13.1.2 线段的垂直平分线的性质（课件）-2022-2023学年八年级数学（人教版）

1、人教版 八年级上册数学第十三章 轴对称 13.1.2 线段的垂直平分线的性质AB问题：线段是轴对称图形吗？如果是，你能找出它的一条对称轴吗？这条对称轴与线段存在着什么关系？A（B）B问题引入 如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，是l 上的点，分别量一量点P1，P2，P3， 到点A 与点B 的距离，你有发现什么吗？请猜想点P1，P2，P3， 到点A 与点B 的距离之间的数量关系ABlP1P2P3P1A _P1BP2A _ P2BP3A _ P3B一、线段的垂直平分线的性质猜想：点P1，P2，P3， 到点A 与点B 的距离分别相等 命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相

2、等.由此你能得到什么结论？你能验证这一结论吗？已知：如图，直线lAB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上求证：PA =PB证明：lAB， PCA =PCB=90又 AC =CB，PC =PC， PCA PCB（SAS） PA =PBPABlC验证结论用几何语言表示为： CA =CB，lAB，（点P在线段AB的垂直平分线上） PA =PB线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等PABlC知识要点线段垂直平分线的性质找出图中相等的线段，并说明理由.（1）点A在BC的垂直平分线上DAB=AC（2）ED是AB 的垂直平分线EA=EB练 习1如下图 , 直线CD是线段AB的垂直平分线 , P

3、为直线CD上的一点 , 已知线段PA5 , 那么线段PB的长度为( )A6 B5 C4 D32如下图 , CD是AB的垂直平分线 , 假设AC1.6 cm , BD2.3 cm , 那么四边形ACBD的周长是( )A3.9 cm B7.8 cm C4 cm D4.6 cmBB练一练3如下图 , 在ABC中 , AB8 , BC6 , AC的垂直平分线MN分别交AB , AC于点M , N , 那么BCM的周长为_14反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上呢？已知：如图，PA =PB求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上PAB二、线段的垂直平分线的判定证明：过点P 作

4、AB 的垂线PC，垂足为点C则PCA =PCB =90在RtPCA 和RtPCB 中，PA =PB，PC =PC， RtPCA RtPCB（HL） AC =BC又 PCAB， 点P 在线段AB 的垂直平分线上PABC与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.PA=PB，点P在线段AB的垂直平分线上.符号语言表示：线段的垂直平分线的判定：ABlOP 1、从上面两个结论可以看出，在线段AB的垂直平分线l上的点与点A，B的距离都相等. 2、反过来，与A，B的距离相等的点都在l上，所以直线l可以看成与两点A，B的距离相等的所有点的集合.ABlOP 小结1已知 , 如下图 , 直线PO与AB交

5、于点O , PAPB , 那么以下结论中准确的选项是哪一项：( )AAOBOBPOABCPO垂直平分ABD点P在AB的垂直平分线上D练一练2如下图 , BC10 , BD6 , AD4 , 那么D点在_的垂直平分线上AC3如下图 , ABAC , DBDC , E是AD延长线上的一点 , BE是否与CE相等？试说明理由。解 : 相等理由 : 连接BC , ABAC , 点A在线段BC的垂直平分线上 , 同理 , 点D也在线段BC的垂直平分线上两点确定一条直线 , AD是线段BC的垂直平分线E是AD延长线上的一点 , BECE 如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？AB分析：

6、我们只要连接点A和点B,作出线段AB的垂直平分线，就可得到点A和点B的对称轴.为此作出到点A，B的距离相等的两点，即线段AB的垂直平分线上的两点，从而作出线段AB的垂直平分线.三、尺规作图ABCD作法：（1）分别以点A，B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧交于C，D两点.（2）作直线CD. CD即为所求.特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图，我们也可以用这种方法确定线段的中点.如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站.使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？AB分析：增设的公共汽车站要满足到两个小区的路程一样长，应在线段AB的垂直平分

7、线上，又要在公路边上，所以找到AB垂直平分线与公路的交点便是.公共汽车站例1 如图，已知点A、点B以及直线l.(1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使PAPB.(保留作图痕迹，不要求写出作法)；解：(1)如图所示：MNABlP(2)在AMP和BNP中，AM=PN，APBP，PMBN， AMPPNB(SSS)，MAPNPB.MNABlP例1-1 如图，已知点A、点B以及直线l.(1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使PAPB.(保留作图痕迹，不要求写出作法)；(2)在(1)中所作的图中，若AMPN，BNPM，求证：MAPNPB.例2 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路图中点M，N表

8、示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)ONMAB方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上.解：如图所示：P想一想：下图中的五角星有几条对称轴？如何作出这些对称轴呢？ AB作法：（1）找出五角星的一对对称点A和B，连接AB（2）作出线段AB的垂直平分线l则l就是这个五角星的一条对称轴 l用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴 作轴对称图形的对称轴方法总结：对于轴对称图形，只

9、要找到任意一组对称点，作出对称点所连线段的垂直平分线，即能得此图形的对称轴.例3 如图，ABC和ABC关于直线l对称，请用无刻度的直尺作出它们的对称轴.ABCA B C l方法总结：如果成轴对称的两个图形对称点连线段（或延长线）相交，那么交点必定在对称轴上.解：延长BC、BC交于点P，延长AC，AC交于点Q，连接PQ，则直线PQ即为所要求作的直线l.PQ 1.作出下列图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？练一练2.如图，与图形 A 成轴对称的是哪个图形？画出它的对称轴. ABCD1.如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？课堂练习 2.如图1-23，在ABC中，A

10、B = AC，A = 120, AB的垂直平分线交BC于D，求证：CD =2BD. 证明：连结AD D在AB垂直平分线上 BD=AD B=BAD BAC=120 AB=AC B=C=30 DAC=90 在RtDAC中 C=30 DC=2AD即DC=2BD. 3.如图，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，求BCD的周长.BD=AD，ABCDE解：ED是线段AB的垂直平分线， BCD的周长=BD+DC+BC BCD的周长=AD+DC+BC =AC+BC=12+7=19. 4.如图所示，AOB30，点P为AOB内一点，OP8，分别作出点P关于OA，OB的对称点P1，P2，

11、连接P1P2交OA于M，交OB于N，则PMN的周长为 85如图，AD与BC相交于点O，OAOC，AC，BEDE 求证：OE垂直平分BD证明：在AOB与COD中，AOBCOD（ASA），OBOD，点O在线段BD的垂直平分线上，BEDE，点E在线段BD的垂直平分线上，OE垂直平分BD画一画： 利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，完成之后你发现了什么？发现：三角形三边的垂直平分线交于一点这一点到三角形三个顶点的距离相等 拓展：三角形三边的垂直平分线的性质 剪一个三角形纸片通过折叠找出每条边的垂直平分线结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点 怎样证明这个结论呢？做一做：点拨：要证明三条直线相交于一点

12、，只要证明其中两条直线的交点在第三条直线上即可.思路可表示如下：试试看，你会写出证明过程吗？BCAPlnml是AB的垂直平分线m是BC的垂直平分线PA=PBPB=PCPA=PC点P在AC的垂直平分线上结论证明：求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等已知：如图，在ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点P 求证：点P也在AC的垂直平分线上， 且PA=PB=PCBCAPlnm证明：点P在AB，AC的垂直平分线上， PA=PB，PA=PC （线段垂直平分线上 的点到线段两端距离相等）.同理，PB=PC， PA=PB=PC，点P在BC的垂直平分线上 (到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）.即边AC的垂直平分线经过点P.BCAPlnm文字语言： 三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.三角形三边的垂直平分线的性质结论