电子教案-附件备用例题

例1者每门课考第一次未通过都允许考第二次.考生仅在课程甲通过后才能考课程乙,如两门课程都通过可获得一张资格.设某考生通过课程甲的各次考试的概率为p1

,通过课程乙的各次考试的概率为p2

,设各次考试的结果相互独立.又设考生参加考试,直至获得资格

或予再考为止.以X

表示考生总共需考试的次数.求X

的分布律以及数学期望E(X

).进行非学历考试,规定考甲、乙两门课程,解按题意知考试总共至少需考2

次而最多只能表示事件“课程甲在考第i

次时通过”,考4次.

AiBi

表示事件“课程乙在考第i

次时通过”,i

1,2.事件{X=2}表示考试总共考2

次,这一事件只在下列两种互不相容的情况下发生,一种是课程甲、乙都在第一次考试时通过

,亦即

A1B1

发生;另一种是课程甲在第一次、第一次考试均未通过,亦即A1

A2

发生.故

{

X

2}

A1B1

A1

A2

,同理

{

X

3}

A1

B1B2

A1

A2

B1

A1

B1

B2

,{

X

4}

A1

A2

B1B2

A1

A2

B1

B2得X

的分布律为P{

X

2}

P(

A1B1

A1

A2

)

P(

A1B1

)

P(

A1

A2

)

P(

A1

)P(B1

)

P(

A1

)P(

A2

)

p1

p2

(1

p1

)(1

p1

);P{

X

3}

P(

A1

B1B2

A1

A2

B1

A1

B1

B2

)

P(

A1

B1

A1

A2

B1

)P{

X

4}

P(

A1

A2

B1B2

A1

A2

B1

B2

)

P(

A1

A2

B1

)

(1

p1

)

p1

(1

p2

).

(1

p1

)

p1

p2

]

4(1

p1

)

p1

(1

p2

)

(2

p1

)[1

p1

(2

p2

)].21

1

2E(

X

)

2[

p1

p2

(1

p

) ]

3[

p

(1

p

)4

21

2例如 若

p

3

,

p

1

,

E(

X

)

2.66(次).

p1

(1

p2

)

(1

p1

)

p1

p2;例2X026pk3

124

125

120,

其他.求E(X

2

).(3)设随量X

的概率密度为

x, 0

x

1,求E(X

),E[ln(X

2)].(2)

设

X

~

π(

),

求

E[(

X

1)1

].(1)设随量X

的分布律为f

(

x)

2

x,

1

x

2,解

(1)E(

X

)

0

3

2

4

6

512

12

12

6

19

.E[ln(

X

2)]

ln(0

2)

3

ln(2

2)

4

ln(6

2)

512

12

126

13

ln

2.ke11(2)E[(

X

1) ]

k

0(k

1)!

ek

0k

1

k!k令k

1

jej1j!

j1j1

j

ej!

j0e

jj!

1].

e

1

[ex f

(

x)dx22(3)

E(

X

)

x f

(

x)dxx f

(

x)dx22212x f

(

x)dx

10202x f

(

x)dx

22x

0dx21102

xdx24314

102(

4.76例3

(1)

设随求

E(

X

),

E

(Y

),

E

(

XY

).x

1,

y

0,其他.0,f

(

x,

y)

e

x2

y

,其中G

为区域:{((2)

设随

量(

X

,Y

)

的概率密度为}.求

E(

X

),

E

(Y

),(

x,

y)

G,其他,0,

1

(20

x

),f

(

x,

y)

25量(X

,Y

)的概率密度为x解

(1)

E(

X

)

x f

(

x,

y)dxdy

G

0dxdxdy

G

x

f

(

x,

y)dxdy

G

x

f

(

x,

y)dxdy20

d102010

5

.34035012010x2[10

x2

]

E(Y

)

y f

(

x,

y)dxdyG

y

f

(

x,

y)dxdyxdxx2010

x

2

25y

20

x

dy

10.410

50

1

3

(2020求出fY

(y),再利用E(Y

)

y fY

(

y)dy说明

此题也可先

(2)

E(

X

)

x f

(

x,

y)dxdy

0

12xe

dxdy

x

y2102

x

y

x1

x

e20

1dy

e

ydy

.12

E(Y

)

y

f

(

x,

y)dxdy

1

02ye

dxdy

x

y

x2

y

1

[yye

x2

y

1y0

ex4

x2

y

ydx

1dx

1x4,13

E(

XY

)

xy

f

(

x,

y)dxdy

0

12xye

dxdy

x

y

y0ye dy

12.12例4

设随正态分布,

求量

和YX相互独立,

且都服从标准YX22Z的数学期望.Y

~

N

(0,1),X

和Y

相互独立,解X

和Y

的联合概率密度为X

~

N

(0,1),2π

2π1

1e

x2

2

e

y2f

(

x,

y)

