近世代数模拟题

1、近世代数1一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只 有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、设A = B = R（实数集），如果A到B的映射中:xf + 2, v xER，则中是从A 到B的（）A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射。、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合AXB中含有（）个元素。A、2B、5C、7D、103、在群G中方程ax=b，ya=b，a,bEG都有解，这个解是（）乘法来说A、不是唯一B、唯一的 C、不一定唯一的 D、相同的（两方程解一

2、样）4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（）A、不相等 B、0 C、相等 D、不一定相等。5、 n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（）A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正 确答案。错填、不填均无分。 TOC o 1-5 h z 1、设集合 A = L0; B = ，2，则有 B x A =。2、若有元素eER使每aEA，都有ae=ea=a，则e称为环R的。3、 环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换，则称R是一个。4、 偶数环是的子环。5、 一个集合A的若干个一变换的乘法作成的群叫做A的一个。6、

3、 每一个有限群都有与一个置换群。7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是 ，元a的逆元是 。8、设I和S是环R的理想且1 Q S c R，如果I是r的最大理想，那么。9、 一个除环的中心是一个。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设置换和C1、设置换和C分别为：a123456781234567864173528，T 二23187654，判断a和C的奇偶性，并把a和C写成对换的乘积。2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。3、设集合Mm= 0空，m T,m（m D，定义Mm中运算“ +m ”为 a+m b=（a+b）（

4、modm）,则（Mm，L）是不是群，为什么？四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、设G是群。证明：如果对任意的X e G，有以二。，则G是交换群。2、假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的 一个商域。近世代数2一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个 备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、A、设G有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（）是子群。（a B、(a, eC、D、,a,a32、下面的代数系统（G，*）中）不是群A、G1、A、设G有6个

5、元素的循环群，a是生成元，则G的子集（）是子群。（a B、(a, eC、D、,a,a32、下面的代数系统（G，*）中）不是群A、G为整数集合，*为加法B、G为偶数集合，*为加法C、G为有理数集合，*为加法D、G为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（A、a*b=a-bB、 a*b=maxa,b C、 a*b=a+2bD、 a*b=|a-b|4、b3是三个置换，其中b 1 =（12）（23）（13），b 2 =（24）（14），气=（1324），A、B、b 1 b 2C、b 22D、b 2 b 15、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。A、不可能是群B、不一定是群

6、C、一定是群D、是交换群二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、凯莱定理说：任一个子群都同一个同构。2、一个有单位元的无零因子称为整环。3、已知群G中的元素a1、凯莱定理说：任一个子群都同一个同构。2、一个有单位元的无零因子称为整环。3、已知群G中的元素a的阶等于50，则a 4的阶等于4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与同构。5、A=1.2.3 B=2.5.6那么 AEB=-6、若映射甲既是单射又是满射，则称甲为7、a叫做域F的一个代数元，如果存在F的 ，气使得 a + a + a+ a an = 0 TOC o 1-5 h z

7、 8、 a是代数系统（40）的元素，对任何x e A均成立x。a = x，则称a为。9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、。10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设集合A=1,2,3G是A上的置换群，H是G的子群，H=I,（1 2），写出H 的所有陪集。2、设E是所有偶数做成的集合，“”是数的乘法，则“”是E中的运算，（E，）是一 个代数系统，问（E，）是不是群，为什么？3、a=493, b=391,求（a,b）, a,b和 p, q。四、证明题（本大题共2小题，第1题1

8、0分，第2小题15分，共25分）1、若G，*是群，则对于任意的a、bG，必有惟一的xG使得a*x=b。2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系:a b当且仅当m | a-b。近世代数3一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个 备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、 多选或未选均无分。 TOC o 1-5 h z 1、 6阶有限群的任何子群一定不是()。A、2阶 B、3阶C、4阶 D、6阶2、设G是群，G有()个元素，则不能肯定G是交换群。A、4个 B、5个 C、6个D、7个3、 有限布尔代数的元素的个数一定等于()。A

9、、偶数 B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幕4、下列哪个偏序集构成有界格()A、(N, )C、(2,3,4,6,12,| (整除关系)D、(P(A), j)5、设 S3=(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)，那么，在 S3 中可以与(123) 交换的所有元素有()A、 (1)， (123)， (132)B、 12)， (13)， (23)C、(1)，(123)D、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正 确答案。错填、不填均无分。 TOC o 1-5 h z 1、 群的单位元是的，每个元素的逆元素是的。2、 如果f是A

10、与A间的一一映射，a是A的一个元，则/-1 tf )=。3、 区间1，2上的运算a b = mina,b的单位元是。4、可换群 G 中 |a|二6,|x|=8,则 |ax|=。5、环Z8的零因子有。6、 一个子群H的右、左陪集的个数。7、 从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的。8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的。9、设群G中元素a的阶为m，如果a = e，那么m与n存在整除关系为三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S，S是A的子环，则S AS也是子环。S+S也是子环吗？1212123、

11、设有置换 = (1345)(1245)，c = (234)(456) e S6o求6和2 ；确定置换6和2的奇偶性。四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的 括号内。错选、多选或未选均无分。1.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合AXB中含 有()个元素。B.5A.2B.5C.7D.10C.

12、7设A=B=R(实数集)，如果A到B的映射中:xfx+2, V xER,贝抑是从A到B的( )A.满射而非单射B.单射而非满射C.一一映射D.既非单射也非满射设 S3=(1), (12), (13), (23), (123), (132),那么，在S3 中可以与(123)交换的所有元素有( ) TOC o 1-5 h z A,(1),(123), (132)B,(12),(13),(23)C,(1),(123)D.S3中的所有元素设Z15是以15为模的剩余类加群，那么，Z15的子群共有()个。A.2B.4C.6D.8下列集合关于所给的运算不作成环的是()整系数多项式全体Z x关于多项式的加法与

13、乘法有理数域Q上的n级矩阵全体Mn(Q)关于矩阵的加法与乘法整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“。”：Vm, nEZ, m。n=0整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“。”：Vm, nEZ，m5=1二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。设“”是集合A的一个关系，如果“”满足，则称“”是A的一个等价关系。7.设(G,)是一个群，那么，对于Va, bEG，则abEG也是G中的可逆元，而且(ab)T = 设。=(23)(35), T = (1243)(235)ES5，那么。t =(表示成若干个没有公共数 字的循环置换之积)。如果G是一个含有

14、15个元素的群，那么，根据Lagrange定理知，对于VaEG，则元素a的阶只可能是.在3次对称群S3中，设H=（1）, （123）, （132）是S3的一个不变子群，则商群G/H中的 元素（12）H=。设Z6= 0，1，2，3，4，5 是以6为模的剩余类环，则Z6中的所有零因子是。设R是一个无零因子的环，其特征n是一个有限数，那么，n是。设Z x是整系数多项式环，（x）是由多项式x生成的主理想，则（x）=14.设高斯整数环Zi = a+bila，bEZ，其中i2= 1，则Zi中的所有单位是15.有理数域Q上的代数元J2 + M在Q上的极小多项式是 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）设Z为整数加群，Zm为以m为模的剩余类加群，中是Z到Zm的一个映射，其中中:kk，V kEZ，验证：中是Z到Zm的一个同态满射，并求中的同态核Ker中。求以6为模的剩余类环Z6= 0，1，2，3，4，5 的所有子环，并说明这 些子环都是Z6的理想。试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之