培优专题09 二次函数的综合-线段、周长和面积问题-解析版

1、 32/32培优专题09 二次函数的综合-线段、周长和面积问题一：【线段和周长问题】【技巧】二次函数求最值通常有两种类型：一种是通过几何性质线段公理和垂线段公理求最值，常常把折的问题转化成直的问题；另一种通过函数的性质求最值。线段最值即把线段的两个端点用坐标表示出来，然后根据距离差，列出关于坐标的二次函数的表达式，化为顶点式，即可求出；在求周长的最值问题时，一般会和将军饮马问题有关，找到对称点，将周长问题转化为线段最值即可。1（2022四川广元中考真题）在平面直角坐标系中，直线yx2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线yax2+bx+c（a0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C (1)

2、求a，b满足的关系式及c的值；(2)当a时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求PAB周长的最小值；(3)当a1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QDAB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值【答案】(1)2a=b+1，c=-2；(2)PAB的周长最小值是2+2；(3)此时Q（-1，-2），DQ最大值为【分析】（1）先求得点A、点B的坐标，再利用待定系数法求解即可；（2）先利用对称性找出PAB周长最小时点P的位置，此时AP=CP，PAB的周长最小值为：PB+PA+AB=BC+AB，根据勾股定理求出AB、BC的长即可求出PAB最小值；（3）过点Q作QFx轴交于

3、F点，交直线AB于点E，得到QED=EQD=45，推出QD=ED=EQ，设Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），求得QE=-t2-2t，再利用二次函数的性质即可求解（1）解：直线yx2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(0，-2)，抛物线yax2+bx+c（a0）经过A，B两点，2a=b+1，c=-2；（2）解：当a=时，则b=-，抛物线的解析式为y=x2-x-2，抛物线的对称轴为直线x=1，点A的坐标为(-2，0)，点C的坐标为(4，0) ，PAB的周长为：PB+PA+AB，且AB是定值，当PB+PA最小时，PAB的周长最小，点A、C关于直线x=1对

4、称，连接BC交直线x=1于点P，此时PB+PA值最小，AP=CP，PAB的周长最小值为：PB+PA+AB=BC+AB，A（-2，0），B（0，-2），C（4，0），OA=2，OB=2，OC=4，由勾股定理得BC=2，AB=2，PAB的周长最小值是：2+2（3）解：当a=1时，b=1，抛物线的解析式为y=x2+x-2，过点Q作QFx轴交于F点，交直线AB于点E， A（-2，0），B（0，-2），OA=OB，OAB=45，QDAB，AEF=QED=EQD=45，QD=ED=EQ，设Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），QE=-t-2-(t2+t-2)=-t2-2t，DQ=QE=-(t2+2t

5、)= -(t+1)2+，当t=-1时，DQ有最大值，此时Q（-1，-2）【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键2（2021湖北恩施中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点，在轴上，抛物线经过点，两点，且与直线交于另一点（1）求抛物线的解析式；（2）为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点，为顶点的四边形是以为边的菱形若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）为轴上一点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，探究是否存在最小值若存在，请求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）

6、；（2）存在以点，为顶点的四边形是以为边的菱形，点的坐标为或或或；（3）存在最小值，最小值为，此时点M的坐标为【分析】（1）由题意易得，进而可得，则有，然后把点B、D代入求解即可；（2）设点，当以点，为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分当时，当时，然后根据两点距离公式可进行分类求解即可；（3）由题意可得如图所示的图象，连接OM、DM，由题意易得DM=EM，四边形BOMP是平行四边形，进而可得OM=BP，则有，若使的值为最小，即为最小，则有当点D、M、O三点共线时，的值为最小，然后问题可求解【详解】解：（1）四边形为正方形，OB=1，把点B、D坐标代入得：，解得：，抛物线的解析式

7、为；（2）由（1）可得，抛物线解析式为，则有抛物线的对称轴为直线，点D与点E关于抛物线的对称轴对称，由两点距离公式可得，设点，当以点，为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分：当时，如图所示：由两点距离公式可得，即，解得：，点F的坐标为或；当时，如图所示：由两点距离公式可得，即，解得：，点F的坐标为或；综上所述：当以点，为顶点的四边形是以为边的菱形，点的坐标为或或或；（3）由题意可得如图所示：连接OM、DM，由（2）可知点D与点E关于抛物线的对称轴对称，DM=EM，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，四边形BOMP是平行四边形，OM=BP，若使的值为最小，即为最小，当点D、M、O三点