2π2

1

e(

x2

y2

)

2

,于是X

2E(

Z

)

E(

Y

2

)2π12dx

dy.

x2

y2

x2

y2e令x

r

cos

,y

r

sin

,得2π1E(

Z

)

0

0r

2e

2

drd2π

r

2

r

2r

2e

2

dr2π2π00r

22r

20

re

2

edr

2π

.例5求先到达者需要等待的时间的数学期望.解X

和Y

的联合概率密度为

y

1,0其他0.,1,0f

(甲、乙两人相约于某地在12:00

~

13:00

会面,设X

,Y

分别是甲、乙到达的时间,且设X

和Y

相互独立,已知X

,Y

的概率密度分别为f

()y

2,y0

,

YX0,6

x2

y,f

(

x,

y)

0

x

1,0

y

1,其他.因此所求数学期望为E(

X

Y

)

1

10

02x

y

6

x y

dx

dy

(

x

y)6

x2

ydxdy

(

x

y)6

x2

y

dxdyD1

D2

1

112

64

1

(小时).例6

某班级的一次考试由两次测验组成.

以

X

,Y

分别表示一名学生第一次,第二次测验的得分,

X

和Y的联合分布律为Y

\

X05101500.020.060.020.1050.040.150.200.10100.010.150.140.01若规定这次考试的得分为Z1

max(X

,Y

),求E[max(

X

,Y

)].若规定这次考试的得分为Z2

X

Y

,求E(X

Y

).解(1)

E(Z1

)

E[max(

X

,Y

)]3

4

max(

xi

,

y

j)pijj1

i

1

0

0.02

5

0.06

10

0.02

15

0.10

5

0.04

5

0.15

10

0.20

15

0.10

10

0.01

10

0.15

10

0.14

15

0.01

9.6(分).(2)

E(Z2

)

E(

X

Y

)3

4

(

xi

y

j

)pijj1

i

1

0

0.02

5

0.06

10

0.02

15

0.10

5

0.04

10

0.15

15

0.20

20

0.10

10

0.01

15

0.15

20

0.14

25

0.01

14.1(分).例7

设随

量

21,,从数学期望为1的指数分布,

求Xn

)

的数学期望和方差.相互独立,且都服

XX21Z,,,解Xi

(i

1,2,,n)的分布函数为0,F

(

x)

1

e

x

,

x

0,其他.,Zm分in布(

函数为21

0,

其他.1

enz

,

z

0,F

(z)

1

[1

F

(z)]

nZZ

的概率密度为0,nenz

,fZ

(z)

z

0,其他.于是nzE(Z

)

0zne

dz

ze0nz0e

dznz.1n而E(Z

2

),2z2nenzdz

n20于是D(Z

)

E(Z

2

)

(E(Z

))2n2

1

.例8 某商店在夏季经营某种应时产品的

.若产品在夏季售出一千克净赚a

元,

若在夏季末尚未售出则一千克净亏损b元.

产品销售量X 千克)(是一个随

量,

设

X

的概率密度近似地为

(

xf),获利润

Xa)(的数学期望为最大.,

试确定商店的进货量h

千克)(使得所h解由题设ah,a

(

X

)

aX

b(h

X

),X

h,X

h,h于是hx)]

f

(

x)dx

h[ax

b(h

hE[a

(

X

)]

ahf

(

x)dx0f

x)dx([]).00bh

f

x x

ah

hh[(a

b x

即有Ea[(Xh(()d)d

].0hh)]

ah

(ab

)[0因而f

(

x)dx

hf

(h)]0

a

(a

b)hf

(h)

(a

b)[hhd

E[a

(

X

)]dhf

(

x)dxh0

a

(a

b)

a

(a

b)F

(h),其中F

是X

的分布函数.dhh令

d

E[a

(

X

)]

0,aa

b得

F

(h)

.d2又因

E[a

(

X

)]

(a

b)

f

(h)

0,dh2

h故知取h

使F

(h)最大.时利润的数学期望为aa

b例9

某城市一天内发生严重刑事

数Y

服从以31为参数的泊松分布,

以

X

记一年内未发生严重刑事

的天数,

求

X

的数学期望.解引入随量:若在第i

天未发生严重行事其他

i

1,

23,6,5.

, 0

,X

1,i21

则由于P{

Xi

1}

P{Y

0}

0!(1

3)0

e1

31

3

e

,知Xi

的分布律为10e1

31

e1

3kpXii

1,

2,,

365.于是

E(

X

)

e1

3

.i即得X

的数学期望为365E(

X

)

e1

3i

1

365

e1

3

262(天).例10

设盒子中有2N

张卡片,其中两张标着1,两张标着

2,两,

张标着N

.现从中任取m

张.

