全等三角形的知识点与习题精选

【复习要点】1、三角形及分类：三角形的分类：①按角分类：三角形锐角三角形——三个内角都是锐角的三角形三角形三角形直角三角形——有一个内角是直角的三角形钝角三角形——有一个内角是钝角的三角形②按边分类：不等边三角形三角形底和腰不等的等腰三角形等腰三角形等边三角形2、三角形的边、角性质（1）三角形的内角和1800.（2）三角形的外角和为。（2）三角形的一个外角和它不相邻的两个内角的和.(3）三角形的一个外角任何一个和它不相邻的内角.(4)三角形的任何两边之和第三边，两边之差第三边.3、三角形中的主要线段线段名称定义特征三角形的角平分线三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部，它们相交于一点，这上点称为.中线连接三角形一个顶点和它对边的中点的线段三角形有三条中线，并且都在三角形的内部，它们相交于一点，这上点称为.高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点的垂足之间的线段三角形三条高的交点称为，锐角三角形的垂心在其内部，直角三角形的垂心与直角顶点重合，钝角三角形的垂心在其外部中位线连接三角形两边中点的线段三角形的中位线第三边且等于第三边的4、等腰三角形、等边三角形及直角三角形5、全等三角形一、基础知识1.全等图形的有关概念（1）全等图形的定义能够完全重合的两个图形就是全等图形。例如：图13-1和图13-2就是全等图形图13-1图13-2（2）全等多边形的定义两个多边形是全等图形，则称为全等多边形。例如：图13-3和图13-4中的两对多边形就是全等多边形。图13-3图13-4（3）全等多边形的对应顶点、对应角、对应边两个全等的多边形，经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。（4）全等多边形的表示例如：图13-5中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCDE≌五边形A’B’C’D’E’（这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”）。A’B’BA’B’BAC’CC’CE’D’EE’D’ED图13-5表示图形的全等时，要把对应顶点写在对应的位置。（5）全等多边形的性质全等多边形的对应边、对应角分别相等。（6）全等多边形的识别多边形相等、对应角相等的两个多边形全等。2.全等三角形的识别（1）根据定义若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等。（2）根据SSS如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。相似三角形的识别法中有一个与（SSS）全等识别法相类似，即三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为1时，就成为全等三角形。（3）根据SAS如果两个三角形有两边机器夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。相似三角形的识别法中同样有一个是与（SAS）全等识别法相类似，即一角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似，当相似比为1时，即为全等三角形。（4）根据ASA如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。（5）根据AAS如果两个三角形有两个角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。3.直角三角形全等的识别（1）根据HL如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。（2）SSS、SAS、ASA、AAS对于直角三角形同样适用。判断两个直角三角形全等的方法可分为：已知一锐角和一边或已知两边。4.证明三角形全等的方法证明三角形全等的一般方法有四种：“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”。每一种都有给出三个独立的条件，在具体问题中，题设往往只给出一个或两个条件，其余的需要我们自己去发掘和证明。判定方法的选择：已知条件可选择的判定方法一边对应一角对应相等SASAASASA两角对应相等ASAAAS两边对应相等SASSSS具体地说，证明角相等的常用方法有：对顶角相等；两直线平行，同位角、内错角相等；同角（或对角）的余角（补角）相等；角平分线平分的两角相等；角的等量代换等。证明线段相等的方法有：同一线段；中点的定义；平行四边形的对边；等腰三角形的两腰；边的等量代换等。为什么“AAA”和“SSA”不能判定两个三角形全等？这是因为有三个角相等，但边不一定相等，则三角形不一定全等，如图13-6，可以看出△ABC不全等于△ADE；同样，如果两边及其中一边的对角相等，也不能确定三角形全等，如图13-7，AB=AB,AC=AD,∠B=∠B，但△ABC与△ABD不全等AAAAEEDDCCBDCBBDCB图13-6图13-75.