2021-2022学年北京市东城区九年级（上）期末数学试题及答案解析

第=page2828页，共=sectionpages2828页2021-2022学年北京市东城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）一元二次方程2x2+xA.2，1，5 B.2，1，−5 C.2，0，−5 D.2，0下列四个图形中，是中心对称图形的是(

)A. B.

C. D.将抛物线y=x2向上平移3个单位后所得的解析式为A.y=x2+3 B.y=在平面直角坐标系xOy中，点A(2A.(2,−3) B.(−用配方法解方程x2+4xA.(x+2)2=5 B.中国象棋文化历史久远，在图中所示的部分棋盘中，“馬”的位置在“”(图中虚线)的下方，“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“⋅”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在“”上方的概率是(

)

A.18 B.16 C.14如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB=A.70° B.50° C.20°如图，线段AB=5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段AB运动至点B.以点A为圆心，线段AP的长为半径作圆．设点P的运动时间为t，点P，B之间的距离为y，⊙A的面积为S.则y与t，A.正比例函数关系、一次函数关系 B.一次函数关系，正比例函数关系

C.一次函数关系，二次函数关系 D.正比例函数关系，二次函数关系二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）抛物线y=−3(x若关于x的一元二次方程x2+2x+m=0的一根为请写出一个开口向上，并且与y轴交于点(0,2)的抛物线的表达式：社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里，装有20个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球．将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象，如图所示，经分析可以推断“摸出黑球”的概率为

．

2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心3月份的参观人数为10万人，5月份的参观人数增加到12.1万人．设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为

．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，若∠DAE=

斛是中国古代的一种量器．据《汉书⋅律历志》记载：“斛底，方而圜(huán)其外，旁有庣(tiāo)焉．”意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆．”如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸(即2.5尺)，“庣旁”为两寸五分(

如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足DE=CF，AE，DF交于点P，则∠APD三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）解方程：x2−2四、解答题（本大题共11小题，共63.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）(本小题5.0分)

如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点M，交⊙O于点C.若⊙O(本小题5.0分)

下面是小明设计的“作圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程．

已知：⊙O(如图1)．

求作：⊙O的内接等腰直角三角形ABC．

作法：如图2．

①作直径AB；

②分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧交于点M；

③作直线MO交⊙O于C，D两点；

④连接AC，BC．

所以△ABC就是所求作的等腰直角三角形．

根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题：

(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；

(2)完成下面的证明．

证明：连接MA，MB．

∵MA=MB，OA=OB，

∴MO(本小题5.0分)

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+2x+c的部分图象经过点A(0,−(本小题5.0分)

如图．在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点坐标分别为O(0,0)，A(5,0)，B(4,−3).将△OAB绕点O顺时针旋转90(本小题5.0分)

2021年6月17日，神舟十二号成功发射，标志着我国载人航天踏上新征程．某学校举办航天知识讲座，需要两名引导员，决定从A，B，C，D四名志愿者中通过抽签的方式确定两人．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．

(1)“A志愿者被选中”是______事件(填“随机”、“不可能”或“必然”)；

(2)用画树状图或列表的方法求出A，(本小题6.0分)

已知关于x的一元二次方程x2−(k+4)x+4k=0(本小题6.0分)

为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙(墙长为25m)的空地上修建一个矩形小花园ABCD.小花园一边靠墙，另三边用总长40m的栅栏围住，如图所示．设矩形小花园AB边的长为x m，面积为ym2．

((本小题6.0分)

如图，AC是⊙O的弦，过点O作OP⊥OC交AC于点P，在OP的延长线上取点B，使得BA=BP．

(1)求证：AB是(本小题6.0分)

在平面直角坐标系xOy中，点(1,m)和(2,n)在抛物线y=−x2+bx上．

(1)若m=0，求该抛物线的对称轴；

(2)若mn<(本小题7.0分)

如图，在等边三角形ABC中，点P为△ABC内一点，连接AP，BP，CP，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到AP′，连接PP′，BP′．

(1)用等式表示BP′与CP的数量关系，并证明；

(2)当∠(本小题7.0分)

