2022-2023学年北师大版必修第二册 第1章 2　任意角 课件（24张）

第一章三角函数§2任意角自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑易

错

辨

析

自主预习·新知导学一、角的概念推广【问题思考】1.表1-2-12.想一想:如果一个角的终边沿逆时针或顺时针方向旋转360°的整数倍,那么所得角的终边与原角的终边有什么关系?提示:重合.二、象限角及其表示【问题思考】1.象限角的概念:在平面直角坐标系中,角的顶点在坐标原点,始边在x轴的非负半轴.以角的终边(除端点外)在平面直角坐标系的位置分类:角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上,这个角就不属于任何象限.2.下列说法正确的是

.(填序号)

①小于90°的角是锐角;②钝角是第二象限角;③第二象限角是钝角.解析:①错误,②正确,③错误.小于90°的角包含负角,因此①错误;因为钝角的范围是大于90°且小于180°,所以钝角是第二象限角,第二象限角不一定是钝角,如-240°角是第二象限角,但-240°角不是钝角,所以②正确,③错误.答案:②3.终边相同的角:一般地,给定一个角α,所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任何一个与角α终边相同的角,都可以表示成角α与周角的整数倍的和.4.(多选题)在-360°~360°范围内,与-410°角终边相同的角是(

).A.-50° B.-40°

C.310° D.320°解析:因为-50°=-410°+360°,310°=-410°+2×360°,所以与-410°角终边相同的角是-50°和310°.故选AC.答案:AC

合作探究·释疑解惑探究一探究二探究一

象限角与区域角的表示【例1】

已知α为第二象限角,则2α,分别为第几象限角?解:∵α是第二象限角,∴90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z).∴180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°(k∈Z).∴2α是第三或第四象限角,以及终边落在y轴的非正半轴上的角.①当k为偶数时,令k=2n(n∈Z),②当k为奇数时,令k=2n+1(n∈Z),若角α为第三象限角,则角

是第几象限角?解:如答图1-2-1,先将各象限分成2等份,再从x轴非负半轴的上方起,按逆时针方向,依次将各区域标上一、二、三、四,答图1-2-1反思感悟

确定倍角、分角所在象限的判定思路(n∈N+):(1)已知角α终边所在的象限,确定nα终边所在的象限,可先依据角α的范围求出nα的范围,再直接转化为终边相同的角即可.注意不要漏掉nα的终边在坐标轴上的情况.(2)已知角α终边所在的象限,确定

终边所在的象限,分类讨论法要对k的取值分以下几种情况进行讨论:k被n整除;k被n除余1;k被n除余2,……k被n除余n-1.然后方可下结论.几何法依据数形结合思想,简单直观.探究二

求与角α终边相同的角【例2】

已知角α=25°.(1)写出与α终边相同的角的集合;(2)求β,使β与α终边相同,且-1080°≤β<-360°.分析:(1)根据终边相同角的集合写;(2)用终边相同的角表示β满足的不等关系,用赋值法或解不等式法求解.解:(1)与25°角终边相同的角的集合为S={β|β=k·360°+25°,k∈Z}.(2)(方法一)(赋值法)令k=-3,则有β=-3×360°+25°=-1

055°,符合条件;令k=-2,则有β=-2×360°+25°=-695°,符合条件;令k=-1,则有β=-1×360°+25°=-335°,不符合条件.故符合条件的角为-1

055°角和-695°角.(方法二)(解不等式法)由(1)知-1

080°≤k·360°+25°<-360°,k∈Z,∵k∈Z,∴k=-3或k=-2.当k=-3时,β=-1

055°;当k=-2时,β=-695°,故符合条件的角为-1

055°角和-695°角.反思感悟

1.把任意角化为α+k·360°(k∈Z,且0°≤α<360°)的形式,关键是确定k.可以用观察法(α的绝对值较小),也可以用除法.2.要求适合某种条件且与已知角终边相同的角,其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式,再依条件构建不等式求出k的值.解题过程体现了数学运算能力的培养.易

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析忽视角的终边的位置致误【典例】

如图1-2-1,已知角β的终边在阴影部分内,求角β的取值范围.错解:由题图可知角β的取值范围是{β|k·360°+60°≤β<k·360°+105°,k∈Z}.图1-2-1以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:致误的原因是错将直线看成射线.正解:阴影在x轴上方部分的角的集合为A={β|k·360°+60°≤β<k·360°+105°,k∈Z}={β|2m×180°+60°≤β<2m×180°+105°,m∈Z}.阴影在x轴下方部分的角的集合为B={β|k·360°+240°≤β<k·360°+285°,k∈Z}={β|k·360°+180°+60°≤β<k·360°+180°+105°,k∈Z}={β|(2m+1)×180°+60°≤β<(2m+1)×180°+105°,m∈Z}.故阴影部分内角β的取值范围是A∪B,即A∪B={β|2m×180°+60°≤β<2m×180°+105°,m∈Z}∪{β|(2m+1)×180°+60°≤β<(2m+1)×180°+105°,m∈Z}={β|n·180°+6