证明两个三角形全等如何入手证明两个三角形全等一般采用“综合法”与“分析法”两种。（1）综合法，就是从已知条件入手，进行推理，逐步向要证的结论推进，如从已知条件中推导出对应边或对应角相等，从而推导出三角形全等。同时，也可以从三角形全等推导出对应边、对应角的相等，达到正题的目的。（2）分析法，即从欲证的结论出发，分析结论成立的必需条件，各种条件联系已知，寻找它们之间的关系，逐步靠拢已知条件，从而分析出已知与结论的因果关系。证题时，分析法与综合法结合起来使用更加有效，证三角形全等时，既要有明显的已知条件，又要有隐藏的条件，通过综合法罗列已知条件，再通过分析法找出隐藏条件，从而得证。二、经典例题例1：（1）已知一个三角形有两边的长分别为2cm，13cm，又知这个三角形的周长为偶数，求第三边长。（2）在△ABC中，已知∠A+∠C=2∠B,∠C-∠A=80°，求∠C。[考点透视]（1）考察三边关系的应用；（2）考察三角形内角和定理[参考答案]解：（1）设第三边为xcm，则即周长的范围是即又L为偶数即第三边长为13cm（2）又由得例2：已知，在△ABC中，AD是角平分线，，，于E，求：和[考点透视]考察三角形内角和定理及推论、角平分线、高线的性质[参考答案]解：由三角形内角和定理，得又AD平分（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）在中（直角三角形的两个锐角互余）例3：已知：在和中于D，于D’，且求证：[考点透视]如果两个三角形有两个角和这两个角夹边的高对应相等，那么这两个三角形全等。[参考答案]证明：在和中（全等三角形对应边相等）在和中练习题1．在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，且△ABC≌△DEF，BC=EF，点A的对应顶点是D，下列说法正确的是（）A.∠C与∠F互余B.∠C与∠D互余C.∠B与∠F互余D.∠A与∠E互余2．如图，△ABC中，AB=AC，CE、BD分别是AB、AC边上的中线，AM⊥CE于M，AN⊥BD于N，则图中全等三角形共有（）A.3对B.4对C.5对D.6对3．如图，△ACD中，AB⊥CD且BD＞CB，△BCE和△ABD都是等腰Rt△，下列结论①△ABC≌△DBE；②△ACB≌△ABD；③△CBE≌△BED；④△ACE≌△ADE；正确的是（）A.①②③B.①C.①③④D.②③④4．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿AB，AC边翻折180°形成的，若∠1:∠2:∠3=28:5:3，则∠度数为（）A.60°B.70°C.80°D.905．下列命题正确的是（）A.两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等B.有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等C.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等D.一条直角边和斜边上的高对应相等的两个Rt△全等7.下列条件能判定△ABC≌△DEF的一组是（）（A）∠A=∠D，∠C=∠F，AC=DF（B）AB=DE，BC=EF，∠A=∠D（C）∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（D）AB=DE，△ABC的周长等于△DEF的周长5．如图2-5，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AB=4cm，则△BDE的周长是2．如图2-2，在△ABC中，∠BAC:∠ABC:∠ACB=3:5:10，且△ABC≌△，则∠1:∠2=6.已知：如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，O为BD的中点，EF⊥BD于点O，与AD、BC分别交于点E、F。求证：DE=DF。9．如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．(1)求证：△ABE≌△CAD；(2)求∠BFD的度数．22.如图，ABCD是正方形．G是BC上的一点，DE⊥AG于E，BF⊥AG于F．（1）求证：；ADEFADEFCG1.D2.C3.B4.C5.D7.A5.4cm2.1:46．证法一：在平行四边形ABCD中，AD//BC ∴∠OBF=∠ODE ∵O为BD的中点 ∴OB=OD 在△BOF和△DOE中 ∴△BOF≌△DOE ∴OF=OE ∵EF⊥BD于点O ∴DE=DF 证法二：∵O为BD的中点 ∴BO=DO ∵EF⊥BD于点O ∴BF=DF ∴∠BFO=∠DFO ∵在平行四边形ABCD中，AD//BC ∴∠BFO=∠DEO ∴∠DEO=∠DFO ∴DE=DF9。（1）证明：∵△ABC为等边三角形∴∠BAC=∠C=60°,AB=CA,在△ABE和△CAD中AB=CA,∠BAE=∠C,AE=CD∴△ABE≌△CAD（2）解∵∠BFD=∠ABE+∠BAD又∵△ABE≌△CAD∴∠ABE=∠CAD∴∠BFD=