推理与证明第三十二讲推理与证明答案

专题十二 推理与证明第三十二讲 推理与证明答案部分 2019年1.解析：由题意，可把三人的预测简写如下：甲：甲 乙．乙：丙乙且丙 甲．丙：丙 乙．因为只有一个人预测正确，如果乙预测正确，则丙预测正确，不符合题意．如果丙预测正确，假设甲、乙预测不正确，则有丙乙，乙甲，因为乙预测不正确，而丙乙正确，所以只有丙甲不正确，所以甲丙，这与丙乙，乙甲矛盾．不符合题意．所以只有甲预测正确，乙、丙预测不正确，甲乙，乙丙．故选A．2010-2018年1．B【解析】解法一

因为

lnx≤

x1(x

0)，所以1234ln(1a

a

a

aa a a≤1231，所以

4111a

a

a a≤

，又

a

，所以等比数列的公比

q

0．若q≤

1，则

a1

a2

a3

a4

a1(1q)(1q2）≤0

，而 a1

a2

a3

≥a11，所以123与ln(aaln(aaa)0，a)aaaa≤0矛盾，1231234所以1q0，所以aaaq2131(1)，0241(12)0aaaqq，a所以a，aa，故选B．132423)解法二因为ex≥x1，a1a2a3a4ln(a1a2a3)，aaaa1231234所以1a4≤1，1234ea a

a≥

a

a a a

，则又 a11，所以等比数列的公比

q 0．

若

q

≤1，则1234a a a a a(1)(12 q q）≤，10而 a1 a2 a3≥a11，所以ln(a a a)0123与ln(a a a) a a a a≤0矛盾，1231234 所以1q 0，所以a1 a3 a1(1q2) 0，a2 a4a1q(1q2) 0，所以13a

a，a a

，故选

B．242．D【解析】解法一

点

(2,1)

在直线

x

y1上，ax

y

4表示过定点(0,4)

，斜率为

a的直线，当a0时，xay2表示过定点(2,0)，斜率的直线，不等式xay≤2为1a表示的区域包含原点，不等式axy4表示的区域不包含原点．直线axy4与直线xay2互相垂直，显然当直线axy4的斜率a0时，不等式axy4表3示的区域不包含点(2,1)，故排除A；点(2,1)与点(0,4)连线的斜率为，当2a3，即23a时，axy4表示的区域包含点(2,1)，此时xay2表示的23a时，2区域也包含点 (2,1)，故排除 B；当直线ax y 4的斜率 3，即2ax y 4表示的区域不包含点 (2,1)，故排除 C，故选D．2a1 a 3，所以当且仅当3 ，解得解法二若(2,1)，a≤时，4则3，所以当且仅当3≤2a222(2,1)A．故选 D．3．D【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D． S表示点 A到对面直线的距离（设为 h）乘以 BB长度一半，即 4．A【解析】nnnBB

