2021年河北省唐山市南县第四中学高三数学文模拟试题含解析

2021年河北省唐山市南县第四中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.复数的共轭复数是，是虚数单位，则的值是(

)A．6

B．5

C．-1

D．-6参考答案：A=3-2i,所以它的共轭复数是3+2i，所以a=3,b=2.所以ab=2×3=6，故答案为：A

2.y=sin（x﹣）的图象的一个对称中心是（）A．（﹣π，0） B．（，0） C．（，0） D．（﹣，0）参考答案：D【考点】正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：对于函数y=sin（x﹣），令x﹣=kπ，k∈Z，可得它的图象的对称中心为（kπ+，0），k∈Z．令k=﹣1，可得它的图象的一个对称中心为（﹣，0），故选：D．【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．3.甲，乙，丙三人报考志愿，有A、B、C三所高校可供选择，每人限报一所，则每所一学校都有人报考的概率为(

)A. B. C. D.参考答案：D【分析】根据题意，分别求每人报考一所学校的不同选法总数和每一所学校都有人报考的选法数，根据概率公式，计算即可求解.【详解】由题意，每人报考一所学校，不同的选法总数是（种）如果每一所学校都有人报考，不同的选法总数是（种）所以如果每一所学校都有人报考的概率为故选：D【点睛】本题考查利用计数原理计算概率，属于基础题.4.已知函数的定义域为[0,2],则函数的定义域为 (

)A.[－2,0]

B.[－1,3]

C.

D.参考答案：D因为函数的定义域为,所以的定义域为,

由得,故选D.5.下列命题中，正确的是(

) A．命题“?x∈R，x2﹣x≤0”的否定是“?x∈R，x2﹣x≥0” B．“p∧q为真”是命题“p∨a为真”的必要不充分条件 C．“若am2＜bm2，则a＜b”的否命题为真 D．已知a，b∈R，则“log3a＞log3b”是“（）a＜（）b”的充分不必要条件参考答案：D考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：直接写出全称命题的否定判断A；由复合命题的真值表判断B；举例说明C错误；由指数函数和对数函数的单调性判断D．解答： 解：命题“?x∈R，x2﹣x≤0”的否定是“?x∈R，x2﹣x＞0”，选项A错误；“p∧q为真”是命题，说明p，q均为真命题，“p∨q为真”，说明p，q中至少一个为真，∴“p∧q为真”是命题“p∨a为真”的充分不必要条件，选项B错误；“若am2＜bm2，则a＜b”的否命题为“若am2≥bm2，则a≥b”，取a=﹣1，b=1，m2=0，有am2≥bm2，但a＜b，选项C错误；若a，b∈R，由log3a＞log3b，得a＞b＞0，则（）a＜（）b，∴已知a，b∈R，则“log3a＞log3b”是“（）a＜（）b”的充分不必要条件，选项D正确．故选：D．点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了充分必要条件的判定方法，考查了指数函数和对数函数的单调性，是基础题．6.已知一次函数的图象过点（其中），则的最小值是（

）A.1

B.8

C.9

D.16参考答案：B7.设为实数，是虚数单位，若是实数，则等于（

）A． B．1 C．2 D．参考答案：B试题分析：为实数，则，选B.考点：复数的运算.8.如果AB＜0，且BC＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：D【考点】直线的截距式方程；确定直线位置的几何要素．【专题】直线与圆．【分析】先把Ax+By+C=0化为y=﹣x﹣，再由AB＜0，BC＜0得到﹣＞0，﹣＞0，数形结合即可获取答案【解答】解：∵直线Ax+By+C=0可化为y=﹣x﹣，又AB＜0，BC＜0∴AB＞0，∴﹣＞0，﹣＞0，∴直线过一、二、三象限，不过第四象限．故选：D．【点评】本题考查直线的一般式方程与直线的斜截式的互化，以及学生数形结合的能力，属容易题9.一次数学考试后，甲说：我是第一名，乙说：我是第一名，丙说:乙是第一名。丁说：我不是第一名，若这四人中只有一个人说的是真话且获得第一名的只有一人，则第一名的是A.甲

B.乙

C.