在平面直角坐标系xOy中．⊙O的半径为1，对于直线l和线段AB，给出如下定义：若将线段AB关于直线l对称，可以得到⊙O的弦A′B′(A′,B′分别为A，B的对应点)，则称线段AB是⊙O的关于直线l对称的“关联线段”.例如：在图1中，线段AB是⊙O的关于直线l对称的“关联线段”．

(1)如图2，点A1，B1，A2，B2，A3，B3的横、纵坐标都是整数．

①在线段A1B1，A2B2，A3B3中，⊙O的关于直线y=x+2对称的“关联线段”是______；

②若线段A1B答案和解析1.【答案】B

【解析】解：一元二次方程2x2+x−5=0的二次项系数，一次项系数，常数项分别是2，1，−5，

故选：B．

根据二次项系数、一次项系数、常数项的定义即可得出结果．

本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=02.【答案】C

【解析】解：A.不是中心对称图形，故本选项不合题意；

B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C.是中心对称图形，故本选项符合题意；

D.不是中心对称图形，故本选项不合题意．

故选：C．

根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．

本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，绕对称中心旋转1803.【答案】A

【解析】解：∵抛物线y=x2向上平移3个单位，

∴平移后的解析式为：y=x2+3，

4.【答案】D

【解析】解：∵点A(2,3)，

∴A点关于原点对称的点为(−2,−3)5.【答案】A

【解析】解：原方程两边同时加上4，

得x2+4x+4=1+4，

即(x+6.【答案】C

【解析】解：观察“馬”移动一次能够到达的所有位置，即用“●”标记的有8处，

位于“”(图中虚线)的上方的有2处，

所以“馬”随机移动一次，到达的位置在“”上方的概率是28=14，

故选：C．

用“”(图中虚线)的上方的黑点个数除以所有黑点的个数即可求得答案．

本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A7.【答案】D

【解析】解：连接OA、OB，

∵∠ACB=70°，

∴∠AOB=2∠ACB=140°，

∵PA，PB是⊙O的切线，

∴OA⊥PA，O8.【答案】C

【解析】解：由题意得：y=5−t(t≤5)，属于一次函数关系，

S=9.【答案】(1【解析】解：∵y=−3(x−1)2+2是抛物线的顶点式解析式，

∴顶点坐标为(1,2)10.【答案】1

【解析】解：把x=−1代入方程，得

(−1)2+2×(−1)+m=011.【答案】y=x2【解析】解：∵抛物线的开口向上，

∴a>0，

又∵抛物线与y轴交于点(0,2)，

∴c=2，

所以抛物线的表达式为y=x2+2，12.【答案】0.2

【解析】解：由图可知，随着“摸球游戏”的次数增多，“摸出黑球的频率”逐渐稳定在0.2左右，

所以，“摸出黑球”的概率为0.2，

故答案为：0.2．

根据频率估计概率即可得出“摸出黑球”的概率．

本题主要考查用频率估计概率，需要注意的是试验次数要足够大，次数太少时不能用频率估计概率．

13.【答案】10(【解析】解：依题意得：10(1+x)2=12.1．

故答案为：10(1+x)2=12.114.【答案】30°【解析】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，

∴∠DAE=∠BAC=110°，

∵在△ABC中，∠B=15.【答案】2

【解析】解：如图，

∵四边形CDEF为正方形，

∴∠D=90°，CD=DE，

∴CE为内圆直径，∠ECD=45°，

由题意得：AB=2.5尺，

∴CE=16.【答案】90°；5【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=CD，∠ADE=∠DCF=90°，

在△ADE和△DCF中，

AD=DC∠ADE=∠DCFDE=CF,

∴△ADE≌△DCF(SAS)，

∴∠DAE=∠CDF，

∵∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°，

17.【答案】解：(x−4)(x+2)=0，【解析】利用因式分解法解方程．

本题考查了解一元二次方程，因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法，还可以使用公式法，配方法，等等．