的长度为定值，那么我们需要知道

hn

的

1S hBB

，由题目中条件可知

nn1nnn12nnn12关系式，过 A作垂直得到初始距离 h，那么 A1,An和两个垂足构成了等腰梯形，那么11h

h1

AA1tan

，其中

为两条线的夹角，即为定值，那么nnn1S

(h

AAtan)BBnSn12

1

S AA(n11nnn11

，

ShAA

BB( tan) ，作差后：n1211n1nn1n12nBB ，都为定值，所以

S

S为定值．故选

A．tan)nn1n1n5．B【解析】学生甲比学生乙成绩好，即学生甲两门成绩中一门高过学生乙，另一门不低于学生乙，一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好， 并且没有相同的成绩，则存 在的情况是，最多有 3人，其中一个语文最好，数学最差；另一个语文最差，数学最好；第三个人成绩均为中等．故选B．6．A【解析】“至少有一个实根”的反面为“没有实根”，故选A．7．D【解析】∵5 3125，5615625，57 78125，58 390625，591953125，55 976562510，∴5n(nZ,且n≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为 4，记5n(nZ,且n≥5)的末四位数字为 f(n)，则f(2011)f(50147)f(7)，∴52011与57的末位数字相同，均为8125，选D．8．D【解析】由给出的例子可以归纳推理得出：若函数f(x)是偶函数，则它的导函数是奇函数，因为定义在 R上的函数 f(x)满足f(x) f(x)，即函数 f(x)是偶函数，所以它的导函数是奇函数，即有g(x)=g(x)，故选D。9．27【解析】所有的正奇数和 2n(nN*)按照从小到大的顺序排列构成 {a}，在数列{a}nn2138Sa，26．当n1时，1112224不符合题意；当n2时，Sa，不符合题意；当n3时，2312336中，25前面有16个正奇数，即25a ，aS3 612a4 48，不符合题意；当n 4时，41012560S a ，不符合题意；⋯⋯；=441+62=503<21(141)2(112a516，不符合262)5题2721222(143)2(1=484+62=546>12a意；当n27时，S=540，符合题2)22875212当n26时，S3意．故使得 Sn成立的n的最小值为27．12n110．612【解析】设男生数，女生数，教师数为a,b,c，则2cabc,a,b,c①8 a b 4，所以bmax 6，②当Ncmin1时，2 a b1，a，bN，a，b不存在，不符合题意；cmin2时，4ab2，a，bN，a，b不存在，不符合题意；cmin3时，6ab3，此时a5，b4，满足题意．当当所以a b c12．411．【解析】通过归纳可得结果为 4(1) nn13nn ．3P，而

(1,1)12．②③【解析】对于①，令

P(1,1)

，则其“伴随点”为

(,)11

点”为

(1,1)

，而不是

P，故错误；对于②设

P(x,y)是单位圆

C:x2

y2

1上的22P22的“伴随x点，其“伴随点”为 P(x,y)，则有yx22yy所以x2yx y)222y2x)21，所以②正确；对于③设22(x y2(x y2122x yP(x,y)的“伴随点”为y x2x,2 ，P(yx2)y 2x,Pxy的“伴随点”)1(,为(x,)yP1P(222，易知2x yx yx2 y2x2 )P1(22,2与y轴 y2x yx yyx2)关于对称，所以③正确；对于④，设原直线的解析式为 Ax By C 0，其中A,B不同时为0，且P(x,y)为该直线上一点，00Pxy的“伴随点”为 P(x,y)，其中 P,P(,)0022x都不是原点，且y0 ，则x x2 y2y，x20y(0yxyx，0(00)0)xyx2000 y2C 将 P(x,y)代入原直线方程，得 A(x2 y2)yB(x2 y2)x0，0000004则CAyBxy20200，由于 22x y的值不确定，所以“伴随点”不一定共线，00所以④错误．13．1和3【解析】为方便说明，不妨将分别写有1和2，1和3，2和3的卡片记为A，B，C从丙出发，由于丙的卡片上的数字之和不是 5，则丙只可能是卡片A或B，无论是哪 一张，均含有数字 1，再由乙与丙的卡片上相同的数字不是 1可知，乙所拿的卡片必然是

C，最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是

2，知甲所拿的卡片为

B，此时丙所

拿的卡片为

A．111114．11111

2342n2n12nn1n

2．【解析】观察等式知：第

n个等式的左边有

2n

个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，1且分子为 1，分母是 1到2n的连续正整数，等式的右边是1．15．2n14n1n 2【解析】解法一直接递推归纳；等腰直角三角形 ABC中，斜边

BC

22

，所以AB AC a1

2,AA1

a2

2，A1A2 a31，2

，AA1 ．

)4

a

a76156(2

解法二 求通向：等腰直角三角形

ABC中，斜边

BC

2，所以 AB AC a1 2,AA1 a2 2，，a7A A an1nn1sinan2a 2n2 2(，故n)=12()26422416．6【解析】因为①正确，②也正确，所以只有①正确是不可能的；若只有②正确，①③④都不正确，则符合条件的有序数组为(2,3,1,4)，(3,2,1,4)；若只有③正确，①②④都不正确，则符合条件的有序数组为(3,1,2,4)；若只有④正确，①②③都不正确，则符合条件的有序数组为(2,1,4,，(3,1,4,2)，(4,1,3,2)．综上符合条件的有序数组的个数是6．17．42【解析】先由徒弟粗加一工原料 B，6天后，师傅开始精加工原料B，徒弟同时开始粗加工原料A，再9天后（15天后），徒弟粗加工原料A完成，此时师傅还在精加工原料B，27天后，师傅精加工原料B完成，然后接着精加工原料A，再15天后，师傅精加工原料A完成，整个工作完成，一共需要6+21+15=42个工作日．518．x【解析】由 fx1x12014x可得() x，得xx1x，故可归纳得f2(x) f()1x12xx2014，fxffx3() (2())3x()．fx19．FV E 2【解析】三棱柱中 5+6-9=2；五棱锥中 6+6-10=2；立方体中 6+8-12=2，由此归纳可得