求在盒中余下的卡片中

仍然成对(即,

两张标着相同号码)的对数的数学期望.解

设在盒中余下的卡片中,

仍然成对的对数为Y.引入随X

1,量Xi

如下:如第

i

对仍留在盒中,0,

如第

i

对至少有一张未留在盒中,i

1,

2,,

N

,i21则

E(Xi

)

P{Xi

1}

P{第i

对仍留在盒中}

m

m

2N

2

2

N

(2

N

)!m N

!2(2m)!

m!(2

N

m)!(2N

2)!

(2N

m)(2N

m

1)

.(2N

)(2N

1)故所求的数学期望为N

NE(Y

)

E(

Xi

)

E(

Xi

)i

1

i

1

(2N

m)(2N

m

1)

.2(2N

1)例如,

2N

100,

m

50,

则有

E(Y

)

12.37.例11

(1)

设随

量

X

~

b(n,

p),

求Cov(

X

,

n

X

).1(2)设随

量

X

和Y

的联合概率密度为

xy

x2

y2

x

y

11,,

)],(1[0,

其他.f

(

x,

y)

4问X

,Y

是否相互独立,是否不相关.解

(1)

Cov(

X

,

n

X

)

Cov(

X

,

n)

Cov(

X

,

X

)

[E(nX

)

nE

(

X

)]

D(

X

)

np(1

p).(2)

当

x

1

时,Xf

(

x)

1111

4

1

42[1

xy(

x2

y2

)]dy

1

dy

1

.2同样,当

y

1

时,

f

(

y)

1

.

知Yf

(

x,

y)

f

X

(

x)

fY

(

y),故X

和Y

不是相互独立的.又

E(

X

)

x

f111

2

1x

dx

0,1同样有

E(Y

)

0.而

E(

XY

)

11

1

1

1

4[

xy

x2

y2

(

x2

y2

)]dx

dy1

10

0

(

x4

y2

x2

y4

)dxdy

0,E(

XY

)

E(

X

)E(Y

)

0,于是所以X

,Y

不相关.例12

你知道自己该交多少保险费吗?根据生命表知

,

某

段保险者里

,一

年中每个人

的概率为

0.002,现有

10000

个这类人参加人寿保险,若在

时家属可从保险公司领取

2000元赔偿金

.问每人一年须交保险费多少元?解设1年中人数为X

,则

X

~

b(0.002,10000)(0.002)

(1

10000

k

0k

E(

X

)

0.002)10000k1000kk

20(人).被保险人所得赔偿金的期望值应为20

2000

40000(元).若设每人一年须交保险费为a

元,由被保险人交的“纯保险费”与他们所能得到的赔偿金的期望值相等知10000a

40000

a

4(元),故每人1年应向保险公司交保险费4元.解因为

X

~

N

(75,9),e

,3

2π1知

f

(

x)

32(

x75)2故

E(

X

)

x

f

(

x)d

x

x

d

x

75(分).e3

2π132(

x75)2例13

某大学二年级学生进行了一次数学统考,设其成绩X

服从N(75,9)的正态分布,试求学生成绩的期望值.解E(2X

3

5)

2E(

X

3

)

E(5)

2E(

X

3

)

5,2()3)(又

E X

3

3

1

,13

.3

3

3

5(2)2(E)5X2

3

1

5故EX例14

设求:

E(2X

3

5).

2

0

1

31

3 1

2 1

12

1

12Xp试求电压V

IR

的均值.r

其他.,0,30,AI

与电阻R

)(是)(两个r

2例15

设一电路中电流相互独立的随rh)(

9ii

,10,2其他,,0ig)(

解E(V

)

E(

IR)

E(

I

)E(

R)

[

ig(i)d

i][

rh(r)d

r]d

r]901

3202

[

2i

d

i][r(V

).32E(

X

2)2

E(

X

2

4X

4)

E(

X

2

4X

4)

E(

X

2

)

4E(

X

)

4

DX

(EX

)2

4EX

4

5

32

4

3

4

30.所以

E(

X

2)2

30.解例16

已知

E(

X

)

3,

D(

X

)

5,

求

E(

X

2)2

.a

b c

的值;(,1,)(2)

随

量Y

eX

的数学期望与方差.0,P

X

4

求:,33{1}),(3

x

42,,其他.设随机量X

的概率密度为ax

x

20,,f

(

x)

cx

b且已知

E

X

解(1)fxx(1),因为例17

d)x(E(

X

)

2,

)(4220

8

a