18.【答案】解：∵OM:MC=3:2，

∴可设OM=3x，MC=2x，

∵⊙O的半径为10，

∴3x+2x=10，

解得：x=2，

即OM=3×【解析】本题考查了勾股定理和垂径定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．

根据题意，先设OM=3x，MC=2x19.【答案】解：(1)如图所示：

(2)B【解析】本题主要考查作图—复杂作图，解题的关键是掌握线段垂直平分线的尺规作图和圆周角定理．

(1)根据题干要求的步骤依次求解即可；

(2)根据圆周角定理求解即可．

解：(1)见答案；

(2)证明：连接MA，MB．

∵MA=MB，OA=OB，

∴MO是AB的垂直平分线．

又∵直线MO交⊙O20.【答案】解：(1)将A(0,−3)，B(1,0)代入y=ax2+2x【解析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握二次函数与方程及不等式的关系．

(1)通过待定系数法求解．

(2)求出抛物线与x轴交点坐标，通过抛物线开口向上求解．

解：(1)见答案；

(2)令x2+2x−3=0，

解得：x=−321.【答案】解：(1)如图所示，△OA′B′即为所求．

点A′的坐标为(0,−5)；

(2【解析】本题主要考查作图—旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质及弧长公式．

(1)将点A、B分别绕点O顺时针旋转90°得到其对应点，再与点O首尾顺次连接即可；

22.【答案】解：(1)

随机；

(2)画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中A，B两名志愿者同时被选中的结果有2种，

∴A，B【解析】此题考查的是树状图法求概率以及随机事件的概念．树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

(1)根据随机事件、不可能事件及必然事件的概念求解即可；

(2)画树状图，共有12种等可能的结果，其中A，B两名志愿者同时被选中的结果有2种，再由概率公式求解即可．

解：(1)“A志愿者被选中”是随机事件，23.【答案】(1)证明：∵Δ=b2−4ac

=[−(k+4)]2−16k

=k2−8k+16

=(k−4)2【解析】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：(1)牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；(2)利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于2，找出关于k的一元一次不等式．

(1)根据根的判别式：Δ=b2−4ac24.【答案】解：(1)由题意得：y=x(40−2x)=−2x2+40x，

∵0<40−2x≤25，

∴152≤x<20，

∴y【解析】本题考查的是二次函数的实际应用．关键是根据函数的性质求最值．

(1)根据矩形的面积公式写出函数解析并求出自变量取值范围即可；

(25.【答案】(1)证明：∵OA=OC，

∴∠C=∠OAC，

∵BP=BA，

∴∠BPA=∠BAP，

∵∠CPO=∠BPA，

∴∠CPO=∠BAP，

∵OP⊥OC，

∴∠COP=90°，

【解析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．

(1)根据等腰三角形的性质得到∠C=∠OAC，∠BPA=∠BAP，求得26.【答案】解：(1)若m=0，则点(1,0)在抛物线y=−x2+bx上，

∴0=−1+b，解得b=1，

∴抛物线的对称轴为直线x=−b2×(−1)=−1−2=12；

(2)①12<t<1；

【解析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据数形结合求解．

(1)把点(1,0)代入y=−x2+bx求得b的值，即可根据对称轴公式求得答案；

(2)①分类讨论b的情况，根据mn<0可得对称轴在直线x=12与直线x=1之间；

②根据增减性及各点到对称轴的距离判断y值大小．

解答：

(1)见答案；

(2)①∵y=−x2+bx，

∴抛物线开口向下且经过原点，

当b=0时，抛物线顶点为原点，x>0时y随x增大而减小，

∵1<2，

∴n<m<027.【答案】解：(1)BP′=CP，

证明：如图，∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∴∠2+∠3=60°

∵将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到AP′，

∴AP=AP′，∠PAP′=60°，

∴∠1+∠2=60°，

∴∠1=∠3，

∵AP′=AP，AB=AC

∴△ABP′≌△ACP(SAS)【解析】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，利用倍长中线构造平行四边形是解题的关键．

(1)利用SAS证明△ABP′≌△ACP，即可得出答案；

(2)①由三角形内角和定理知∠8+∠6=180°−∠BPC=60°，再利用角度之间的转化对∠P′BP进行转化，∠P′BP=∠4+∠7=∠5+60°−∠8=60°−∠6+28.【答案】

解：(1)①A1B1；

②3或2；

(2)

b【解析】本题考查了以圆为背景的阅读理解题，勾股定理，三角形三边关系，解决问题的关键是找出不同情境下的“关联线段”和阅读理解能力．

(1)①分别画出线段A1B1，A2B2，A3B3关于直线y=x+2对称线段，如