8、共线时，的值为最小，此时OD与抛物线对称轴的交点为M，如图所示：，的最小值为，即的最小值为，设线段OD的解析式为，代入点D的坐标得：，线段OD的解析式为，【点睛】本题主要考查二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质，熟练掌握二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质是解题的关键3（2020山东滨州中考真题）如图，抛物线的顶点为A(h，1)，与y轴交于点B，点F(2，1)为其对称轴上的一个定点（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线l是过点C(0，3)且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P(m，n)到直线l的距离为d，求证：PFd；（3）已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一

9、点Q，使DFQ的周长最小，并求此时DFQ周长的最小值及点Q的坐标【答案】（1）；（2）见解析；（3），【分析】（1）由题意抛物线的顶点A（2，-1），可以假设抛物线的解析式为y=a（x-2）2-1，把点B坐标代入求出a即可（2）由题意P（m，），求出d2，PF2（用m表示）即可解决问题（3）如图，过点Q作QH直线l于H，过点D作DN直线l于N因为DFQ的周长=DF+DQ+FQ，DF是定值=，推出DQ+QF的值最小时，DFQ的周长最小，再根据垂线段最短解决问题即可【详解】解：（1）设抛物线的函数解析式为由题意,抛物线的顶点为又抛物线与轴交于点抛物线的函数解析式为（2）证明：P（m，n），P（m，

10、），F（2，1），d2=PF2，PF=d（3）如图，过点Q作QH直线l于H，过点D作DN直线l于NDFQ的周长=DF+DQ+FQ，DF是定值=，DQ+QF的值最小时，DFQ的周长最小，QF=QH，DQ+DF=DQ+QH，根据垂线段最短可知，当D，Q，H共线时，DQ+QH的值最小，此时点H与N重合，点Q在线段DN上，DQ+QH的最小值为6，DFQ的周长的最小值为，此时Q（4，-）【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，两点间距离公式，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题4（2019广西贺州中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，且，抛

11、物线图象经过三点（1）求两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若点是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点，当的值最大时，求此时点的坐标及的最大值【答案】（1）A（4，0）,C（0，4）；（2） ；（3）PD的最大值为，此时点P（2，6）【分析】（1）OAOC4OB4，即可求解；（2）抛物线的表达式为： ，即可求解；（3），即可求解【详解】解：（1）OAOC4OB4，故点A、C的坐标分别为（4，0）、（0，4）；（2）抛物线的表达式为：，即4a4，解得：a1，故抛物线的表达式为： ；（3）直线CA过点C，设其函数表达式为：，将点A坐标代入上式并解得：k1，故直线CA的表达式为：yx4，过点P

12、作y轴的平行线交AC于点H，OAOC4， ， ，设点 ，则点H（x，x4）， 0，PD有最大值，当x2时，其最大值为，此时点P（2，6）【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形、图象的面积计算等，其中（3），用函数关系表示PD，是本题解题的关键5（2019四川凉山中考真题）如图，抛物线的图象过点.（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及PAC的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【

13、答案】（1）；（2）存在，点，周长为：；（3）存在，点M坐标为【分析】（1）由于条件给出抛物线与x轴的交点，故可设交点式，把点C代入即求得a的值，减小计算量（2）由于点A、B关于对称轴：直线对称，故有，则，所以当C、P、B在同一直线上时，最小利用点A、B、C的坐标求AC、CB的长，求直线BC解析式，把代入即求得点P纵坐标（3）由可得，当两三角形以PA为底时，高相等，即点C和点M到直线PA距离相等又因为M在x轴上方，故有由点A、P坐标求直线AP解析式，即得到直线CM解析式把直线CM解析式与抛物线解析式联立方程组即求得点M坐标【详解】解：（1）抛物线与x轴交于点 可设交点式 把点代入得：抛物线解析

14、式为（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得的周长最小如图1，连接PB、BC点P在抛物线对称轴直线上，点A、B关于对称轴对称当C、P、B在同一直线上时，最小最小设直线BC解析式为把点B代入得：，解得：直线BC：点使的周长最小，最小值为（3）存在满足条件的点M，使得当以PA为底时，两三角形等高点C和点M到直线PA距离相等M在x轴上方，设直线AP解析式为解得：直线直线CM解析式为：解得：（即点C），点M坐标为【点睛】考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，轴对称的最短路径问题，勾股定理，平行线间距离处处相等，一元二次方程的解法其中第（3）题条件给出点M在x轴上方，无需分类讨论，解法较常规