FV

E 2．

20．12－22+32－42+⋯+(1)n1n2=(1)n1

·

(1)

（n∈

N）12014xnn2【解析】观察上式等号左边的规律发现，左边的项数一次加1，故第n个等式左边有n项，每项所含的底数的绝对值也增加1，一次为1，2，3，⋯n，指数都是2，符号成正负交替出现可以用(1)n1表示，等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等 式的右边可以表示为 (1)n·(1)，所以第 n个式子可为 12－22+32－42+⋯nn 2+(1)nn=(1)n1·(1)nn1222（n∈N）．21．1000【解析】观察 n和n前面的系数，可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等差数列，故 Nn,24nn，N10,2410001121011122．122342221111【解析】观察不等式的左边发现，第n个不等式的左5662边=1111 (n2n11，右边=231)222，所以第五个不等式为n1112111111232242526．23．（1）6；（2）32n114【解析】（1）当N=16时，P xxxxxxLx，可设为(1,2,3,4,5,6,L,16)，012345616P xxxxLxxxxLx，即为 (1,3,5,7,9,L2,4,6,8,L,16)，113571524616PxxxxxxxxxxLx，即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,L,16)，x位于 P中的第 6个位置；722）在P中x位于两段中第一段的第87个位置，位于奇数位置上，此时P中x位12173在于四段中第一段的第 44个位置上，再作变换 P时， x位于八段中第二段的第3得221731736个位置上，再作变换时，173P中4x位于十六段中的第四段的第 11个位置上．也就是位于的第32n411个位置上．24． n (n1)L (3n 2) (2n1)【解析】把已知等式与行数对应起来，则每一个2等式的左边的式子的第一个数是行数 n，加数的个数是 2n1；等式右边都是完全平方 数，行数1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49⋯⋯⋯⋯等号左边的项数

1234

⋯⋯

1357

所以

n

(n1)L[n

(2n1)1](2n1)2

，即

n

(n1)L

(3n

2)

(2n1)20,n 【解析】根据合情推理，利用归纳和类比进行简单的推理，当为偶数时 25．11 n，当为奇数时nn230,n可得T=当为偶数时n11，当n为奇数时nn2326．962【解析】观察等式可知，cos的最高次的系数2,8,32,128构成了公比为4的等比数列，故m1284512．取0，则cos1，cos101，代入等式⑤得151212801120np1，即np350（1）取，则cos1，cos101，代入等式⑤得322111111512()1280()1120()n()p()1222222108642即n4p200（2）联立（1）（2）得，n400,p50，所以mnp=512(400)50962．727．【解析】(1)记(abc)为排列abc的逆序数，对 1，2，3的所有排列，有(123)=0，(132)=1，(213)=1，(231)=2，(312)=2，(321)=3，所以f3(0)1，f3(1)f3(2)．对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f4(2)f3(2)f3(1)f3(0)．(2)对一般的 n(n≥4)的情形，逆序数为 0的排列只有一个：12n，所以(0)1f．n逆序数为 1的排列只能是将排列 12所以f(1) n1．n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，为计算fn11，当1，2，⋯，n的排列及其逆序数确定后，将 n1添加进原排列，n在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此， f1(2) f(2) f(1) f(0) f(2) n．nnnnn当n≥5时，f(2)[f(2)f(2)][f(2)f(2)]⋯[f(2)f(2)]f(2)nnn1n1n2544nn 22 (n1) (n 2)f(2)4，2n因此，n≥5时，f(2)n2． n 2 228．【解析】证明:（1）因为a a n d，1(1)a是等差数列，设其公差为 d，则nn从而，当 n≥4时，ankanka1 (n k1)d a1 (n k1)d 2a 2(n1)d 2a，k1,2,3,1n所以an ananan anan an32+1+12+3，因此等差数列a是“P(3)数列”.n2）数列a既是“ P(2)数列”，又是“ P(3)数列”，因此，n2当n 3时，a2 a1 a1 annn4a，①nn8当n4时，3211236.②a

a a

a a

a annnnnnn由①知，an3an24an1(a