruuur2，则PBPC的最大值为文案大全合用标准4若点O和点F(2,0)分别是双曲线x2y21(a0)的中心和左焦点，点P为双曲线a2uuuruuur右支上任意一点则OPFP的取值范围是.5在RtABC，ACBC2，已知点P是ABC内一点，则PC(PAPB)的最小值是.6.已知A、B是单位圆上的两点，O为圆心，且AOB120o,MN是圆O的一条直径，点

5、C在圆内，且满足OCOA(1)OB(01)，则CMCN的取值范围是（）A11,1C3D1,0,1B,0247.正ABC边长等于3，点P在其外接圆上运动，则APPB的取值范围是（）A.3331C.13D.112,B.2,2,22222文案大全合用标准ABC中，已知Buuuruuuruuuruuur8在锐角，ABAC2，则ABAC的取值范围是3(2008浙江理9)已知a,b是平面内2个互相垂直的单位向量，若向量c满足9.(ac)(bc)0,则c的最大值是()A.1B.22C.2D.2文案大全合用标准平面向量基本定理系数的等和线【合用题型】平面向量基本定理的表达式中，研究两系数的和差及线性表达式的范

6、围与最值。【基本定理】（一）平面向量共线定理uuuruuuruuur1，则A,B,C三点共线；反之亦然已知OAOBOC，若（二）等和线uuuruuuruuuruuuruuuruuur平面内一组基底OA,OB及任向来量OP，OPOAOB(,R)，若点P在直线AB上也许在平行于AB的直线上，则k（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线。B1（1）当等和线恰为直线AB时，k1；BP（2）当等和线在O点和直线AB之间时，k(0,1)；Ql（3）当直线AB在点O和等和线之间时，k(1,OAA1)；4）当等和线过O点时，k0；5）若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；【

7、解题步骤及说明】1、确定等值线为1的线；2、平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，解析哪处获取最大值和最小值；3、从长度比也许点的地址两个角度，计算最大值和最小值；说明：平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少许遵从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究的两系数的线性关系，则需要经过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和。【典型例题】lC1B文案大全C合用标准uuuruuur例1、给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为1200，以下列图，点C在以O为圆心的圆弧?AB上变动。uuuruuuruuury的最大值若OCxOAyOB，其中x,y

8、R，则x是_。追踪练习：已知O为1uuuruuuruuur的ABC的外心，若cosABC，AOABAC，则3最大值为_O为坐标原点，两定点uuuruuuruuuruuur例2、在平面直角坐标系中，A,B满足|OA|OB|OAOB2，uuuruuuruuurR所表示的地域面积为则点集P|OPOAOB,|1,_.例3、如图，在扇形OAB中，AOB600，C为弧AB上不与A,B重合的一个动点，uuuruuuruuury(0)存在最大值，则OCxOAyOB，若ux的取值范围为_.文案大全合用标准BCOA追踪练习：在正方形ABCD中，E为BC中点，P为以AB为直径的半圆弧上任意一点，uuuruuuruu

9、ury的最小值为_.设AExADyAP，则2x【增强训练】uuuruuuruuur1、在正六边形ABCDEF中，P是三角形CDE内（包括界线）的动点，设APxAByAF，则xy的取值范围_.2、如图，在平行四边形ABCD中，M,N为CD边的三等份点，S为AM,BN的交点，P为边AB上的一动点，Q为uuuruuuuruuurSMN内一点（含界线），若PQxAMyBN，则xyDNMC的取值范围_.QSAPB文案大全合用标准3、设D,E分别是ABC的边AB，BC上的点，AD1AB，BE2BC，若uuuruuuruuur23DE1AB2AC（1,2为实数），则12的值为_.4、梯形ABCD中，ADAB

10、，ADDC1，AB3，P为三角形BCD内一点（包uuuruuuruuury的取值范围_.括界线），APxAByAD，则xuuuruuuruuuruuur0，点C在AOB内，且AOC300，设5、已知|OA|1,|OB|3，OAOBuuuruuuruuur，则mOCmOAnOB的值为_.n6、在正方形ABCD中，E为AB中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一文案大全合用标准uuuruuuruuury的最小值为_.点，设ACxDEyAP，则xuuuuruuuruuuruuuuruuurPMN为以M为直角顶7、已知|OM|ON|1，OPxOMyON(x,y为实数）。若点的直角三角形，则xy取值的会集为_uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur8、平面内有三个向量OA,OB,OC，其中OA,OB夹角为1200，OA,OC的夹角为300，且uuuruuuruuuruuuruuuruuurn的值为|OA|OB|1|OC|23，若OCmOAnOB，则m。，9、如图，A,B,C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，uuuruuu