15、而简单二：【面积最值问题】【技巧】一般会出现三角形的面积最值，利用“水平宽，铅垂高”，将面积最值转化为线段最值。有时候会出现四边形的最值，只需将四边形分割为规则的图形即可，一般分为两个三角形，一个是定值，一个是最值，只需求出最值即可。类型1：面积定值问题1（2022青海中考真题）如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C.图1图2(1)求该抛物线的解析式；(2)若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长；(3)设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（请在图2中探讨）【答案】(1)(2)2(3)当

16、点的坐标分别为，时，理由见解析【分析】（1）把点A、B的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；（2）结合抛物线的解析式得到点C、F的坐标，利用B、C的坐标可以求得直线BC的解析式，由一次函数图像上点的坐标特征和点的坐标与图形的性质进行解答即可；（3）根据P点在抛物线上设出P点，然后再由SPAB=8，从而求出P点坐标（1）解：抛物线与轴的两个交点分别为，解得所求抛物线的解析式为（2）解：由（1）知，抛物线的解析式为，则，又，设直线的解析式为，把代入，得，解得，则该直线的解析式为故当时，即，即（3）解：设点，由题意，得，当时，当时，当点的坐标分别为，时，

17、【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和待定系数法求一次函数以及一次函数图像上点的坐标特征，抛物线解析式的三种形式之间的转化，熟练掌握函数的性质是解答此题的关键2（2022广西贺州中考真题）如图，抛物线过点，与y轴交于点C(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线对称轴上一动点，当是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；(3)在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)；(2)点P坐标为；(3)存在，【分析】（1）把代入即可的得出抛物线解析式；（2）依题意可得出即P点在的平分线上且在抛物线的对称轴上利用等腰三

18、角形的性质，即可得出P点的坐标；（2）利用铅垂线ME，即可表达出，再由即可列出方程求解（1）根据题意，得，解得，抛物线解析式为：（2）由（1）得，点，且点，当是以BC为底边的等腰三角形PC=PB，OP=OP，设抛物线的对称轴与轴交于H点，则，抛物线对称轴，点P坐标为（3）存在理由如下：过点M作轴，交BC于点E，交x轴于点F设，则，设直线BC的解析式为：，依题意，得：，解得，直线BC的解析式为：，当时，点E的坐标为，点M在第一象限内，且在BC的上方，解得【点睛】此题考查了求抛物线的解析式、等腰三角形的存在性问题，三角形的面积，掌握待定系数法求抛物线的解析式，等腰三角形与函数的特征，三角形面积与函

19、数的做法是解题的关键类型2：面积最值问题3（2022广东中考真题）如图，抛物线（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，点P为线段上的动点，过P作/交于点Q(1)求该抛物线的解析式；(2)求面积的最大值，并求此时P点坐标【答案】(1)(2)2；P（-1，0）【分析】（1）用待定系数法将A，B的坐标代入函数一般式中，即可求出函数的解析式；（2）分别求出C点坐标，直线AC，BC的解析式，PQ的解析式为：y=-2x+n，进而求出P，Q的坐标以及n的取值范围，由列出函数式求解即可（1）解：点A（1，0），AB=4，点B的坐标为（-3，0），将点A（1，0），B（-3，0）代入函数解析式中得：，

20、解得：b=2，c=-3，抛物线的解析式为；（2）解：由（1）得抛物线的解析式为，顶点式为：，则C点坐标为：（-1，-4），由B（-3，0），C（-1，-4）可求直线BC的解析式为：y=-2x-6，由A（1，0），C（-1，-4）可求直线AC的解析式为：y=2x-2，PQBC，设直线PQ的解析式为：y=-2x+n，与x轴交点P，由解得：，P在线段AB上，n的取值范围为-6n2，则当n=-2时，即P（-1，0）时，最大，最大值为2【点睛】本题考查二次函数的面积最值问题，二次函数的图象与解析式间的关系，一次函数的解析式与图象，熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键4（2022四川广安中考真题）如图，在

21、平面直角坐标系中，抛物线（a0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，4），点C坐标为（2，0）(1)求此抛物线的函数解析式(2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)（-2，-4）【分析】（1）直接将B（0，-4），C（2，0）代入，即可求出解析式；（2）先求出直线AB关系式为：，直线AB平移后的关系式为：，当其与抛物线只有一个交点时，此时点D距AB最大，此时ABD的面积最大，由此即可求得D点坐标；（3）分三种情况讨论，当PAB=90时，即PAAB

