最新高中函数部分知识点及典型例题分析

PAGE高一函数主要知识点及典型例题第4页共4页智立方教育高一函数知识点及典型例题一、函数的概念与表示1、映射〔1〕映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法那么f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应〔包括集合A、B以及A到B的对应法那么f〕叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B.注意点：〔1〕对映射定义的理解.〔2〕判断一个对应是映射的方法.一对多不是映射，多对一是映射2、函数构成函数概念的三要素=1\*GB3①定义域;=2\*GB3②对应法那么;=3\*GB3③值域.两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同例1、例2、给出以下四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有〔C〕A、0个B、1个C、2个D、3个xxxxx1211122211112222yyyy3OOOO由题意知：M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤3}，对于图①中，在集合M中区间〔1，2]内的元素没有象，比方f〔3 2〕的值就不存在，所以图①不符合题意；对于图②中，对于M中任意一个元素，N中有唯一元素与之对应，符合函数的对应法那么，故②正确；对于图③中，对于M中任意一个元素，N中有唯一元素与之对应，且这种对应是一一对应，故③正确；对于图④中，集合M的一个元素对应N中的两个元素．比方当x=1时，有两个y值与之对应，不符合函数的定义，故④不正确二、函数的解析式与定义域1、求函数定义域的主要依据：〔1〕分式的分母不为零；〔2〕偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；〔3〕对数函数的真数必须大于零；〔4〕指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；例1、函数的定义域为根号下的数必须为正数，又当底数为大于0小于1的数时，只有当真数大于0小于1时，才能保证根号下的数为正数。所以让0<4X的平方-3X<1，解0<4X的平方-3X得X<0或3/4<X,解4X的平方-3X<1得-1/4<X<1，取交集得X的范围是?-1/4<X<0或3/4<X<1?函数的奇偶性1．定义:设y=f(x)，x∈A，如果对于任意∈A，都有，那么称y=f(x)为偶函数.如果对于任意∈A，都有，那么称y=f(x)为奇函数.2.性质：①y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称,y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,②假设函数f(x)的定义域关于原点对称，那么f(0)=0例1.函数是定义在上的偶函数.当时，，那么当时，.当x∈〔０，＋∞〕，f(x)=-x-x^4解：当x∈〔０，＋∞〕，－x∈(-∞,0),因为当x<0时，f(x)=x-x^4,所以把－x代入这个式子中得f(-x)=-x-(-x)^4=-x-x^4,又因为f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)于是f(x)=-x-x^4例2、定义域为的函数是奇函数.〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕假设对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.六．函数的周期性：1．〔定义〕偶函数：一般地，如果对于函数f〔x〕的定义域内任意一个x，都有f〔-x〕=f〔x〕，那么称函数f〔x〕为偶函数。奇函数：一般地，如果对于函数f〔x〕的定义域内任意一个x，都有f〔-x〕＝-f〔x〕，那么函数f〔x〕是奇函数。2．假设；；；那么周期是2例1、定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),那么,f(6)的值为(A)－1(B)0(C)1(D)2由于f(X)为奇函数,故f(-X)=-f(X),所以f(-0)=-f(0)得出f(0)=0.又f(X+2)=-f(X)故f(6)=f(4+2)=-f(4)=-(-f(2))=f(2)=f(0+2)=-f(0)=0答案:f(6)=0例2、________例5、设是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足，当时.⑴求证：是周期函数；⑵当时，求的解析式.〔1〕f(x)=-f(x+2)=-(-f(x+4))=f(x+4),所以f(x)是以4为周期的周期函数。〔2〕根据奇函数性质f(x)=-f(-x),可知x∈[-2,0]时，f(x)=-f(-x)=-(-2x-x²)=2x+x²,而f(x)是以4为周期的周期函数，当x∈[2,4]时，f(x)=f(x-4)=2(x-4)+(x-4)²=x²-6x+8f(x)=-f(x+2)=-(-f(x+4))?根据f(x+2)=-f(x)这条件...于是f(x+4)=-f(x+2)，这个就是把x+2作为一个整体看作条件中的x，带进去就是了七．二次函数(涉及二次函数问题必画图分析)1．二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴，顶点坐标2．二次函数与一元二次方程关系一元二次方程的根为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的的取值.一元二次不等式的解集(a>0)二次函数△情况一元二次不等式解集y=ax2+bx+c(a>0)△=b2-4acax2+bx+c>0(a>0)ax2+bx+c<0(a>0)图象与解△>0△=0△<0R例1、函数在区间上是增函数，那么的范围是〔〕〔A〕(B)(C)(D)例2、方程有一根大于1，另一根小于1，那么实根m的取值范围是二次函数解决。设Y=X^2+2mX+1，抛物线开口向上，与X轴交点在1的左右两边，∴在保证有交点的情况下(Δ>0)，X=1时，Y<0。∴Δ=4m^-4>0，得m>1或m<-1，当X=1时，Y=2+2m<0，得m<-1，综合得：m<-1。九．指数函数与对数函数1.指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0,a≠1)互为反函数名称指数函数对数函数一般形式Y=ax(a>0且a≠1)y=logax(a>0,a≠1)定义域(-∞,+∞)(0,+∞)值域(0,+∞)(-∞,+∞)过定点〔０，1〕〔1，０〕图象指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0,a≠1)图象关于y=x对称单调性1,在(-∞,+∞)上为增函数０＜a<1,在(-∞,+∞)上为减函数a>1,在(0,+∞)上为增函数０＜a<1,在(0,+∞)上为减函数值分布y>1?y<1?y>0?y<0?2.比拟两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系〔对数式比拟大小同理〕记住以下特殊值为底数的函数图象：3.研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制4.指数函数与对数函数中的绝大局部问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径.例1、〔1〕的定义域为_______________；解答：令lgx≥0，∴x≥1令x>0令5-3x>0,∴x<5/3∴定义域为1≤x<5/3〔2〕的值域为_____________；可以设t=1/(x-3)，那么t的范围就是t≠0所以函数