丙

D.丁参考答案：C10.已知数列的通项公式，则数列的前项和取得最小值时的值为（

）（A） （B） （C）

（D）参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知集合，B={x|a＜x＜a+1}，若A∩B=B，则实数a的取值范围为

．参考答案：[﹣2，1]【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】解根式不等式化简集合A，又A∩B=B得到B?A，列出不等式组，求解即可得答案．【解答】解：集合={x|﹣2≤x≤2}，B={x|a＜x＜a+1}，又A∩B=B，∴B?A，∴，解得：﹣2≤a≤1．故答案为：[﹣2，1]．12.（5分）设向量与的夹角为θ，，，则cosθ等于．参考答案：∵，，∴=（1，2）∴=2+2=4∴cosθ===故答案为：13.已知是单位向量，，则在方向上的投影为

。参考答案：14.曲线的所有切线中，斜率最小的切线方程是______

参考答案：15.函数的最小正周期为 ．参考答案：答案:

p16.已知，均为单位向量，若，则与的夹角为__________．参考答案：【分析】由，根据向量的运算化简得到，再由向量的夹角公式，即可求解.【详解】由题意知，，均为单位向量，且，则，解得，所以，因为，所以，所以则与的夹角为．【点睛】本题主要考查了向量的运算，以及向量的夹角公式的应用，其中解答中根据向量的基本运算，求得，再利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.17.在△ABC中，AC=，BC=2，B=60°，则△ABC的面积等于

．参考答案：【考点】余弦定理；三角形的面积公式．【专题】计算题；解三角形．【分析】通过余弦定理求出AB的长，然后利用三角形的面积公式求解即可．【解答】解：设AB=c，在△ABC中，由余弦定理知AC2=AB2+BC2﹣2AB?BCcosB，即7=c2+4﹣2×2×c×cos60°，c2﹣2c﹣3=0，又c＞0，∴c=3．S△ABC=AB?BCsinB=BC?h可知S△ABC==．故答案为：【点评】本题考查三角形的面积求法，余弦定理的应用，考查计算能力．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，其中x>0,a∈R(I)若函数f(x)无极值,求a的取值范围；(II)当a取（I)中的最大值时，求函数g(x)的最小值；(III)证明不等式.参考答案：略19.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．参考答案：考点：简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：坐标系和参数方程．分析：解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，联立即可解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，同理可解得．利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出．解答： 解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．点评：本题考查了利用极坐标方程求曲线的交点弦长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.（本小题满分12分）

已知函数．（1）若函数在（，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，求实数a的值；（2）是否存在正整数a，使得在（，）上既不是单调递增函数也不是单调递减函数？若存在，试求出a的值，若不存在，请说明理由．参考答案：解（1）∵在（，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，∴f′（x）＝3x2＋2ax－2，

……………2分f′（1）＝0，∴a＝－．………………6分（2）令f′（x）＝3x2＋2ax－2＝0．15分∵a是正整数，∴a＝2．…………………16分21.（本小题满分12分）已知函数，且.（1）求的值；（2）若，且，求的值..参考答案：【知识点】两角和与差的正弦、余弦、正切C5【答案解析】（1）（2）（1）∵，∴m=4.（2）由，得，即，∵，∴.∴【思路点拨】由代入确定m的值，根据同角三角函数间的关系求出的值。22.（本题满分13分）己知点M(x，y)是平面直角坐标系上的一个动点，点M到定点D(1，0)的距离是点M到定直线x=4的距离的，记动点M的轨迹为曲线C.(I)求曲线C的方程；(II)斜率为的直线与曲线C交于A，B两个不同点，若直线不过点，设直线PA，PB的斜率分别为，求证为定值；(III)试问：是否存在一个定圆N，与以动点M为圆心，以MD为半径的圆相内切？若存在，求出这个定圆的方程；若不存在，说明理由，参考答案：（Ⅰ）由题知，有.

………………2分化简，得曲线的方程：．

………………3分（Ⅱ）证明∵直线的斜率为，且不过点，∴可设直线：．

………………4分

联立方程组得．

………………6分又设，∴，

所以为定值。

………………8分（Ⅲ）答：一定存在满足题意的定圆.