22、，则设PA所在直线解析式为：，将A（-4,0）代入得，解得：，此时P点坐标为：（-1,3）；当PBA=90时，即PBAB，则设PB所在直线解析式为：，将B（0，-4）代入得，此时P点坐标为：（-1,-5）；当APB=90时，设P点坐标为：，由于PA所在直线斜率为：，PB在直线斜率为：，=-1，则此时P点坐标为：，（1）解：将B（0，-4），C（2，0）代入， 得：，解得：，抛物线的函数解析式为：（2）向下平移直线AB，使平移后的直线与抛物线只有唯一公共点D时，此时点D到直线AB的距离最大，此时ABD的面积最大，时，A点坐标为：（-4,0），设直线AB关系式为：，将A（-4,0），B（0，-4）

23、，代入，得：，解得：，直线AB关系式为：，设直线AB平移后的关系式为：，则方程有两个相等的实数根，即有两个相等的实数根，即的解为：x=-2，将x=-2代入抛物线解析式得，点D的坐标为：（-2，-4）时，ABD的面积最大；【点睛】本题主要考查的是二次函数图象与一次函数、三角形的综合，灵活运用所学知识是解题的关键5（2021青海西宁中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为，抛物线经过A，B，C三点（1）求抛物线的解析式；（2）直线AD与y轴负半轴交于点D，且，求证：；（3）在（2）的条件下，若直线与抛物线的对称轴l交于点E，连接，在第一象限内的

24、抛物线上是否存在一点P，使四边形的面积最大？若存在，请求出点P的坐标及四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）见解析；（3）存在，当P点坐标是时，四边形面积的最大值是【分析】（1）由一次函数可求得A、B两点的坐标，从而用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）证明即可解决；（3）过点E作轴于点M，由可求得ABE的面积为定值12；因此只要求出点P的位置使PAB的面积最大，从而使四边形的面积最大；为此过点P作轴于点，交直线AB于点N，过点B作于点，设点P的坐标为，则可求得PN，且，由可得关于t的二次函数，从而求得PAB面积的最大值，因而可得四边形BEAP面积的最大值，且可求得

25、此时点P的坐标【详解】（1）一次函数与x轴的交点，令，则，解得；与y轴的交点，令，则，设抛物线的解析式为把A，B，C三点坐标代入解析式，得解得抛物线的解析式为 （2）在平面直角坐标系中，在和中 （全等三角形的对应边相等）（3）存在，理由如下：过点E作轴于点M抛物线的对称轴是直线E点的横坐标是2，即 设点P的坐标为过点P作轴于点，交直线AB于点N，过点B作于点，如图，抛物线开口向下，函数有最大值当时，面积的最大值是，此时四边形的面积最大，当时，当P点坐标是时，四边形面积的最大值是【点睛】本题是二次函数与图形面积的综合问题，它考查了待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定与性质，求二次函数的最值，

26、求图形的面积等知识，求图形面积时用到了割补法，这是在平面直角坐标系中常用的求面积方法，用到了转化思想，即求四边形面积最大值问题转化为求三角形面积最大值问题类型三：面积数量关系问题6（2022四川内江中考真题）如图，抛物线yax2+bx+c与x轴交于A（4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）(1)求这条抛物线所对应的函数的表达式；(2)若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；(3)点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐标【答案】(1)(2)，点D的坐标为（2，2）；(3)点P的坐标

27、为（6，10）或（，）【分析】（1）运用待定系数法即可解决问题；（2）过点D作DHAB于H，交直线AC于点G，过点D作DEAC于E，可用待定系数法求出直线AC的解析式，设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，从而可以用m的代数式表示出DG，然后利用得到，可得出关于m的二次函数，运用二次函数的最值即可解决问题；（3）根据SPCB：SPCA=即可求解（1）抛物线yax2+bx+c与x轴交于A（4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2），解得：，抛物线的解析式为；（2）（2）过点D作DHAB于H，交直线AC于点G，过点D作DEAC于E，如图设直线AC的解析式为ykx+t，则，解得：，直线AC

28、的解析式为设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，DEAC，DHAB，EDG+DGEAGH+CAO90，DGEAGH，EDGCAO，当m2时，点D到直线AC的距离取得最大值此时，即点D的坐标为（2，2）；（3）如图，设直线CP交x轴于点E，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，又SPCB：SPCA，则EB：AE1：5或5：1则AE5或1，即点E的坐标为（1，0）或（3，0），将点E的坐标代入直线CP的表达式：ynx+2，解得：n2或，故直线CP的表达式为：y2x+2或yx+2，联立方程组或，解得：x6或（不合题意值已舍去），故点P的坐标为（6，10）或（，）【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，锐角三角函数、图形面积计算等，解决问题的关键是将面积比转化为线段比7（2022黑龙江中考真题）如图，抛物线经过点，点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在点P，使的面积是面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由【答案】(1